Конспект урока: Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия

Мы определили, что последовательностью называют множество чисел, связанных между собой некоторой закономерностью, причем каждому из них соответствует свой порядковый номер. Последовательности окружают нас повсюду: в химии, в физике, в биологии, в медицине и даже в литературе. Так в литературе существует два стихотворных размера ямб (ударение на чётный слог: 2, 4, 6, …) и хорей (ударение на нечётный слог: 1, 3, 5, …). 

Одной из самых распространенных в жизни и в математике последовательностей является арифметическая прогрессия. 

Из определения следует, что формула для вычисления разности арифметической прогрессии имеет вид $d=a_{n+1}-a_n$.

В зависимости от значения разности $d$ существуют три вида арифметической прогрессии:

• возрастающая при $d>0$, например, $6; 17; 28; 39; 50; ...$ $(d=11)$;
• убывающая при $d<0$, например, $15; 11; 7; 3; -1; ...$ $(d=-4)$;
• стационарная при $d=0$, например, $17; 17; 17; 17; 17; ...$

Найдите первые пять членов арифметической прогрессии $\left(a_n\right)$, если $a_1=2$, $d=3$. 

Решение

Воспользуемся формулой из определения $a_{n+1}=a_n+d$.

$a_1=2$,

$a_2=a_1+d=2+3=5$,

$a_3=a_2+d=5+3=8$,

$a_4=a_3+d=8+3=11$,

$a_5=a_4+d=11+3=14$.

Ответ: $2; 5; 8; 11; 14$.

Найдите первые пять членов арифметической прогрессии $\left(a_n\right)$, если:

1. $a_1=19, d=1,5$;  

2. $a_1=37, d=-2$; 

3. $a_1=0,2, d=0,1$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

В предыдущем примере мы легко нашли первые пять членов прогрессии, используя значения предыдущего члена и разности. Теперь получим формулу, которая позволит найти любой член прогрессии, зная его номер, значения первого члена и разности прогрессии. Для этого, используя формулу из определения, $a_{n+1}=a_n+d$, выразим несколько членов прогрессии через $a_1$ и $d$.

$a_2=a_1+d$,

$a_3=a_2+d=(a_1+d)+d=a_1+2d$,

$a_4=a_3+d=(a_1+2d)+d=a_1+3d$,

$a_5=a_4+d=(a_1+3d)+d=a_1+4d$.

Обратим внимание, что для того, чтобы получить некоторый $n$-й член прогрессии, необходимо к $a_1$ прибавить $(n-1)d$.

Вообще, эту формулу можно обобщить. Для того, чтобы найти значение $a_n$, зная значение некоторого $a_k$ и разность $d$, необходимо к $a_k$ прибавить $(n-k)d$, т. е. для любых натуральных $k, n$ $\left(k<n\right)$

$a_n=a_k+d(n-k)$

Найдите пятьдесят пятый член арифметической прогрессии $\left(a_n\right)$, если $a_{13}=24, d=8$.

Решение

Воспользуемся формулой $n$-го члена общего вида $a_n=a_k+d(n-k)$.

Из условия имеем, что $a_{13}=24, d=8, k=13, n=55$. Подставим в формулу и получим

$a_{55}=24+8(55-13)=360$.

Ответ: $360$.

Найдите семьдесят восьмой член арифметической прогрессии $\left(a_n\right)$, если:

1. $a_1=12, d=5$;    

2. $a_1=258, d=-4$;  

3. $a_{54}=7, d=0,5$.

Свойство арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия обладает важным свойством.

Докажем это свойство. Для этого достаточно воспользоваться определением. 

Запишем его для $a_n$ и $a_{n+1}$ получим

$a_n=a_{n-1}+d$, откуда $a_{n-1}=a_n-d$,

$a_{n+1}=a_n+d$

Подставим полученные равенства в правую часть формулы из свойства.

$\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=\frac{(a_n-d)+(a_n+d)}{2}=\frac{2a_n}{2}=a_n$

Верно и обратное утверждение.

Найдите сорок восьмой член арифметической прогрессии $\left(a_n\right)$, если $a_{47}=42, a_{49}=6$. 

Решение

Воспользуемся свойством арифметической прогрессии $\left(a_n\right)$:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.

Подставим данные из условия:

$a_{48}=\frac{a_{47}+a_{49}}{2}=\frac{42+6}{2}=24$.

Ответ: $24$.

Найдите тридцать седьмой член арифметической прогрессии $\left(a_n\right)$, если: $a_{36}=-54, a_{38}=16$.

Упражнение 1

1. $19; 20,5; 22; 23,5; 25$. 

2. $37; 35; 33; 31; 29$. 

3. $0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6$.

Упражнение 2

1. $397$.               2. $-50$.               3. $19$.

Упражнение 3

1. $-19$.