Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Площадь квадрата

План урока

Доказательство теоремы о площади квадрата
Применение формулы площади квадрата для решения задач

Цели урока

Знать формулу площади квадрата
Уметь применять формулу площади квадрата для решения задач

Разминка

Что понимают под единицей измерения площади многоугольника?
Как применять палетку для вычисления площади фигуры?
Какие фигуры называют равновеликими и равносоставленными?
Какую фигуру называют квадратом?
Какими свойствами обладает квадрат?

Рис. 1. Площадь квадрата

Докажем, что площадь $S$ квадрата со стороной $a$ равна $a^{2}$ .

Рассмотрим случай, когда $a = \frac{1}{n}$ , где $n$ — целое число. Разобьем квадрат со стороной $1$ на $n^{2}$ равных квадратов (рис. 1, на этом рисунке $n = 5$ ). Площадь большого квадрата равна $1$ , площадь каждого маленького квадрата равна

$\frac{1}{n^{2}}$

Рис. 2. Площадь квадрата

Сторона каждого маленького квадрата равна $\frac{1}{n}$ , т. е. равна $a$ . Итак,

$S = \frac{1}{n^{2}} = {(\frac{1}{n})}^{2} = a^{2}$ .

Пусть число $a$ конечная десятичная дробь, содержащая $n$ знаков после запятой (в частности, число $a$ может быть целым, и тогда $n = 0$ ). Тогда число $m = a \cdot 10^{n}$ целое. Разобьем данный квадрат со стороной $a$ на $m^{2}$ равных квадратов (рис. 2, на этом рисунке $m = 7$ ).

При этом каждая сторона данного квадрата разобьётся на $m$ равных частей, сторона любого маленького квадрата равна

$\frac{a}{m} = \frac{a}{a \cdot 10^{n}} = \frac{1}{10^{n}}$ .

Площадь маленького квадрата равна ${(\frac{1}{10^{n}})}^{2}$ . Следовательно, площадь данного квадрата равна

$S = m^{2} \cdot {(\frac{1}{10^{n}})}^{2} = {(\frac{m}{10^{n}})}^{2} = {(\frac{a \cdot 10^{n}}{10^{n}})}^{2} = a^{2}$ .

Пусть число $a$ бесконечная десятичная дробь. Рассмотрим число $a_{n}$ , получаемое из $a$ отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с $(n + 1)$ -го. Так как число $a$ отличается от $a_{n}$ не более чем на $\frac{1}{10^{n}}$ , то $a_{n} \leq a \leq a_{n} + \frac{1}{10^{n}}$ , откуда

$a_{n}^{2} \leq a^{2} \leq {(a_{n} + \frac{1}{10^{n}})}^{2}$ .

Рис. 3. Площадь квадрата

Площадь $S$ данного квадрата превосходит площадь квадрата cо стороной $a_{n}$ и меньше площади квадрата со стороной $a_{n} + \frac{1}{10^{n}}$ (рис. 3), т. е.

$a_{n}^{2} \leq S \leq {(a_{n} + \frac{1}{10^{n}})}^{2}$ .

Будем бесконечно увеличивать число $n$ . Тогда число $\frac{1}{10^{n}}$ будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число ${(a_{n} + \frac{1}{10^{n}})}^{2}$ будет сколь угодно мало отличаться от числа $a_{n}^{2}$ , поэтому $S$ сколь угодно мало отличается от $a^{2}$ . Следовательно, эти числа равны: $S = a^{2}$ , что и требовалось доказать.

Пример 1

Расход эмалевой краски на однослойное покрытие составляет $180 г$ на $1 м^{2}$ . Хватит ли $3 к г$ эмали, чтобы покрасить стену, длина и высота которой $4 м$ ?

Решение

Площадь квадрата со стороной 4 м равна $S = {(4 м)}^{2} = 16 м^{2}$ . Для покраски $16 м^{2}$ поверхности одном слоем потребуется

$16 \times 180 г = 2 880 г = 2 к г 880 г$ .

Следовательно, $3 к г$ эмали достаточно.

Ответ: Хватит.

Пример 2

Площадь квадрата $A B C D$ равна 10 см² (рис. 4). Чему равна площадь прямоугольника $B M K D$ ?

Решение

Отрезок $B D$ диагональ квадрата $A B C D$ , следовательно $∠ C B D = 45 °$ . $B M K D$ — прямоугольник, $∠ M B D = ∠ K D B = 90 °$ , $∠ M B C = ∠ K D C = 90 ° - 45 ° = 45 °$ . $△ B M C$ и $△ D K C$ прямоугольные, равны по гипотенузе и острому углу.

Рис. 4 Рис. 5

Диагонали квадрата $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $E$ (Рис. 5). Треугольники $A B E$ и $B C M$ равны по гипотенузе и острому углу, т. к. стороны квадрата равны. $△ B E C = △ C E D = △ A E D = △ A E B$ по двум катетам, т. к. диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.

Таким образом, площади квадрата $A B C D$ и прямоугольника $B M K D$ равны, как площади равносоставленных фигур. Площадь $B M K D$ равна $10 с м^{2}$ .

Ответ: $10 с м^{2}$ .

Упражнения

1. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна $1, 4 с м$ ; $\frac{5}{7} д м$ ; $2 \sqrt{5} м$ .

2. Чему равна площадь квадрата, периметр которого равен периметру параллелограмма со сторонами $6 с м$ и $16 с м$ ?

3. Найдите отношение площадей двух квадратов, если их стороны относятся как $2 : 3$ ?

4. На диагонали квадрата как на стороне построен другой квадрат. Докажите, что его площадь в два раза больше площади данного квадрата.

Контрольные вопросы

Чему равна площадь квадрата со стороной $n$ ; $\frac{n}{10}$ ; $10 n$ ?

Ответы

1. $1, 96 с м^{2}$ ; $\frac{25}{49} д м^{2}$ ; $20 м^{2}$ .

2. $121 с м^{2}$ .

3. $4 : 9$ .

4. Доказательство с применением свойства равносоставленных фигур.

Конспект урока: Площадь многоугольника, квадрата и прямоугольника

Площади