Конспект урока: Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Когда Гауссу, который учился в младшей школе, предложили найти сумму всех натуральных чисел от единицы до ста, то он, вероятно, рассуждал так: «сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050».

$1+100=2+99=3+98=...=101$,

$1+2+3+...+98+99+100=101\times 50=5 050$

Используя возможные рассуждения Гаусса, выведем формулу сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии. 

Рассмотрим произвольную арифметическую прогрессию, состоящую из $n$ членов $a_1, a_2, a_3, ...a_{n-1}, a_n$. Сложим все члены, но не по порядку, а попарно: первый и последний $(a_1+a_n)$, второй и предпоследний $(a_2+a_{n-1})$ и т. д. Обозначив через ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}$ сумму, получим:

$S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_2+a_{n-2})+...$.

Таких пар будет $\frac{n}{2}$ причём сумма каждой пары одинаковая, т. к.

$a_2+a_{n-1}=(a_1+d)+(a_n-d)=a_1+a_n$

$a_2+a_{n-2}=(a_1+2d)+(a_n-2d)=a_1+a_n$

Тогда сумму можно записать в следующем виде:

$S_n=(a_1+a_n)\times \frac{n}{2}=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$.

Этой формулой удобно пользоваться, если изначально известны значения первого и последнего члена прогрессии. Получим формулу суммы при известных значениях первого члена и разности арифметической прогрессии.

Воспользовавшись формулой $n$-го члена $a_n=a_1+d(n-1)$, получим

$S_n=\frac{(a_1+(a_1+d(n-1)\left)\right)n}{2}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\times n$.

Найти сумму первых двадцати пяти членов арифметической прогрессии $5; 13; 21; ...$.

Решение

Для данной прогрессии воспользуемся формулой 

$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\times n$.

Из условия имеем, что $a_1=5, d=13-5=8, n=25$. Подставим в формулу данные значения, получим

$S_{25}=\frac{2\times 5+8(25-1)}{2}\times 25=2 525$.

Ответ: $2 525$.

Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии:

1. $2; 11; 20; ...$

2. $15; 3; -9; ...$

3. $4,5; 7; 9,5; ...$

Найти сумму всех натуральных чисел, кратных $7$ и не превосходящих $350$.

Решение

Для данной прогрессии воспользуемся формулой 

$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

Из условия имеем только, что $a_1=7$, т. к. это первое натуральное число кратное $7$. 

Найдем количество чисел, кратных семи, и не превосходящих $350$. Разделим $350$ на $7$ и получим $50$. Это значит, что есть $50$ таких чисел и последнее из них как раз равно $350$, т. е. $n=50$ и $a_{50}=350$. Тогда

$S_n=\frac{(7+350)\times 50}{2}=8 925$.

Ответ: $8 925$.

1. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных $8$ и не превосходящих $400$.

2. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных $9$ и не превосходящих $250$.

Упражнение 1

1. $1 750$.               2. $-1 980$.               3. $565$

Упражнение 2

1. $10 200$.               2. $3 402$