Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Квадратный трёхчлен и его корни

План урока

Многочлен и его корни;
Квадратный трёхчлен;
Выделение квадрата двучлена.

Цели урока

Знать что такое квадратный трёхчлен и его корни;
Уметь находить корни квадратного трёхчлена;
Уметь выделять квадрат двучлена из квадратного трёхчлена.

Разминка

Что такое многочлен?
Как найти корни квадратного уравнения?
Найдите корни квадратного уравнения $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

Многочлен и его корни

Мы знаем, что с помощью уравнений можно решить большое количество прикладных задач. Значит, научиться решать уравнения полезно. Но для того, чтобы научиться их решать, нужно уметь преобразовывать выражения. А для этого, в частности, нужно уметь работать с разными выражениями, например, многочленами.

Многочленом с одной переменной является каждое из следующих выражений: $x^{4} - 2 x + 6$ , $8 y^{3} + 5 y^{2} - y - 17$ , $2 z^{5} + 5$ .

Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена.

Пример 1

Найти корни многочлена $5 x^{4} - 125 x^{2}$ .

Решение

Чтобы найти корни многочлена, необходимо решить следующее уравнение: $5 x^{4} - 125 x^{2} = 0$ .

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого вынесем за скобки общий множитель $5 x^{2}$ и получим выражение: $5 x^{2} (x^{2} - 25) = 0$ . Выражение в скобках разложим по формуле разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ : $5 x^{2} (x - 5) (x + 5) = 0$ .

Приравнивая каждый из множителей к нулю, получим: $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 5$ , $x_{3} = - 5$ .

Ответ: $- 5$ ; $0$ ; $5$ .

Упражнение 1

Найдите корни следующих многочленов:

$2 x^{3} - 8 x$ ;
$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ .

Квадратный трёхчлен и его корни

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $a x^{2} + b x + c,$ где $x$ - переменная, $a$ , $b$ , и $c$ - некоторые числа, причём $a \neq 0$ .

Коэффициент $a$ называют старшим коэффициентом, а $c$ - свободным членом квадратного трёхчлена.

Примерами квадратных трёхчленов являются многочлены:

$5 x^{2} - 2 x - 3$ , $x^{2} + 4 x - 5$ , $- x^{2} + 4$ .

В первом из них $a = 5$ , $b = - 2$ , $c = - 3$ , во втором $a = 1$ , $b = 4$ , $c = - 5$ , в третьем $a = - 1$ , $b = 0$ , $c = 4$ .

Для того, чтобы найти корни квадратного трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ , надо решить квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Пример 2

Найти корни квадратного трёхчлена $5 x^{2} - 2 x - 3$ .

Решение

Решим уравнение $5 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

Пользуясь формулами для нахождения корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта, найдем корни:

$D = b^{2} - 4 a c = (- 2)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 3) = 64$

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{2 - 8}{10} = - 0, 6$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{2 + 8}{10} = 1$

Ответ: $- 0, 6$ ; $1$ .

Так как квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ имеет те же корни, что и квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ , то он может, как и квадратное уравнение, иметь два корня, один корень или не иметь корней. Это зависит от значения дискриминанта квадратного уравнения $D = b^{2} - 4 a c$ , который также называют дискриминантом квадратного трёхчлена.

Если $D > 0$ то квадратный трёхчлен имеет два корня; если $D = 0$ то квадратный трёхчлен имеет один корень; если $D < 0$ то квадратный трёхчлен не имеет корней.

Упражнение 2

Определите имеет ли квадратный трёхчлен корни, и если имеет, то найдите это корни:

$x^{2} + 7 x - 60$ ;
$2 x^{2} + 5 x + 4$ ;
$4 x^{2} - 20 x + 25$ .

Выделение квадрата двучлена

При решении задач часто бывает удобно представить квадратный трёхчлен $a x^{2} + b x + c$ в виде $a (x - m)^{2} + n$ , где $m$ и $n$ – некоторые числа. Такое преобразование называется выделением квадрата двучлена из квадратного трёхчлена. Рассмотрим это преобразование на примере.

Пример 3

Выделить из трёхчлена $2 x^{2} - 12 x + 22$ квадрат двучлена.

Решение

Вынесем за скобки множитель $2$ :

$2 x^{2} - 12 x + 22 = 2 (x^{2} - 6 x + 11)$ .

Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим $6 x$ в виде произведения $2 \cdot 3 \cdot x$ , а затем прибавим и вычтем $3^{2}$ . Получим: $2 x^{2} - 12 x + 22 = 2 (x^{2} - 6 x + 11) = 2 (x^{2} - 6 x + 3^{2} - 3^{2} + 11) =$

$= 2 ((x - 3)^{2} + 2) = 2 (x - 3)^{2} + 4 .$

Значит, $2 x^{2} - 12 x + 22 = 2 (x - 3)^{2} + 4 .$

Ответ: $2 (x - 3)^{2} + 4$ .

Упражнение 3

Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

$5 x^{2} + 20 x + 27$ ;
$x^{2} - 8 x + 13$ .

Контрольные вопросы:

1. Что такое корень многочлена? Как его найти?

2. Может ли квадратный трёхчлен не иметь корней? Почему?

3. Как выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена?

Упражнение 1

$- 2$ ; $0$ ; $2$ . 2. $0$ ; $1$ ; $2$ .

Упражнение 2

два корня: $- 12$ и $5$ . 2. нет корней. 3. один корень: $2, 5$ .

Упражнение 3

$5 (x + 2)^{2} + 7$ ; 2. $(x - 4)^{2} - 3 .$

Конспект урока: Квадратный трехчлен и его корни

Алгебраические выражения

Многочлен и его корни

Квадратный трёхчлен и его корни