Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Последовательности

01.03.2024
1108
0

Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

План урока

  • Геометрическая прогрессия.
  • Формула n-го члена геометрической прогрессии.
  • Свойства геометрической прогрессии.

Цели урока

  • Знать определение геометрической прогрессии, что такое знаменатель геометрической прогрессии.
  • Уметь находить знаменатель геометрической прогрессии.
  • Знать, как найти n-й член геометрической прогрессии.
  • Уметь находить n-й член геометрической прогрессии.
  • Уметь пользоваться свойствами геометрической прогрессии.

Разминка

  • Что такое арифметическая прогрессия?
  • Какое число пропущено в арифметической прогрессии -14; x; 4; 13; ....
  • Какой закономерностью связаны между собой члены этой последовательности 4; 12; 36; 108; 324; ...?

Геометрическая прогрессия

 

Ещё одной из самых распространенных в жизни и в математике последовательностей является геометрическая прогрессия. Её можно встретить в физике, экономике, биологии. Например, по закону геометрической прогрессии распадаются радиоактивные элементы (их число уменьшается вдвое за некоторый промежуток времени). Деление бактерий часто происходит по этому закону (например, каждую секунду одна бактерия делится на три). Эти процессы имеют общую закономерность — количество чего-либо увеличивается или уменьшается в одинаковое количество раз. Дадим определение геометрической прогрессии.


Геометрической прогрессией  (bn) называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, т. е. для любого натурального n верно равенство bn+1=bn·q, где q — некоторое число, причём bn0.

 

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.


Из определения следует, что формула для вычисления знаменателя геометрической прогрессии имеет вид q=bn+1bn.

 

В зависимости от значений знаменателя q и первого члена b1 существуют пять видов геометрической прогрессии:

 

  • возрастающая при q>1, b1>0, например, 1; 4; 16; ... (q=4, b1=1);
  • убывающая при q>1, b1<0, например, -1; -5; -25; -125; ... (q=5, b1=-1);
  • стационарная при q=1, например, 7; 7; 7; 7; 7; ...;
  • бесконечно убывающая при -1<q<1, например, 12; 16; 118; ... (q=13);
  • знакочередующаяся при q<-1 например, 2; -4; 8; -16; ... (q=-2).


Пример 1

Найдите первые пять членов геометрической прогрессии, если b1=164, q=8


Решение

 

Воспользуемся формулой из определения bn+1=bn·q.

 

b1=164,

 

b2=b1·q=164·8=18,

 

b3=b2·q=18·8=1,

 

b4=b3·q=1·8=8,

 

b5=b4·q=8·8=64.

 

Ответ: 164; 18; 1; 8; 64; ....


Упражнение 1

Найдите первые пять членов геометрической прогрессии, если:

 

1. b1=118, q=9;    

2. b1=-250, q=15;  

3. b1=3, q=-4


Формула n-го члена геометрической прогрессии

 

В предыдущем примере мы легко нашли первые пять членов прогрессии, используя значения предыдущего члена и знаменателя. Теперь получим формулу, которая позволит найти любой член геометрической прогрессии, зная его номер, значения первого члена и знаменателя. Для этого, используя формулу из определения bn+1=bn·q, выразим несколько членов прогрессии через b1 и q.

 

b2=b1·q,

 

b3=b2·q=(b1·q)·q=b1·q2,

 

b4=b3·q=(b1·q2)·q=b1·q3,

 

b5=b4·q=(b1·q3)·q=b1·q4.

 

Заметим, что для того, чтобы получить некоторый n-й член геометрической прогрессии, необходимо b1 умножить на qn-1.


Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

 

bn=b1·qn-1

 

Вообще, эту формулу можно обобщить. Для того, чтобы найти значение bn, зная значение некоторого bk и знаменатель q,необходимо bk умножить qn-k, т. е. для любых натуральных kn k<n.

 

bn=bk·qn-k


Пример 2

Найдите тринадцатый член геометрической прогрессии bn, если b7=132, q=4. 


Решение

 

Воспользуемся формулой n-го члена общего вида bn=bk·qn-k.

 

Из условия имеем, что b7=132, q=4, k=7, n=13. Подставим в формулу и получим

 

b13=b7·q13-7=132·46=128.

 

Ответ: 128.


Упражнение 2

Найдите восьмой член геометрической прогрессии bn, если:

 

1. b1=200, q=12;   

2. b1=3, q=-2;    

3. b5=7, q=3.


Свойство геометрической прогрессии

 

Геометрическая прогрессия, также как и арифметическая, обладает важным свойством. Только теперь это свойство связано не со средним арифметическим, а со средним геометрическим. Рассмотрим и докажем это свойство для геометрической прогрессии.


Свойство геометрической прогрессии

 

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, 
т. е. для любого n>2 верно равенство

 

bn2=bn-1·bn+1.


Другими словами, модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е. для любого n>2 верно равенство

 

bn=bn-1·bn+1

 

Докажем это свойство. Для этого достаточно воспользоваться определением. Запишем его для bn и bn+1:

 

bn=bn-1·q, откуда bn-1=bnq,

 

bn+1=bn·q.

 

Подставим полученные равенства в правую часть формулы из свойства.

 

bn-1·bn+1=bnq·(bn·q)=bn2.

 

Верно и обратное утверждение.


Если в последовательности чисел (bn), отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией.


Пример 3

Найдите пропущенный член геометрической прогрессии ...; 4; x; 100; ..., если знаменатель этой прогрессии положительный.


Решение

 

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии:

 

bn2=bn-1·bn+1.

 

Подставим данные из условия:

 

x2=4·100=400, x=±20.

 

Знаменатель прогрессии положительный, это означает, что прогрессия не знакочередующаяся, т. е. x=20.

 

Ответ: 20.


Пример 4


Составьте формулу n−го члена геометрической прогрессии (bn), если разность между шестым и четвертым членами равна 72, разность между третьим и пятым членами равна 9.


Решение
 

b6-b4=72,b3-b5=9,b1q5-b1q3=72,b1q2-b1q4=9,b1q3q2-1=72,b1q21-q2=9,

 

91-q2·qq2-1=72,b1q2=91-q2.


Решим отдельно первое уравнение системы.
 

91-q2·qq2-1=72,

 

-9q=72,

 

q=-8.


Выразим из второго уравнения системы b1 через q:


b1=9q21-q2.


Подставим найденное значение q в полученную формулу, получим b1=-1448.


Формула n−го члена геометрической прогрессии имеет вид bn=b1qn-1, подставим в нее найденные значения первого члена и знаменателя:
 

bn=-1448·-8n-1.


Так как 448=-82·7, то bn=-17·-8n-3.
 

Ответbn=-17·-8n-3.


Упражнение 3

Найдите пропущенный член геометрической прогрессии ...; -15; x; -16,2; ..., если знаменатель этой прогрессии отрицательный.


Контрольные вопросы

 

1. Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?

2. Чем убывающая геометрическая прогрессия отличается от бесконечно убывающей?

3. Как найти семнадцатый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равна 5, а двадцать первый член равен 1000?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 118; 12; 4,5; 40,5; 364,5

2. -250; -50; -10; -2; -0,4

3. 3; -12; 48; -192; 768.

 

 

Упражнение 2

 

1. 1,5625=2516.               2. -384.                3. 189

 

 

Упражнение 3

 

1. 1,8.


Предыдущий урок
Последовательности
Последовательности
Следующий урок
Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии
Последовательности
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Неклеточные формы жизни: вирусы

    Биология

  • Длина окружности и площадь круга

    Геометрия

  • Конструирование алгоритмов

    Информатика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке