Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Последовательности

Определение арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

План урока

  • Арифметическая прогрессия;
  • Формула n-го члена арифметической прогрессии;
  • Свойство арифметической прогрессии.

Цели урока

  • Знать определение арифметической прогрессии;
  • Знать, как найти n-й член арифметической прогрессии;
  • Уметь находить разность арифметической прогрессии, n-й член арифметической прогрессии;
  • Уметь пользоваться свойством арифметической прогрессии.

Разминка

  • Что такое последовательность?
  • Какой закономерностью связаны между собой члены этой последовательности 4; 13; 22; 31; 40; ...
  • Какие есть способы задания последовательности?

Арифметическая прогрессия

 

Мы определили, что последовательностью называют множество чисел, связанных между собой некоторой закономерностью, причем каждому из них соответствует свой порядковый номер. Последовательности окружают нас повсюду: в химии, в физике, в биологии, в медицине и даже в литературе. Так в литературе существует два стихотворных размера ямб (ударение на чётный слог: 2, 4, 6, …) и хорей (ударение на нечётный слог: 1, 3, 5, …). 

 

Одной из самых распространенных в жизни и в математике последовательностей является арифметическая прогрессия. 


Арифметической прогрессией an  называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, т. е. для любого натурального n верно равенство an+1=an+dd — некоторое число.

 

Число d называют разностью арифметической прогрессии.


Из определения следует, что формула для вычисления разности арифметической прогрессии имеет вид d=an+1-an.

 

В зависимости от значения разности d существуют три вида арифметической прогрессии:

 

  • возрастающая при d>0, например, 6; 17; 28; 39; 50; ... (d=11);
  • убывающая при d<0, например, 15; 11; 7; 3; -1; ... (d=-4);
  • стационарная при d=0, например, 17; 17; 17; 17; 17; ...


Пример 1

Найти первые пять членов арифметической прогрессии, если a1=2d=3

 

Решение

 

Воспользуемся формулой из определения an+1=an+d.

 

a1=2,

 

a2=a1+d=2+3=5,

 

a3=a2+d=5+3=8,

 

a4=a3+d=8+3=11,

 

a5=a4+d=11+3=14.

 

Ответ: 2; 5; 8; 11; 14.


Упражнение 1

Найти первые пять членов арифметической прогрессии, если:

 

1. a1=19, d=1,5;  

2. a1=37, d=-2

3. a1=0,2, d=0,1.


Формула n-го члена арифметической прогрессии

 

В предыдущем примере мы легко нашли первые пять членов прогрессии, используя значения предыдущего члена и разности. Теперь получим формулу, которая позволит найти любой член прогрессии, зная его номер, значения первого члена и разности прогрессии. Для этого, используя формулу из определения, an+1=an+d, выразим несколько членов прогрессии через a1 и d.

 

a2=a1+d,

 

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,

 

a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,

 

a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d.

 

Обратим внимание, что для того, чтобы получить некоторый n-й член прогрессии, необходимо к a1 прибавить (n-1)d.


Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

 

an=a1+d(n-1)


Вообще, эту формулу можно обобщить. Для того, чтобы найти значение an, зная значение некоторого ak и разность d, необходимо к ak прибавить (n-k)d, т. е. для любых натуральных k, n

 

an=ak+d(n-k)


Пример 2

Найти пятьдесят пятый член арифметической прогрессии, если a13=24, d=8.

 

Решение

 

Воспользуемся формулой n-го члена общего вида an=ak+d(n-k).

 

Из условия имеем, что a13=24, d=8, k=13, n=55. Подставим в формулу и получим

 

a55=24+8(55-13)=360.

 

Ответ: 360.


Упражнение 2

Найти семьдесят восьмой член арифметической прогрессии, если:

 

1. a1=12, d=5;    

2. a1=258, d=-4;  

3. a54=7, d=0,5.


Свойство арифметической прогрессии

 

Арифметическая прогрессия обладает важным свойством.


Свойство арифметической прогрессии

 

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, 
т. е. для любого n>2 верно равенство

 

an=an-1+an+12


Докажем это свойство. Для этого достаточно воспользоваться определением. 

 

Запишем его для an и an+1 получим

 

an=an-1+d, откуда an-1=an-d,

 

an+1=an+d

 

Подставим полученные равенства в правую часть формулы из свойства.

 

an-1+an+12=(an-d)+(an+d)2=2an2=an

 

Верно и обратное утверждение.


Если в последовательности (an) каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.


Пример 3

Найти сорок восьмой член арифметической прогрессии, если a47=42, a49=6

 

Решение

 

Воспользуемся свойством арифметической прогрессии:

 

an=an-1+an+12.

 

Подставим данные из условия:

 

a48=a47+a492=42+62=24.

 

Ответ: 24.


Упражнение 3

Найти тридцать седьмой член арифметической прогрессии, если: a36=-54, a38=16.


Контрольные вопросы

 

1. Как определить, что последовательность является арифметической прогрессией?

2. Какие есть виды прогрессии? От чего зависит вид прогрессии?

3. Как найти шестнадцатый член арифметической прогрессии, если её разность равна 5, а тридцать третий член равен 41?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 19; 20,5; 22; 23,5; 25

2. 37; 35; 33; 31; 29

3. 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6.

 

 

Упражнение 2

 

1. 397.               2. -50.               3. 19.

 

 

Упражнение 3

 

1. -19.


Предыдущий урок
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии
Последовательности
Следующий урок
Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии
Последовательности
  • Обмен веществ и энергии в организме: пластический обмен (фотосинтез, синтез белка)

    Биология

  • Бессоюзные сложные предложения со значением перечисления. Запятая и точка с запятой в БСП

    Русский язык

  • Признаки живого. Биологические науки. Методы биологии. Уровни организации живой природы. Роль биологии в формировании картины мира

    Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке