Конспект урока: Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Формулы суммы первых $\mathit{n}$ членов

Шахматы — одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания. 

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь с ней познакомился, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных положений в ней. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его и предложил ему самому выбрать награду.  Изобретатель попросил выдать за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую 2 пшеничных зерна, за третью — 4, за четвертую — 8 и т. д. Позже царь очень удивился, что не в его власти исполнять подобные «скромные» желания. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. Так сколько же зерен нужно всего. Это $18 446 744 073 709 551 615$ или $2^{64}-1$.

Эта задача служит примером геометрической прогрессии (количество зерен на каждую клетку увеличивается в два раза). Чтобы уметь вычислять подобные суммы, выведем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. 

Рассмотрим произвольную геометрическую прогрессию, состоящую из $n$ членов $b_1,b_2, b_3, ..., b_{n-1}, b_n$. Обозначив через $S_n$ сумму первых $n$ членов, получим

$S_n=b_1+b_2+b_3+...+b_{n-1}+b_n$.

Если умножить обе части суммы на знаменатель $q$, то имеем

$S_{n}q=b_{1}q+b_{2}q+b_{3}q+...+b_{n-1}q+b_{n}q$.

Тогда по определению геометрической прогрессии $(b_{k+1}=b_k\times q)$ последнее полученное равенство можно записать в следующем виде:

$S_{n}q=b_2+b_3+b_4+...+b_n+b_{n}q$.

Обратим внимание, что правые части равенств для $S_n$ и $S_{n}q$ очень похожи, отличаются только одной парой слагаемых: у $S_n$ есть $b_1$, а у $S_{n}q$ — $b_{n}q$, а все остальные слагаемые одинаковые. Тогда вычтем из равенства для $S_{n}q$ выражение для $S_n$. Получим

$S_{n}q-S_n=(b_2+b_3+...+b_n+b_{n}q)-(b_1+b_2+b_3+...+b_n)=b_{n}q-b_1$

Выразим из последнего равенства $S_n$:

$S_n(q-1)=b_{n}q-b_1$,

$S_n=\frac{b_{n}q-b_1}{q-1}$.

Это и есть формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. 

Получим формулу суммы при известных значениях первого члена и знаменателя геометрической прогрессии.

Воспользовавшись формулой $n$-го члена $b_n=b_1\times q^{n-1}$ получим

$S_n=\frac{(b_1\times q^{n-1})q-b_1}{q-1}=\frac{b_1{q}^n-b_1}{q-1}=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

Найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии $4; 12; 36; ...$.

Решение

Для данной прогрессии воспользуемся формулой 

$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

Из условия имеем, что $b_1=4, q=\frac{12}{4}=3, n=8$. Подставим в формулу данные значения, получим

$S_8=\frac{4(3^8-1)}{3-1}=13 120$.

Ответ: $13 120$.

1. Найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии $-2; -4; -8; ...$.

2. Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если $b_1=64, q=\frac{1}{2}$.

Формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии 

Вспомним, что бесконечно убывающей называют геометрическую прогрессию, у которой знаменатель $\left|q\right|<1$.

Если для такой прогрессии мы хотим вычислить сумму некоторого определенного числа членов, то мы можем воспользоваться любой из формул, полученных ранее. Но если мы хотим вычислить сумму бесконечного количества членов, то необходимо воспользоваться следующей формулой

$S=\frac{b_1}{1-q}$.

Обратим внимание, что этой формулой пользуемся только в том случае, если $\left|q\right|<1$ и необходимо найти сумму бесконечного числа членов.

Найти сумму геометрической прогрессии, если $b_1=6, q=0,6$.

Решение

Для данной прогрессии воспользуемся формулой

$S=\frac{b_1}{1-q}$. 

По условию $b_1=6, q=0,6$. Подставив в формулу, получим: 

$S=\frac{6}{1-0,6}=15$.

Ответ: $15$.

1. Найти сумму геометрической прогрессии, если $b_1=10, q=0,8$.

2. Найти сумму геометрической прогрессии, если $b_1=35, q=0,3$.

1. Верно ли утверждение: в геометрической прогрессии каждое последующее число обязательно больше или меньше предыдущего? Почему?

2. Можно ли вычислить сумму с пятого по десятый член суммы геометрической прогрессии, зная первый и знаменатель прогрессии?

Упражнение 1

1. $-2 046$.               2. $126$.

Упражнение 2

1. $50$.                2. $50$.