Разложение квадратного трехчлена на множители

Разложение квадратного трёхчлена на множители

План урока

Теорема о разложении квадратного трёхчлена на множители;
Применение теоремы о разложении на множители квадратного трехчлена на практике.

Цели урока

Знать теорему о разложении квадратного трехчлена на множители;
Знать в каком случае невозможно разложить квадратный трехчлен на множители;
Уметь раскладывать квадратный трёхчлен на множители.

Разминка

Что такое квадратный трёхчлен?
Сколько корней может быть у квадратного трёхчлена?
Вспомните формулы сокращенного умножения.

Теорема о разложении квадратного трехчлена на множители

Мы уже говорили о необходимости уметь работать с разными выражениями, в частности, с многочленами. Это нужно для решения большого количества прикладных задач. Поэтому, сейчас мы поговорим о важном навыке работы с квадратным трёхчленом – разложении его на множители.

Вспомним, что квадратным трёхчленом называют многочлен вида $a x^{2} + b x + c$ , где $x$ - переменная, $a$ , $b$ и $c$ - числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$ . При этом мы знаем, что корни квадратного трёхчлена совпадают с корнями квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ , а их количество зависит от значения дискриминанта $D = b^{2} - 4 a c$ . Тогда можем представить квадратный трёхчлен в виде произведения согласно следующей теореме.

Теорема

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ корни квадратного трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ , то

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Докажем эту теорему.

Вынесем за скобки в многочлене $a x^{2} + b x + c$ множитель $a$ .

Получим

$a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$ .

Так как корни квадратного трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ совпадают с корнями квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ , то по теореме Виета:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $\frac{b}{a} = - (x_{1} + x_{2})$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Подставляя выражения из теоремы Виета в $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}$ , получим:

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}$

Теперь раскрываем скобки и группируем:

$x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2} = x^{2} - x_{1} x - x_{2} x + x_{1} x_{2} = x (x - x_{1}) - x_{2} (x - x_{1}) =$

$= (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Итог:

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Такое разложение можно получить для любого квадратного трёхчлена, имеющего корни. При этом считают, что если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то этот трёхчлен имеет два равных корня.

Пример 1

Разложить на множители квадратный трёхчлен:

$3 x^{2} + x - 10$ .

Решение

Решим уравнение $3 x^{2} + x - 10 = 0$ .

$D = 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10) = 121$

$x_{1} = \frac{- 1 - 11}{6} = - 2$ , $x_{2} = \frac{- 1 + 11}{6} = \frac{5}{3}$

По теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители имеем:

$3 x^{2} + x - 10 = 3 (x - (- 2)) (x - \frac{5}{3}) = 3 (x + 2) (x - \frac{5}{3})$

Полученный результат можно записать иначе, умножив число $3$ на двучлен $x - \frac{5}{3}$ . Получим:

$3 x^{2} + x - 10 = (3 x - 5) (x + 2)$

Ответ: $(3 x - 5) (x + 2) .$

Упражнение 1

$x^{2} + x - 12$ ;
$5 x^{2} + 7 x + 2$ ;
$4 x^{2} - 13 x + 3$ .

Мы сказали, что разложение возможно в случае, когда квадратный трёхчлен имеет корни. Другими словами, не всегда можно разложить квадратный трёхчлен на множители.

Если квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Докажем это.

Пусть квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ не имеет корней. Предположим, что его можно представить в виде произведения многочленов первой степени:

$a x^{2} + b x + c = (k x + m) (p x + q)$ ,

где $k$ , $m$ , $p$ и $q$ - некоторые числа, причём $k \neq 0$ и $p \neq 0$ .

Произведение $(k x + m) (p x + q)$ обращается в нуль при $x = - \frac{m}{k}$ и $x = - \frac{q}{p}$ . Следовательно, при этих значениях $x$ обращается в нуль и трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ , т.е. числа $- \frac{m}{k}$ и $- \frac{q}{p}$ являются его корнями.

Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трёхчлен корней не имеет.

Пример 2

Разложить на множители квадратный трёхчлен:

$9 x^{2} - 42 x + 49$ .

Решение

Решим уравнение $9 x^{2} - 42 x + 49 = 0$ .

$D = 42^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 49 = 0$

$x_{1} = x_{2} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$

По теореме о разложении квадратного трёхчлена на множители имеем:

$9 x^{2} - 42 x + 49 = 9 (x - \frac{7}{3}) (x - \frac{7}{3}) = 9 {(x - \frac{7}{3})}^{2}$

Полученный результат можно записать иначе, если внести число $9$ в скобки ${(x - \frac{7}{3})}^{2}$ . Получим:

$9 x^{2} - 42 x + 49 = (3 x - 7)^{2}$

Ответ: $(3 x - 7)^{2}$ .

Упражнение 2

Проверьте, можно ли разложить квадратный трёхчлен на множители, и если можно, то разложите.

$4 x^{2} + 4 x + 1$ ;
$6 x^{2} + 7 x - 3$ ;
$x^{2} - 3 x + 11$ .

Контрольные вопросы:

1. В каком случае можно разложить квадратный трёхчлен на множители?

2. Как будет выглядеть это разложение?

3. В случае, когда дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то с помощью какой формулы сокращенного умножения можно разложить на множители квадратный трёхчлен?

Ответы

Упражнение 1

$(x - 3) (x + 4)$ 2. $(5 x + 2) (x + 1)$ 3. $(4 x - 1) (x - 3)$ .

Упражнение 2

можно, $(2 x + 1)^{2}$ . 2. можно, $(3 x - 1) (2 x + 3)$ . 3. нельзя.

Конспект урока: Разложение квадратного трехчлена на множители

Алгебраические выражения

Теорема о разложении квадратного трехчлена на множители