Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Квадратный трехчлен и его корни

Алгебраические выражения

Квадратный трёхчлен и его корни

План урока

  • Многочлен и его корни;
  • Квадратный трёхчлен;
  • Выделение квадрата двучлена.

Цели урока

  • Знать что такое квадратный трёхчлен и его корни;
  • Уметь находить корни квадратного трёхчлена;
  • Уметь выделять квадрат двучлена из квадратного трёхчлена.

Разминка

  • Что такое многочлен?
  • Как найти корни квадратного уравнения?
  • Найдите корни квадратного уравнения x2-5x+6=0.

Многочлен и его корни

 

Мы знаем, что с помощью уравнений можно решить большое количество прикладных задач. Значит, научиться решать уравнения полезно. Но для того, чтобы научиться их решать, нужно уметь преобразовывать выражения. А для этого, в частности, нужно уметь работать с разными выражениями, например, многочленами.

 

Многочленом с одной переменной является каждое из следующих выражений: x4-2x+68y3+5y2-y-172z5+5.


Значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль, называют корнем многочлена .


Пример 1

Найти корни многочлена 5x4-125x2.


Решение

 

Чтобы найти корни многочлена, необходимо решить следующее уравнение: 5x4-125x2=0.

 

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого вынесем за скобку общий множитель 5x2 и получим выражение: 5x2x2-25=0. После выражение в скобках разложим по формуле разности квадратов a2-b2=a-ba+b, получим итоговое разложение: 5x2x-5x+5=0.

 

Приравнивая каждый из множителей к нулю, получим: x1=0x2=5x3=-5.

 

Ответ: -505.


Упражнение 1

Найдите корни следующих многочленов:

  1. 2x3-8x;
  2. x3-3x2+2x.


Квадратный трёхчлен и его корни


Квадратным трёхчленом называется многочлен вида ax2+bx+c, где x - переменная, ab, и c - некоторые числа, причём a0.

 

Коэффициент a называют  старшим коэффициентом , а c - свободным  членом квадратного трёхчлена.


Примерами квадратных трёхчленов являются многочлены:

5x2-2x-3,  x2+4x-5,  -x2+4.

 

В первом из них a=5b=-2c=-3, во втором a=1b=4c=-5, в третьем a=-1b=0c=4.

 

Для того чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax2+bx+c, надо решить квадратное уравнение ax2+bx+c=0.


Пример 2

Найти корни квадратного трёхчлена 5x2-2x-3.


Решение

 

Решим уравнение 5x2-2x-3=0.

 

Пользуясь формулами для нахождения корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта, найдем корни:

 

D=b2-4ac=(-2)2-4·5·(-3)=64

x1=-b-D2a=2-810=-0,6

x2=-b+D2a=2+810=1

 

Ответ: -0,61.


Так как квадратный трёхчлен ax2+bx+c имеет те же корни, что и квадратное уравнение ax2+bx+c=0, то он может, как и квадратное уравнение, иметь два корня, один корень или не иметь корней. Это зависит от значения дискриминанта квадратного уравнения D=b2-4ac, который также называют дискриминантом квадратного трёхчлена.


Если D>0 то квадратный трёхчлен имеет два корня; если D=0 то квадратный трёхчлен имеет один корень; если D<0 то квадратный трёхчлен не имеет корней.


Упражнение 2

Определите имеет ли квадратный трёхчлен корни, и если имеет, то найдите это корни:

  1. x2+7x-60;
  2. 2x2+5x+4;
  3. 4x2-20x+25.


Выделение квадрата двучлена

 

При решении задач часто бывает удобно представить квадратный трёхчлен ax2+bx+c в виде a(x-m)2+n, где m и n - некоторые числа. Такое преобразование называется  выделение квадрата двучлена  из квадратного трёхчлена. Рассмотрим это преобразование на примере.


Пример 3

Выделить из трёхчлена 2x2-12x+22 квадрат двучлена.


Решение

 

Вынесем за скобки множитель 2:

2x2-12x+22=2(x2-6x+11).

 

Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 6x в виде произведения 2·3·x, а затем прибавим и вычтем 32. Получим: 2x2-12x+22=2(x2-6x+11)=2(x2-6x+32-32+11)=

=2((x-3)2+2)=2(x-3)2+4.

 

Значит, 2x2-12x+22=2(x-3)2+4.

 

Ответ: 2(x-3)2+4.


Упражнение 3

Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

  1. 5x2+20x+27;
  2. x2-8x+13.


Контрольные вопросы:

 

1. Что такое корень многочлена? Как его найти?

2. Может ли квадратный трёхчлен не иметь корней? Почему?

3. Как выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена?


Упражнение 1

 

  1. -202. 2. 012.

 

Упражнение 2

 

  1. 2 корня: -12 и 5. 2. нет корней. 3. 1 корень: 2,5.

 

Упражнение 3

 

  1. 5(x+2)2+7; 2. (x-4)2-3.


Предыдущий урок
Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
Системы уравнений и неравенств
Следующий урок
Разложение квадратного трехчлена на множители
Алгебраические выражения
  • Преобразование энергии при механических колебаниях

    Физика

  • Сложение и умножение вероятностей

    Алгебра

  • Классицизм в русской литературе. М.В. Ломоносов. М.М. Державин. Виды лирики

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке