Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Площадь многоугольника, квадрата и прямоугольника

Площади

Площадь многоугольника

План урока

  • Понятие площади многоугольника.
  • Единицы измерения площади.
  • Аксиомы площади.
  • Понятие равновеликих и равносоставленных фигур.

Цели урока

  • Знать понятие площади многоугольника, единиц измерения площади, аксиомы площади, понятие равновеликих и равносоставленных фигур, свойство площади равносоставленных фигур.
  • Уметь применять аксиомы площади для решения задач, определять равновеликие и равносоставленные фигуры.

Разминка

  1. Через середину стороны AB параллелограмма ABCD проведена прямая, перпендикулярная прямой BC. Докажите равенство треугольников, образованных этой прямой, отрезками стороны AB и прямыми BC и AD.
  2. Докажите, что сумма высот параллелограмма меньше его периметра.

Понятие площади многоугольника

 

Понятие площади хорошо известно нам из повседневного опыта: мы измеряем площадь спортивной площадки или садового участка, рассчитываем по площади количество обоев или коврового покрытия для ремонта комнаты и т. д. Попробуем придать представлениям о площади определенную математическую строгость.

 

Условимся, что под площадью многоугольника мы будем понимать площадь его внутренней области. Как и в случае измерения длин отрезков, измерение площадей основывается на сравнении данной фигуры с фигурой, площадь которой принята за единицу измерения. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.

 

Например, если за единицу измерения отрезков приняты 1 мм, 1 см или 1м, то за единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной 1 мм, 1 см или 1 м. Площадь такого квадрата называется квадратным миллиметром (мм2), квадратным сантиметром (см2) или квадратным метром (м2) соответственно. Из курса математики известны и другие единицы площади: ар (площадь квадрата со стороной 10 м), гектар (площадь квадрата со стороной 100 м) и др.

 

При выбранной единице измерения площадь каждого многоугольника выражается положительным числом, которое показывает, сколько раз единица измерения площади и ее части укладываются в данном многоугольнике. Обычно площадь обозначается буквой S.

Рис. 1. Определение площади Рис. 1. Определение площади

Для определения приближенного значения площади можно использовать палетку — прозрачную пленку с квадратной сеткой (рис. 1). Наложив палетку на фигуру, площадь этой фигуры определяют обычным подсчетом количества единичных квадратов, которые вместились в данной фигуре. Однако на практике применять такой способ неудобно. Поэтому для определения площади многоугольника обычно измеряют лишь некоторые связанные с ним отрезки, а потом вычисляют площадь по соответствующим формулам. Вывод этих формул основывается на свойствах площадей, которые мы рассмотрим ниже.

 

Прежде всего заметим, что когда два многоугольника равны, то единица измерения площади и ее части укладываются в каждом из них одинаковое количество раз, т. е. имеет место следующее свойство.


Свойство 1

 

Равные многоугольники имеют равные площади.


Рис. 2. Многоугольник  Рис. 2. Многоугольник 

Далее, пусть многоугольник состоит из нескольких частей — других многоугольников, которые не имеют общих внутренних точек (рис. 2). Если эти части имеют площади S1S2S3 то площадь всего многоугольника равна их сумме: S=S1+S2+S3. В этом заключается второе свойство площадей.


Свойство 2

 

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.


Третье свойство площадей связано с единицей их измерения.


Свойство 3

 

Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади.


Три приведенных свойства называют аксиомами площадей.

 

Итак, площадь многоугольника — это положительная величина, численное значение которой удовлетворяет аксиомам площадей.

 

Из этого, в частности, следует, что каждый многоугольник имеет некоторую площадь, которая однозначно определяется в заданных единицах измерения.


Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади.


Очевидно, что по первой аксиоме площадей любые два равных многоугольника равновелики. Однако, не любые два равновеликих многоугольника равны.


Пример 1

 

Какие фигуры могут быть составлены из двух равных прямоугольных треугольников. Сравните площади этих фигур.


Решение

 

Если рассмотреть два равных прямоугольных треугольника (Рис. 3а), то, прикладывая их равными сторонами друг к другу, можно получить равнобедренный треугольник (Рис. 3б), параллелограмм (Рис. 3в), прямоугольник (Рис. 3г) или четырехугольник с попарно равными соседними сторонами — дельтоид (Рис. 4). Все эти фигуры равносоставленные, т. е. составлены из одних и тех же многоугольников.

Рис. 3. Пример 1 Рис. 3. Пример 1

 

Рис. 4. Пример 1 Рис. 4. Пример 1


По второй аксиоме площадей все образованные таким способом фигуры имеют равные площади. Следовательно, любые равносоставленные многоугольники являются равновеликими

 

Интересно, что имеет место и обратное утверждение (теорема Бойяи — Гервина): два равновеликих многоугольника являются равносоставленными. Венгерский математик Ф. Бойяи доказал эту теорему в 1832 г., а немецкий математик любитель П. Гервин независимо от Ф. Бойяи доказал ее в 1833 г.


Упражнения

 

1. Дан параллелограмм KMHP, диагонали которого пересекаются в точке C. Назовите треугольники площади которых равны.

 

2. Начертите прямоугольник и постройте параллелограмм, равновеликий данному прямоугольнику.

 

3. Вырежьте из бумаги два равных равнобедренных треугольника и составьте из них ромб. Сравните площади составленных фигур.


Контрольные вопросы

 

1. Что значит измерить площадь многоугольника?

2. Что показывает числовое значение площади?

3. Площади двух многоугольников равны. Означает ли это, что сами многоугольники также равны?

4. Два прямоугольника имеют равные периметры. Являются ли они равновеликими?

5. Определите, какие из данных утверждений верны:

а) если диагонали двух квадратов равны, то эти квадраты равновеликие;

б) два равновеликих прямоугольника равны;

в) два равновеликих квадрата равны.


Ответы

1. KMH и KPHKMP и HMPKMC и HPCMCH и PCK.

 

2.

 

3.


Площади равносоставленных фигур равны.


Предыдущий урок
Площадь трапеции
Площади
Следующий урок
Площадь параллелограмма. Площадь треугольника
Площади
  • Конденсаторы. Энергия электрического поля конденсатора

    Физика

  • Юмористические произведения. Журнал «Сатирикон». Приёмы сатиры. «Древняя история…»

    Литература

  • Площадь трапеции

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке