Конспект урока: Последовательности

Последовательности

Знания о числовых последовательностях пришли к нам из глубокой древности и ныне необходимы для того, чтобы ориентироваться во многих жизненно важных процессах природы и общества. В жизни, в природе, в науке и технике большинство процессов происходят по определенному закону. Зная закономерность в изменении некоторой величины, с помощью законов последовательностей можно легко продолжить эту последовательность вперед и прогнозировать определенные результаты в будущем, либо, наоборот, узнать, что было в прошлом.

Важным понятием в математике является последовательность. Оно является ключевым для решения задач, связанных с прогнозированием законов, заданных определенным соотношением.

Примерами последовательностей являются:

• множество положительных чисел кратных $4$: $4; 8; 12; 16; 20; 24; ...$;
• множество правильных дробей, в числителе которых $1$, а в знаменателе нечётные числа:

$\frac{1}{3}; \frac{1}{5}; \frac{1}{7}; \frac{1}{9}; \frac{1}{11}; ...$

Виды последовательностей

По количеству членов в последовательности их можно разделить на бесконечные и конечные. По виду изменения членов прогрессии существуют возрастающие, убывающие и стационарные последовательности.

Бесконечной называют последовательность, в которой количество членов бесконечно много, нет последнего. Например, бесконечными являются следующие последовательности:

• $1; 3; 5; 7; 9; 11; ...$ — последовательность нечетных натуральных чисел;
• $2; 4; 8; 16; 32; 64; ...$ — последовательность натуральных степеней числа $2$.

Конечная последовательность — это последовательность, содержащая конечное число членов, можно определить последний. Примерами конечной последовательности служат:

• $1; 2; 3; ...; 8; 9$ — последовательность однозначных натуральных чисел;
• $\frac{1}{50}; \frac{2}{50}; \frac{3}{50}; ...; \frac{49}{50}$ — последовательность правильных дробей со знаменателем, равным $50$.

Возрастающей называют последовательность, у которой каждый её член, начиная со второго, больше своего предыдущего. Любая последовательность из приведенных выше (примеры бесконечной и конечной последовательностей) является возрастающей.

Последовательность называется убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего. Например, $\frac{1}{3}; \frac{1}{9}; \frac{1}{27}; \frac{1}{81}; ...$ — последовательность правильных дробей, числитель которых равен $1$, а знаменатель является натуральной степенью числа $3$.

Стационарная — это последовательность, все члены которой равны между собой. Например, $7; 7; 7; 7; ...$.

Способы задания последовательности

Существует несколько способов задать последовательность. Одним из них мы уже пользуемся, т. к. с его помощью записывали примеры последовательностей. Этот способ задания последовательности называется способ в виде ряда.

Самый популярный способ задания последовательности в математике — аналитический способ. В этом случае используют формулу $n$-го члена последовательности, т. е. значение члена последовательности зависит от его порядкового номера. 

Найдите значения первых пяти членов последовательности, заданной формулой $a_n=2n-3$.

Решение

Число $n$ — номер члена в последовательности, т. е. $n$ является натуральным числом.

Чтобы найти первые пять членов последовательности, необходимо в ее формулу $a_n=2n-3$ вместо $n$ подставить числа $1, 2, 3, 4$ и $5$. Получим

$a_1=-1, a_2=1, a_3=3, a_4=5, a_5=7$.

Ответ: $a_1=-1, a_2=1, a_3=3, a_4=5, a_5=7$.

Последовательность задана формулой $b_n=n^2-2n+1$. Найдите:

1. $b_3$                2. $b_{10}$               3. $2b_5+b_8-b_{12}$

Ещё один способ задания последовательности называется рекуррентным. В этом случае указывают первый член последовательности (или несколько первых членов) и формулу, выражающие любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.

Найдите значения следующих пяти членов последовательности, для которой $x_1=2$, $x_2=3$ и для $n>2$, $x_n=2x_{n-1}+x_{n-2}$. 

Решение

Найдем $x_3, x_4, x_5, x_6$ и $x_7$ используя формулу $x_n=2x_{n-1}+x_{n-2}$ и значения для первого и второго членов этой последовательности $(x_1=2, x_2=3)$:

$x_3=2·x_2+x_1=2·3+2=8$,

$x_4=2·x_3+x_2=2·8+3=19$,

$x_5=2·x_4+x_3=2·19+8=46$,

$x_6=2·x_5+x_4=2·46+19=111$,

$x_7=2·x_6+x_5=2·111+46=268$.

Ответ: $8; 19; 46; 111; 268$.

Найдите значения следующих пяти членов последовательности, для которой  $x_1=1, x_2=2$ и $x_n=3x_{n-1}-x_{n-2}$ при $n>2$.

Упражнение 1

1. $4$.               2. $81$.              3. $-40$.

Упражнение 2

1. $5; 13; 34; 89; 233$.