Конспект урока: Прямая пропорциональность и её график. Линейная функция и её график

Прямая пропорциональность

При решении этой задачи получили:

Заметим, что при увеличении количества килограммов в несколько раз, стоимость увеличивается в такое же количество раз. Эту зависимость можно задать формулой $С=350n$.

Рассмотрим ещё примеры:

1. периметр $P$ квадрата находим по формуле $P=4a$, где $a$ — длина стороны квадрата;
2. путь $S$, пройденный пешеходом с постоянной скоростью 5 км/ч, найдём по формуле $S=5t$, где $t$ — время движения пешехода (в ч);
3. автомобиль, грузоподъёмность которого составляет 7,5 т, перевезёт груз, масса $m$ которого будет зависеть от количества рейсов: $m=7,5n$, где $n$ — количество рейсов.

В общем виде такую зависимость можно задать формулой $y=kx$, где $x$ — независимая переменная, $k$ — некоторое число $(k\ne 0)$.

Число $k$ называется коэффициентом  прямой пропорциональности.

График прямой пропорциональности

Из курса геометрии знаем для того, чтобы провести прямую, надо задать две точки. Если прямая проходит через начало координат, т. е. через точку $(0; 0)$, то для её построения достаточно вычислить координаты ещё одной точки.

Построить график функции $y=3x$.

Решение

Рис. 1. График функции y=3x

1. Составим таблицу значений аргумента и функции:

 

$x$	0	2
$y$	0	6

 

2. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: 

(0; 0), (2; 6).

 

Проведём через эти точки прямую (рис. 1). 

Если $k>0$, то график прямой пропорциональности будет располагаться в I и в III координатных четвертях.

Если $k<0$, то график прямой пропорциональности будет располагаться во II и в IV координатных четвертях.

Упражнение 1

Рис. 2. График прямой пропорциональности

1. Постройте график прямой пропорциональности:

а) $y=x;$

б) $y=-x;$

в) $y=-3x;$

г) $y=0,5x.$

 

2. Выберите из точек $А \left(77; -11\right), В \left(1; \frac{1}{7}\right),$

$С \left(-10; \frac{13}{7}\right)$

 те, которые принадлежат графику функции $y=-\frac{1}{7}x$.

 

3. На рисунке 2 изображён график прямой пропорциональности. Запишите его формулу. 

Указание: возьмите координаты любой точки, принадлежащей графику функции, и подставьте их в формулу вида $y=kx$, откуда найдёте $k$.   

Действительно, если $b=0$, то получим формулу $y=kx$, которой задаётся прямая пропорциональность (при $k\ne 0$).

График линейной функции

Число $k$ — угловой коэффициент прямой, которая является графиком функции$y= kx+b$. 

Если $k>0$, то угол между прямой и положительным направлением оси $x$ — острый. Двигаясь по этой прямой слева направо «поднимаемся в горку».

Если $k<0$, то угол между прямой и положительным направлением оси $x$ — тупой. Двигаясь по этой прямой слева направо «спускаемся с горки».

Построить график функции $y=3x-2$.

Решение

Рис. 3. График функции y=3x-2

1. Составим таблицу значений аргумента и функции: 

 

$x$	0	2
$y$	-2	4

 

2. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: (0; -2), (2; 4).

 

3. Проведём через эти точки прямую (рис. 3).                                                                            

Рис. 4. Графики функций y=3x и y=3x-2

Заметим, что прямые, которые являются графиками функций $y=3x$ и $y=3x-2$, параллельны (рис. 4).

 

Рассмотрим две функции $y=k_{1}x+b_1$ и $y=k_{2}x+b_2$.

 

Если угловые коэффициенты различны $\left(k_1\ne k_2\right)$, то прямые, являющиеся графиками этих функций, пересекаются.

 

Если угловые коэффициенты равны $\left(k_1=k_2\right)$, то прямые, являющиеся графиками этих функций, параллельны.

Особо следует рассмотреть случай, если $k=0$. В этом случае формула $y= kx+b$ примет вид $y=b$. Графиком функции будет прямая, параллельная оси $x$ (рис. 5):

Рис. 5. Графики функций вида y=b

Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций: 

а) $y=11x+25$ и $y=11x-4$; 

б) $y=15x-8$ и $y=3x+2$.

Решение

а) Угловые коэффициенты функций $y=11x+25$ и $y=11x-4$ равны $\left(k_1=k_2=11\right)$, значит, прямые, которые являются графиками этих функций, параллельны, т. е. точки пересечения нет.

б) Угловые коэффициенты функций $y=15x-8$ и $y=3x+2$ различны $\left(k_1\ne k_2\right)$, значит, прямые, которые являются графиками этих функций, пересекаются, т. е. имеют общую точку $\left(x;y\right)$. Если значения $y$ одно и то же, то получим уравнение $15x–8=3x+2$, решив которое находим, что $x=\frac{5}{6}$.

Подставим получившееся значение в любую из двух данных в условии формул: $y=3·\frac{5}{6}+2=4,5$.

$\left(\frac{5}{6}; 4,5\right)$ — точка пересечения графиков функций $y=15x-8$и $y=3x+2$.

Ответ: а) нет точки пересечения; б) $\left(\frac{5}{6}; 4,5\right)$.

1. Постройте график линейной функции: 

а) $y=0,5x-4;$

б) $y=-2x+1;$

в) $y=-3;$

г) $y=0.$

2. Проходит ли график функции $y=-25x+17$через точку $М \left(4; -83\right)$?

3. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций: 

а) $y=10x-2$ и $y=-4x-2$;

б) $y=18x-1$и $y=18x$.

Ответы

Упражнение 1

Рис. 6. Упражнение 1. Ответ

1. 

а) биссектриса I и III координатных четвертей;                         

б) биссектриса II и VI координатных четвертей;

в) г) рис. 6.                                                                                                                                               

2. А.

3. $y=-2x$.

Упражнение 2

 

1. Рис. 7.

2. Да

3. а) $\left(0; -2\right)$; б) нет точки пересечения.                                                                                              

Рис. 7. Упражнение 2. Ответ