Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Прямая пропорциональность и её график. Линейная функция и её график

Функции

05.12.2024
2180
0

Прямая пропорциональность и её график. Линейная функция и её график

План урока

  • Прямая пропорциональность
  • График прямой пропорциональности
  • Линейная функция
  • График линейной функции

Цели урока

  • Знать определение прямой пропорциональности
  • Знать, что представляет собой график прямой пропорциональности
  • Знать определение линейной функции
  • Знать, что представляет собой график линейной функции
  • Уметь строить графики прямой пропорциональности, линейной функции

Разминка

  • Что такое функция?
  • 1 кг конфет стоит 350 рублей. Сколько придётся заплатить при покупке 2 кг? 3 кг? 5 кг? Запишите ответы в таблицу:

 

n, количество (кг)

1

2

3

5

С, стоимость (р.)

Прямая пропорциональность

 

При решении этой задачи получили:

 

n, количество (кг)

1

2

3

5

С, стоимость (р.)

350

700

1050

1750

 

Заметим, что при увеличении количества килограммов в несколько раз, стоимость увеличивается в такое же количество раз. Эту зависимость можно задать формулой С=350n.

 

Рассмотрим ещё примеры:

  1. периметр P квадрата находим по формуле P=4a, где a — длина стороны квадрата;
  2. путь S, пройденный пешеходом с постоянной скоростью 5 км/ч, найдём по формуле S=5t, где t — время движения пешехода (в ч);
  3. автомобиль, грузоподъёмность которого составляет 7,5 т, перевезёт груз, масса m которого будет зависеть от количества рейсов: m=7,5n, где n — количество рейсов.

В общем виде такую зависимость можно задать формулой y=kx, где x — независимая переменная, k — некоторое число (k0).


Функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x — независимая переменная, k — некоторое число k0, называется прямой пропорциональностью.


Число k называется коэффициентом прямой пропорциональности.

 

График прямой пропорциональности


Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.


Из курса геометрии знаем для того, чтобы провести прямую, надо задать две точки. Если прямая проходит через начало координат, т. е. через точку (0; 0), то для её построения достаточно вычислить координаты ещё одной точки.


Пример 1

Построить график функции y=3x.


Решение

Рис. 1. График функции y=3x

1. Составим таблицу значений аргумента и функции:

 

x

0

2

y

0

6

 

2. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: 

(0; 0), (2; 6).

 

Проведём через эти точки прямую (рис. 1). 


Если k>0, то график прямой пропорциональности будет располагаться в I и в III координатных четвертях.

 

Если k<0, то график прямой пропорциональности будет располагаться во II и в IV координатных четвертях.


Упражнение 1

Рис. 2. График прямой пропорциональности

1. Постройте график прямой пропорциональности:

а) y=x;

б) y=-x; 

в) y=-3x; 

г) y=0,5x.

 

2. Выберите из точек А 77; -11, В 1;  17,

С -10; 137

 те, которые принадлежат графику функции y=-17x.

 

3. На рисунке 2 изображён график прямой пропорциональности. Запишите его формулу. 

Указание: возьмите координаты любой точки, принадлежащей графику функции, и подставьте их в формулу вида y=kx, откуда найдёте k.   


Линейная функция 

 

Прямая пропорциональность — это частный случай линейной функции.

 

Функция, которую можно задать формулой вида y= kx+b, где x — независимая переменная, k и b — некоторые числа, называется линейной функцией.


Действительно, если b=0, то получим формулу y=kx, которой задаётся прямая пропорциональность (при k0).

 

График линейной функции


Графиком линейной функции является прямая.


Число k — угловой коэффициент прямой, которая является графиком функцииy= kx+b

Если k>0, то угол между прямой и положительным направлением оси x — острый. Двигаясь по этой прямой слева направо «поднимаемся в горку».

Если k<0, то угол между прямой и положительным направлением оси x — тупой. Двигаясь по этой прямой слева направо «спускаемся с горки».


Пример 2

Построить график функции y=3x-2.


Решение

Рис. 3. График функции y=3x-2

1. Составим таблицу значений аргумента и функции: 

 

x

0

2

y

-2

4

 

2. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: (0; -2), (2; 4).

 

3. Проведём через эти точки прямую (рис. 3).                                                                            


Рис. 4. Графики функций y=3x и y=3x-2

Заметим, что прямые, которые являются графиками функций y=3x и y=3x-2, параллельны (рис. 4).

 

Рассмотрим две функции y=k1x+b1 и y=k2x+b2.

 

Если угловые коэффициенты различны k1k2, то прямые, являющиеся графиками этих функций, пересекаются.

 

Если угловые коэффициенты равны k1=k2, то прямые, являющиеся графиками этих функций, параллельны.

Особо следует рассмотреть случай, если k=0. В этом случае формула y= kx+b примет вид y=b. Графиком функции будет прямая, параллельная оси x (рис. 5):

Рис. 5. Графики функций вида y=b


Пример 3

Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций: 

а) y=11x+25 и y=11x-4

б) y=15x-8 и y=3x+2.


Решение

 

а) Угловые коэффициенты функций y=11x+25 и y=11x-4 равны k1=k2=11, значит, прямые, которые являются графиками этих функций, параллельны, т. е. точки пересечения нет.

 

б) Угловые коэффициенты функций y=15x-8 и y=3x+2 различны k1k2, значит, прямые, которые являются графиками этих функций, пересекаются, т. е. имеют общую точку x;y. Если значения y одно и то же, то получим уравнение 15x8=3x+2, решив которое находим, что x=56.

 

Подставим получившееся значение в любую из двух данных в условии формул: y=3·56+2=4,5.

 

56; 4,5 — точка пересечения графиков функций y=15x-8 и y=3x+2.

 

Ответ: а) нет точки пересечения; б) 56; 4,5.


Упражнение 2

1. Постройте график линейной функции: 

 

а) y=0,5x-4; 

б) y=-2x+1; 

в) y=-3;

г) y=0.

 

2. Проходит ли график функции y=-25x+17 через точку М 4; -83?

 

3. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций: 

 

а) y=10x-2 и y=-4x-2;

б) y=18x-1 и y=18x.


Контрольные вопросы

 

1. Какая функция называется прямой пропорциональностью?

2. Что представляет собой график прямой пропорциональности? 

3. Объясните, как будет расположен график прямой пропорциональности в координатной плоскости в зависимости от знака коэффициента.

4. Какая функция называется линейной?

5. Что представляет собой график линейной функции?

6. Назовите условие параллельности двух прямых, являющихся графиками линейных функций.


Ответы

Упражнение 1

Рис. 6. Упражнение 1. Ответ

1. 

а) биссектриса I и III координатных четвертей;                         

б) биссектриса II и VI координатных четвертей;

в) г) рис. 6.                                                                                                                                               

2. А.

3. y=-2x.

Упражнение 2

 

1. Рис. 7.

2. Да

3. а) 0; -2; б) нет точки пересечения.                                                                                              

Рис. 7. Упражнение 2. Ответ
 

Предыдущий урок
Функции y=x^2, y=x^3 и их графики
Функции
Следующий урок
График функций
Функции
Поделиться:
  • Решение задач по теме «Информация и информационные процессы»

    Информатика

  • Прямая и отрезок

    Геометрия

  • Ускорение. Прямолинейное равноускоренное движение

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке