Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Разложение квадратного трехчлена на множители

Алгебраические выражения

Разложение квадратного трёхчлена на множители

План урока

  • Теорема о разложении квадратного трёхчлена на множители;
  • Применение теоремы о разложении на множители квадратного трехчлена на практике.

Цели урока

  • Знать теорему о разложении квадратного трехчлена на множители;
  • Знать в каком случае невозможно разложить квадратный трехчлен на множители;
  • Уметь раскладывать квадратный трёхчлен на множители.

Разминка

  • Что такое квадратный трёхчлен?
  • Сколько корней может быть у квадратного трёхчлена?
  • Вспомните формулы сокращенного умножения.

Теорема о разложении

 

Мы уже говорили о необходимости уметь работать с разными выражениями, в частности, с многочленами. Это нужно для решения большого количества прикладных задач. Поэтому, сейчас мы поговорим о важном навыке работы с квадратным трёхчленом – разложение его на множители.

 

Вспомним, что квадратным трёхчленом называют многочлен вида ax2+bx+c, где x - переменная, ab и c - числовые коэффициенты, причём a0. При этом мы знаем, что корни квадратного трёхчлена совпадают с корнями квадратного уравнения ax2+bx+c=0, а их количество зависит от значения дискриминанта D=b2-4ac. Тогда можем представить квадратный трёхчлен в виде произведения согласно следующей теореме.


Теорема

 

Если x1 и x2 корни квадратного трёхчлена ax2+bx+c, то 

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).


Докажем эту теорему. 

 

Вынесем за скобки в многочлене ax2+bx+c множитель a

Получим

ax2+bx+c=a(x2+bax+ca).

 

Так как корни квадратного трёхчлена ax2+bx+c совпадают с корнями квадратного уравнения ax2+bx+c=0, то по теореме Виета: 

 

x1+x2=-baba=-(x1+x2)

x1·x2=ca

 

Подставляя выражения из теоремы Виета в x2+bax+ca, получим:

 

x2+bax+ca=x2-(x1+x2)x+x1x2

 

Теперь раскрываем скобки и группируем:

 

x2-(x1+x2)x+x1x2=x2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)=

=(x-x1)(x-x2)

 

Итог:

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)


Такое разложение можно получить для любого квадратного трёхчлена, имеющего корни. При этом считают, что если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то этот трёхчлен имеет два равных корня.


Пример 1

Разложить на множители квадратный трёхчлен:

3x2+x-10.


Решение

 

Решим уравнение 3x2+x-10=0.

 

D=12-4·3·(-10)=121

x1=-1-116=-2,  x2=-1+116=53

 

По теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители имеем:

 

3x2+x-10=3(x-(-2))x-53=3(x+2)x-53

 

Полученный результат можно записать иначе, умножив число 3 на двучлен x-53. Получим:

 

3x2+x-10=(3x-5)(x+2)

 

Ответ: (3x-5)(x+2).


Упражнение 1

  1. x2+x-12;
  2. 5x2+7x+2;
  3. 4x2-13x+3.

 

Мы сказали, что разложение возможно в случае, когда квадратный трёхчлен имеет корни. Другими словами, не всегда можно разложить квадратный трёхчлен на множители.


Если квадратный трёхчлен ax2+bx+c не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.


Докажем это. 

 

Пусть квадратный трёхчлен ax2+bx+c не имеет корней. Предположим, что его можно представить в виде произведения многочленов первой степени:

 

ax2+bx+c=(kx+m)(px+q),

 

где kmp и q- некоторые числа, причём k0 и p0

 

Произведение (kx+m)(px+q) обращается в нуль при x=-mk и x=-qp. Следовательно, при этих значениях x обращается в нуль и трёхчлен ax2+bx+c, т.е. числа -mk и -qp являются его корнями. 

 

Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трёхчлен корней не имеет.


Пример 2

Разложить на множители квадратный трёхчлен:

9x2-42x+49.


Решение

 

Решим уравнение 9x2-42x+49=0.

 

D=422-4·9·49=0

x1=x2=4218=73

 

По теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители имеем:

 

9x2-42x+49=9x-73x-73=9x-732

 

 

Полученный результат можно записать иначе, если внести число 9 в скобки x-732. Получим:

 

9x2-42x+49=(3x-7)2

 

Ответ: (3x-7)2.


Упражнение 2

Проверьте, можно ли разложить квадратный трёхчлен на множители, и если можно, то разложите.

 

  1. 4x2+4x+1;
  2. 6x2+7x-3;
  3. x2-3x+11.


Контрольные вопросы:

 

1. В каком случае можно разложить квадратный трёхчлен на множители?

2. Как будет выглядеть это разложение?

3. В случае, когда дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то с помощью какой формулы сокращенного умножения можно разложить на множители квадратный трёхчлен?


Ответы

Упражнение 1

 

  1. (x-3)(x+4) 2. (5x+2)(x+1) 3. (4x-1)(x-3).

Упражнение 2

 

  1. можно, (2x+1)2. 2. можно, (3x-1)(2x+3). 3. нельзя.


Предыдущий урок
Квадратный трехчлен и его корни
Алгебраические выражения
Следующий урок
Решение систем уравнений второй степени
Системы уравнений и неравенств
  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История

  • Одномерные массивы. Вычисление суммы элементов массива

    Информатика

  • Правоотношения и субъекты права

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке