Конспект урока: Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Ещё одной из самых распространенных в жизни и в математике последовательностей является геометрическая прогрессия. Её можно встретить в физике, экономике, биологии. Например, по закону геометрической прогрессии распадаются радиоактивные элементы (их число уменьшается вдвое за некоторый промежуток времени). Деление бактерий часто происходит по этому закону (например, каждую секунду одна бактерия делится на три). Эти процессы имеют общую закономерность — количество чего-либо увеличивается или уменьшается в одинаковое количество раз. Дадим определение геометрической прогрессии.

Из определения следует, что формула для вычисления знаменателя геометрической прогрессии имеет вид $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$.

В зависимости от значений знаменателя $q$ и первого члена $b_1$ существуют пять видов геометрической прогрессии:

• возрастающая при $q>1, b_1>0$, например, $1; 4; 16; ...$ $(q=4, b_1=1)$;
• убывающая при $q>1, b_1<0$, например, $-1; -5; -25; -125; ...$ $(q=5, b_1=-1)$;
• стационарная при $q=1$, например, $7; 7; 7; 7; 7; ...$;
• бесконечно убывающая при $-1<q<1$, например, $\frac{1}{2}; \frac{1}{6}; \frac{1}{18}; ...$ $(q=\frac{1}{3})$;
• знакочередующаяся при $q<-1$ например, $2; -4; 8; -16; ...$ $(q=-2)$.

Найдите первые пять членов геометрической прогрессии, если $b_1=\frac{1}{64}, q=8$. 

Решение

Воспользуемся формулой из определения $b_{n+1}=b_n·q$.

$b_1=\frac{1}{64}$,

$b_2=b_1·q=\frac{1}{64}·8=\frac{1}{8}$,

$b_3=b_2·q=\frac{1}{8}·8=1$,

$b_4=b_3·q=1·8=8$,

$b_5=b_4·q=8·8=64$.

Ответ: $\frac{1}{64}; \frac{1}{8}; 1; 8; 64; ...$.

Найдите первые пять членов геометрической прогрессии, если:

1. $b_1=\frac{1}{18}, q=9$;    

2. $b_1=-250, q=\frac{1}{5}$;  

3. $b_1=3, q=-4$

Формула $\mathit{n}$-го члена геометрической прогрессии

В предыдущем примере мы легко нашли первые пять членов прогрессии, используя значения предыдущего члена и знаменателя. Теперь получим формулу, которая позволит найти любой член геометрической прогрессии, зная его номер, значения первого члена и знаменателя. Для этого, используя формулу из определения $b_{n+1}=b_n·q$, выразим несколько членов прогрессии через $b_1$ и $q$.

$b_2=b_1·q$,

$b_3=b_2·q=(b_1·q)·q=b_1·q^2$,

$b_4=b_3·q=(b_1·q^2)·q=b_1·q^3$,

$b_5=b_4·q=(b_1·q^3)·q=b_1·q^4$.

Заметим, что для того, чтобы получить некоторый $n$-й член геометрической прогрессии, необходимо $b_1$ умножить на $q^{n-1}$.

Найдите тринадцатый член геометрической прогрессии $\left(b_n\right)$, если $b_7=\frac{1}{32}, q=4.$ 

Решение

Воспользуемся формулой $n$-го члена общего вида $b_n=b_k·q^{n-k}$.

Из условия имеем, что $b_7=\frac{1}{32}, q=4, k=7, n=13$. Подставим в формулу и получим

$b_{13}=b_7·q^{13-7}=\frac{1}{32}·4^6=128$.

Ответ: $128$.

Найдите восьмой член геометрической прогрессии $\left(b_n\right)$, если:

1. $b_1=200, q=\frac{1}{2}$;   

2. $b_1=3, q=-2$;    

3. $b_5=7, q=3$.

Свойство геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия, также как и арифметическая, обладает важным свойством. Только теперь это свойство связано не со средним арифметическим, а со средним геометрическим. Рассмотрим и докажем это свойство для геометрической прогрессии.

Другими словами, модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е. для любого $n>2$ верно равенство

$\left|b_n\right|=\sqrt{b_{n-1}·b_{n+1}}$

Докажем это свойство. Для этого достаточно воспользоваться определением. Запишем его для $b_n$ и $b_{n+1}$:

$b_n=b_{n-1}·q$, откуда $b_{n-1}=\frac{b_n}{q}$,

$b_{n+1}=b_n·q$.

Подставим полученные равенства в правую часть формулы из свойства.

$b_{n-1}·b_{n+1}=\frac{b_n}{q}·(b_n·q)={b_n}^2$.

Верно и обратное утверждение.

Найдите пропущенный член геометрической прогрессии $...; 4; x; 100; ...$, если знаменатель этой прогрессии положительный.

Решение

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии:

${b_n}^2=b_{n-1}·b_{n+1}$.

Подставим данные из условия:

$x^2=4·100=400, x=\pm 20$.

Знаменатель прогрессии положительный, это означает, что прогрессия не знакочередующаяся, т. е. $x=20$.

Ответ: $20$.

Решение
 

$\left\{\begin{array}{l}{b}_6-b_4=72,\\ b_3-b_5=9,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{b}_1{q}^5-b_1{q}^3=72,\\ b_1{q}^2-b_1{q}^4=9,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{b}_1{q}^3\left(q^2-1\right)=72,\\ b_1{q}^2\left(1-q^2\right)=9,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{1-q^2}·q\left(q^2-1\right)=72,\\ b_1{q}^2=\frac{9}{1-q^2}.\end{array}\right.$

Решим отдельно первое уравнение системы.
 

$\frac{9}{1-q^2}·q\left(q^2-1\right)=72$,

$-9q=72$,

$q=-8$.

Выразим из второго уравнения системы $b_1$ через $q$:

$b_1=\frac{9}{q^2\left(1-q^2\right)}$.

Подставим найденное значение $q$ в полученную формулу, получим $b_1=-\frac{1}{448}$.

Формула $n$−го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n=b_1{q}^{n-1}$, подставим в нее найденные значения первого члена и знаменателя:
 

$b_n=-\frac{1}{448}·{\left(-8\right)}^{n-1}$.

Так как $448={\left(-8\right)}^2·7$, то $b_n=-\frac{1}{7}·{\left(-8\right)}^{n-3}$.
 

Ответ: $b_n=-\frac{1}{7}·{\left(-8\right)}^{n-3}$.

Найдите пропущенный член геометрической прогрессии $...; -\frac{1}{5}; x; -16,2; ...$, если знаменатель этой прогрессии отрицательный.

Упражнение 1

1. $\frac{1}{18}; \frac{1}{2}; 4,5; 40,5; 364,5$. 

2. $-250; -50; -10; -2; -0,4$. 

3. $3; -12; 48; -192; 768$.

Упражнение 2

1. $1,5625=\frac{25}{16}$.               2. $-384$.                3. $189$

Упражнение 3

1. $1,8$.