Конспект урока: Функции y=x^2, y=x^3 и их графики

Функция $y=x^2$, её график и свойства

Примером функции $y=x^2$ является зависимость площади квадрата от его стороны $\left(S=a^2\right)$.

Построим график функции $y=x^2$.

Составим таблицу значений аргумента и функции: 

Рис. 1. График квадратичной функции

Построим точки с полученными координатами и проведём через них плавную линию (рис. 1).

 

График функции $y=x^2$ называют параболой .

 

Свойства функции $y=x^2$

 

1. Если $x=0$, то $y=0$.
2. Если $x\ne 0$, то $y>0$.
3. Противоположным значениям $x$ соответствует одно и то же значение $y$.

Функция $y=x^3$, её график и свойства

Примером функции $y=x^3$ является зависимость объёма куба от его ребра $\left(V=a^3\right).$

Построим график функции $y=x^3$.

Составим таблицу значений аргумента и функции: 

Рис. 2. График кубической функции

x	-2	-1	$-\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	2
y	-8	-1	$-\frac{1}{8}$	0	$\frac{1}{8}$	1	8

 

Построим точки с полученными координатами и проведём через них плавную линию (рис. 2).

 

График функции $y=x^3$ называют  кубической параболой .

 

Свойства функции $y=x^3$

 

1. Если $x=0$, то $y=0$.
2. Если $x>0$, то $y>0$; если $x<0$, то $y<0$.
3. Противоположным значениям $x$ соответствуют противоположные значения $y$.

Графический способ решения уравнений

Суть решения уравнений графическим способом заключается в следующем: 

1. Задать с помощью формул две функции: одна функция записывается с помощью выражения из левой части данного уравнения, вторая функция — из правой части.
2. Построить графики этих функций в одной системе координат.
3. Найти точки пересечения графиков — сколько точек пересечения, столько корней имеет данное уравнение. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения.
4. Записать ответ.

Решите графически уравнение $x^2=3–2x$.

Решение

1. Рассмотрим две функции: $y=x^2$ и $y=3–2x$:

$y=x^2$ - графиком этой функции является парабола.

$y=3–2x$ - линейная функция, графиком является прямая.

2. Составим таблицы значений аргумента и функции: 

Рис. 3. Графический способ решения уравнения

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

 

x	0	3
y	3	-3

 

Построим в одной системе координат графики этих функций (рис. 3).

 

3. Графики пересекаются в двух точках: (-3; 9) и (1; 1). Абсциссы этих точек и есть корни данного в условии уравнения.

 

$x_1=-3, x_2=1$.

 

Ответ: -3; 1.

1. Найдите значение функции $y=x^3$, которое соответствует заданному значению аргумента:

а) – 3;

б) 4;

в) 10.

2. Найдите значения аргумента, которым соответствует заданное значение функции $y=x^2$:

а) 16;

б) 25;

в) 0,01.

3. Принадлежит ли графику функции $y=x^2$ точка

а) $A (25; 625)$;

б) $B (-1,3; -1,69)$.

4. Принадлежит ли графику функции $y=x^3$ точка

а) $A (5; 125)$; 

б) $B (-1; 1)$.

5. Решите графически уравнение:

а) $x^2=-4x–3$;

б) $x^2+x+3=0$; 

в) $x^3-x=0$.