Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Последовательности

Последовательности

01.03.2024
1044
0

Последовательности

План урока

  • Последовательности;
  • Виды последовательностей;
  • Способы задания последовательностей.

Цели урока

  • Знать определение последовательности и способы её задания;
  • Уметь находить члены заданной последовательности.

Разминка

  • Чему равно значение выражения 102+53+44?
  • Найдите значение функции f(x)=4x+6 при x=2.
  • Найдите закономерность в ряду 7; 19; 43; 91.

Последовательности

 

Знания о числовых последовательностях пришли к нам из глубокой древности и ныне необходимы для того, чтобы ориентироваться во многих жизненно важных процессах природы и общества. В жизни, в природе, в науке и технике большинство процессов происходят по определенному закону. Зная закономерность в изменении некоторой величины, с помощью законов последовательностей можно легко продолжить эту последовательность вперед и прогнозировать определенные результаты в будущем, либо, наоборот, узнать, что было в прошлом.

 

Важным понятием в математике является последовательность. Оно является ключевым для решения задач, связанных с прогнозированием законов, заданных определенным соотношением.


Последовательность — это множество чисел, где каждому из них соответствует свое порядковое число, и элементы этого множества связаны между собой определенной закономерностью. 


Примерами последовательностей являются:

 

  • множество положительных чисел кратных 44; 8; 12; 16; 20; 24; ...;
  • множество правильных дробей, в числителе которых 1, а в знаменателе нечётные числа:

13; 15; 17; 19; 111; ...


Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности .

 

Члены последовательности обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена, например a1, a2, a3, a4, ...(читают: «a первое, a второе, a третье, a четвертое и т. д.»).

 

Сама последовательность обозначается так: (an).


Виды последовательностей

 

По количеству членов в последовательности их можно разделить на бесконечные и конечные. По виду изменения членов прогрессии существуют возрастающие, убывающие и стационарные последовательности.

 

Бесконечной называют последовательность, в которой количество членов бесконечно много, нет последнего. Например, бесконечными являются следующие последовательности:

 

  • 1; 3; 5; 7; 9; 11; ... — последовательность нечетных натуральных чисел;
  • 2; 4; 8; 16; 32; 64; ... — последовательность натуральных степеней числа 2.

 

Конечная последовательность — это последовательность, содержащая конечное число членов, можно определить последний. Примерами конечной последовательности служат:

 

  • 1; 2; 3; ...; 8; 9 — последовательность однозначных натуральных чисел;
  • 150; 250; 350; ...; 4950 — последовательность правильных дробей со знаменателем, равным 50.

 

Возрастающей называют последовательность, у которой каждый её член, начиная со второго, больше своего предыдущего. Любая последовательность из приведенных выше (примеры бесконечной и конечной последовательностей) является возрастающей.

 

Последовательность называется убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего. Например, 13; 19; 127; 181; ...  — последовательность правильных дробей, числитель которых равен 1, а знаменатель является натуральной степенью числа 3.

 

Стационарная — это последовательность, все члены которой равны между собой. Например, 7; 7; 7; 7; ....

 

Способы задания последовательности

 

Существует несколько способов задать последовательность. Одним из них мы уже пользуемся, т. к. с его помощью записывали примеры последовательностей. Этот способ задания последовательности называется способ в виде ряда .

 

Самый популярный способ задания последовательности в математике — аналитический способ . В этом случае используют формулу n-го члена последовательности, т. е. значение члена последовательности зависит от его порядкового номера. 


Пример 1

Найдите значения первых пяти членов последовательности, заданной формулой an=2n-3.


Решение

 

Число n — номер члена в последовательности, т. е. n является натуральным числом.

 

Чтобы найти первые пять членов последовательности, необходимо в ее формулу an=2n-3 вместо n подставить числа 1, 2, 3, 4 и 5. Получим

 

a1=-1, a2=1, a3=3, a4=5, a5=7.

 

Ответ: a1=-1, a2=1, a3=3, a4=5, a5=7.


Упражнение 1

Последовательность задана формулой bn=n2-2n+1. Найдите:

 

1. b3                2. b10               3. 2b5+b8-b12


Ещё один способ задания последовательности называется рекуррентным . В этом случае указывают первый член последовательности (или несколько первых членов) и формулу, выражающие любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.


Пример 2

Найдите значения следующих пяти членов последовательности, для которой x1=2x2=3 и для n>2xn=2xn-1+xn-2


Решение

 

Найдем x3, x4, x5, x6 и x7 используя формулу xn=2xn-1+xn-2 и значения для первого и второго членов этой последовательности (x1=2, x2=3):

 

x3=2·x2+x1=2·3+2=8,

 

x4=2·x3+x2=2·8+3=19,

 

x5=2·x4+x3=2·19+8=46,

 

x6=2·x5+x4=2·46+19=111,

 

x7=2·x6+x5=2·111+46=268.

 

Ответ: 8; 19; 46; 111; 268.


Упражнение 2

Найдите значения следующих пяти членов последовательности, для которой  x1=1, x2=2 и xn=3xn-1-xn-2 при n>2.


Контрольные вопросы

 

1. Что такое последовательность?

2. Какие виды последовательностей существуют?

3. Опишите способы задания последовательности.


Ответы

Упражнение 1

 

1. 4.               2. 81.              3. -40.

 

 

Упражнение 2

 

1. 5; 13; 34; 89; 233.


Предыдущий урок
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии
Последовательности
Следующий урок
Системы неравенств с двумя переменными
Системы уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

    Алгебра

  • Пунктуация. Знаки препинания. Виды знаков препинания

    Русский язык

  • Бессоюзные сложные предложения со значением перечисления. Запятая и точка с запятой в БСП

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке