Конспект урока: График функций

График функции

При рассмотрении этой темы необходимо знать:

1. зависимость одной переменной от другой называется функцией, если каждому значению независимой переменной ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной, т. е. рассматриваются пары чисел;
2. положение точки на координатной плоскости также задаётся парой чисел (координаты точки: абсцисса и ордината).

На эти два изученных ранее факта опирается важное понятие — график функции.

Важно помнить названия переменных:

Следует отметить, что для обозначения функциональной зависимости могут применяться и другие буквы латинского алфавита.

Построить график функции $y=3x+2$.

Решение

1. Выбираем любые значения независимой переменной $x$, подставляем в формулу и вычисляем значения зависимой переменной $y$:

если $x=-3$, то $y=3·(-3)+2=-7$;

если $x=-2$, то $y=3·(-2)+2=-4$;

если $x=-1$, то $y=3·(-1)+2=-1$;

если $x=0$, то $y=3·0+2=2$;

если $x=1$, то $y=3·1+2=5$;

если $x=2$, то $y=3·2+2=8$ и т. д.

Рис. 1. График функции y=3x+2

 

2. Составим таблицу значений аргумента и функции:

 

$x$	-3	-2	-1	0	1	2
$y$	-7	-4	-1	2	5	8

 

3. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: (-3; -7), (-2; -4), 

(-1; -1), (0; 2), (1; 5), (2; 8).

 

Проведём через эти точки линию, получим график функции $y=3x+2$ (рис. 1).

С помощью графика функции, изображённого на рисунке 2, определите: 

а) значение функции при значении аргумента, равного 4; 

б) значение аргумента при значении функции, равного 5.   

Решение

Рис. 2. График функции

а) Дано значение аргумента, т. е. $x=4.$ Найдём на оси $x$ точку, соответствующую числу 4, проведём через эту точку прямую, перпендикулярную к оси $x$, получим точку пересечения перпендикуляра с графиком. От полученной на графике точки проводим перпендикуляр к оси $y$, получим на ней  число -3, значит, $y=-3$ и есть искомое значение функции. 

 

б) Дано значение функции, т. е. $y=5$. Найдём на оси $y$ точку, соответствующую числу 5, проведём через эту точку прямую, перпендикулярную к оси $y$, получим точки пересечения перпендикуляра с графиком. От каждой из полученных на графике точек проводим перпендикуляры к оси $x$, получим числа -3 и 7, значит, $x=-3$и $x=7$ и есть искомые значения аргумента.

Ответ: а) -3; б) -3; 7.

Бывают случаи, когда для ответа на вопрос изображение графика функции не требуется. 

Проходит ли график функции $y=x^2+5$

а) через точку $М (-20; 405);$

б) через точку $К (30; 1005).$

Решение

Вспомним правило записи координат точки: $\left(x; y\right)$, т. е. первое число — это значение абсциссы (аргумента), второе число — это значение ординаты (значение функции).

а) $М (-20; 405)$ значит, $x=-20, y=405$.

Подставим значения переменных в формулу:

$y=x^2+5$.

$405={(-20)}^2+5$,

$405=405$ — верное равенство, значит, график функции проходит через точку $M$.

б) $К (30; 1005)$, значит, $x=30, y=1005$.

Подставим значения переменных в формулу:

$y=x^2+5.$

$1005={30}^2+5$,

$1005=905$- неверное равенство, значит, график функции не проходит через точку $K$.

Ответ: а) да; б) нет.

1. Постройте график функции $y=x(x – 2)$ при $-2\le x\le 4$.

Рис. 3. График функции

2. Выберите из точек $А \left(1; 5\right), В\left( 20; \frac{11}{5}\right),С \left(-3; \frac{1}{3}\right)$ те, которые принадлежат графику функции $y=\frac{x+4}{x}$.

 

3. С помощью графика функции, изображённого на рисунке 3, найдите: 

 

а) значение функции при значении аргумента, равного -2; 

б) значение аргумента при значении функции, равного -4. 

Ответы

Упражнение 1

 

1.

Рис. 4. Упражнение 1. Ответ

2. А.

3. а) 4; б) 3.