Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Площадь многоугольника, квадрата и прямоугольника

Площади

08.12.2024
2604
0

Площадь квадрата

План урока

  • Доказательство теоремы о площади квадрата
  • Применение формулы площади квадрата для решения задач

Цели урока

  • Знать формулу площади квадрата
  • Уметь применять формулу площади квадрата для решения задач

Разминка

  • Что понимают под единицей измерения площади многоугольника?
  • Как применять палетку для вычисления площади фигуры?
  • Какие фигуры называют равновеликими и равносоставленными?
  • Какую фигуру называют квадратом?
  • Какими свойствами обладает квадрат?

Рис. 1. Площадь квадрата

Докажем, что площадь S квадрата со стороной a равна a2.

 

Рассмотрим случай, когда a=1n, где n — целое число. Разобьем квадрат со стороной 1 на n2 равных квадратов (рис. 1, на этом рисунке n=5). Площадь большого квадрата равна 1, площадь каждого маленького квадрата равна

 

1n2

Рис. 2. Площадь квадрата

Сторона каждого маленького квадрата равна 1n, т. е. равна a. Итак, 

 

S=1n2=(1n)2=a2.

 

 

Пусть число a конечная десятичная дробь, содержащая n знаков после запятой (в частности, число a может быть целым, и тогда n=0). Тогда число m=a·10n целое. Разобьем данный квадрат со стороной a на m2 равных квадратов (рис. 2, на этом рисунке m=7).

При этом каждая сторона данного квадрата разобьётся на m равных частей, сторона любого маленького квадрата равна

 

am=aa·10n=110n.

 

Площадь маленького квадрата равна (110n)2. Следовательно, площадь данного квадрата равна 

 

S=m2·(110n)2=(m10n)2=(a·10n10n)2=a2.

 

Пусть число a бесконечная десятичная дробь. Рассмотрим число an, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1)-го. Так как число a отличается от an не более чем на 110n, то anaan+110n, откуда

 

an2a2(an+110n)2.

Рис. 3. Площадь квадрата

Площадь S данного квадрата превосходит площадь квадрата cо стороной an и меньше площади квадрата со стороной an+110n (рис. 3), т. е. 

 

an2S(an+110n)2.

 

Будем бесконечно увеличивать число n. Тогда число 110n будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (an+110n)2 будет сколь угодно мало отличаться от числа an2, поэтому S сколь угодно мало отличается от a2. Следовательно, эти числа равны: S=a2, что и требовалось доказать.


Пример 1

 

Расход эмалевой краски на однослойное покрытие составляет 180 г на 1 м2. Хватит ли 3 кг эмали, чтобы покрасить стену, длина и высота которой 4 м?


Решение

 

Площадь квадрата со стороной 4 м равна S=(4 м)2=16 м2. Для покраски 16 м2 поверхности одном слоем потребуется 

 

16×180 г=2 880 г=2 кг 880 г.

 

Следовательно, 3 кг эмали достаточно.

 

Ответ: Хватит.


Пример 2

 

Площадь квадрата ABCD равна 10 см2 (рис. 4). Чему равна площадь прямоугольника BMKD?


Решение

 

Отрезок BD диагональ квадрата ABCD, следовательно CBD=45°BMKD — прямоугольник, MBD=KDB=90°MBC=KDC=90°-45°=45°BMC и DKC прямоугольные, равны по гипотенузе и острому углу. 

Рис. 4                                                                       Рис. 5

Диагонали квадрата AC и BD пересекаются в точке E (Рис. 5). Треугольники ABE и BCM равны по гипотенузе и острому углу, т. к. стороны квадрата равны. BEC=CED=AED=AEB по двум катетам, т. к. диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.

 

Таким образом, площади квадрата ABCD и прямоугольника BMKD равны, как площади равносоставленных фигур. Площадь BMKD равна 10 см2.

 

Ответ10 см2.


Упражнения

 

1. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна 1,4 см57 дм;  25 м.

 

2. Чему равна площадь квадрата, периметр которого равен периметру параллелограмма со сторонами 6 см и 16 см?

 

3. Найдите отношение площадей двух квадратов, если их стороны относятся как 2:3?

 

4. На диагонали квадрата как на стороне построен другой квадрат. Докажите, что его площадь в два раза больше площади данного квадрата.


Контрольные вопросы 

 

Чему равна площадь квадрата со стороной nn1010n?


Ответы

1. 1,96 см22549 дм220 м2.

 

2. 121 см2.

 

3. 4:9.

 

4. Доказательство с применением свойства равносоставленных фигур.


Предыдущий урок
Площадь параллелограмма. Площадь треугольника
Площади
Следующий урок
Осевая и центральная симметрии
Общие геометрические сведения
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • М.Е. Салтыков-Щедрин. «История одного города» (отрывок)

    Литература

  • Человек и окружающая среда

    Биология

  • Окислительно-восстановительные реакции

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке