Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Линейная функция

Функции

25.02.2024
1655
0

Прямая пропорциональность и её график. Линейная функция и её график

План урока

  • Прямая пропорциональность
  • График прямой пропорциональности
  • Линейная функция
  • График линейной функции

Цели урока

  • Знать определение прямой пропорциональности
  • Знать, что представляет собой график прямой пропорциональности
  • Знать определение линейной функции
  • Знать, что представляет собой график линейной функции
  • Уметь строить графики прямой пропорциональности, линейной функции

Разминка

  • Что такое функция?
  • 1 кг конфет стоит 350 рублей. Сколько придётся заплатить при покупке 2 кг? 3 кг? 5 кг? Запишите ответы в таблицу:

 

n, количество (кг)

1

2

3

5

С, стоимость (р.)

Прямая пропорциональность

 

При решении этой задачи получили:

 

n, количество (кг)

1

2

3

5

С, стоимость (р.)

350

700

1050

1750

 

Заметим, что при увеличении количества килограммов в несколько раз, стоимость увеличивается в такое же количество раз. Эту зависимость можно задать формулой С=350n.

 

Рассмотрим ещё примеры:

  1. периметр P квадрата находим по формуле P=4a, где a — длина стороны квадрата;
  2. путь S, пройденный пешеходом с постоянной скоростью 5 км/ч, найдём по формуле S=5t, где t — время движения пешехода (в ч);
  3. автомобиль, грузоподъёмность которого составляет 7,5 т, перевезёт груз, масса m которого будет зависеть от количества рейсов: m=7,5n, где n — количество рейсов.

В общем виде такую зависимость можно задать формулой y=kx, где x — независимая переменная, k — некоторое число (k0).


Функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x — независимая переменная, k — некоторое число k0, называется прямой пропорциональностью .


Число k называется коэффициентом  прямой пропорциональности.

 

График прямой пропорциональности


Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат .


Из курса геометрии знаем для того, чтобы провести прямую, надо задать две точки. Если прямая проходит через начало координат, т. е. через точку (0; 0), то для её построения достаточно вычислить координаты ещё одной точки.


Пример 1

Построить график функции y=3x.


Решение

Рис. 1. График функции y=3x

1. Составим таблицу значений аргумента и функции:

 

x

0

2

y

0

6

 

2. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: 

(0; 0), (2; 6).

 

Проведём через эти точки прямую (рис. 1). 


Если k>0, то график прямой пропорциональности будет располагаться в I и в III координатных четвертях.

 

Если k<0, то график прямой пропорциональности будет располагаться во II и в IV координатных четвертях.


Упражнение 1

Рис. 2. График прямой пропорциональности

1. Постройте график прямой пропорциональности:

а) y=x;

б) y=-x; 

в) y=-3x; 

г) y=0,5x.

 

2. Выберите из точек А 77; -11, В 1;  17,

С -10; 137

 те, которые принадлежат графику функции y=-17x.

 

3. На рисунке 2 изображён график прямой пропорциональности. Запишите его формулу. 

Указание: возьмите координаты любой точки, принадлежащей графику функции, и подставьте их в формулу вида y=kx, откуда найдёте k.   


Линейная функция 

 

Прямая пропорциональность — это частный случай линейной функции .

 

Функция, которую можно задать формулой вида y= kx+b, где x — независимая переменная, k и b — некоторые числа, называется линейной функцией .


Действительно, если b=0, то получим формулу y=kx, которой задаётся прямая пропорциональность (при k0).

 

График линейной функции


Графиком линейной функции является прямая .


Число k — угловой коэффициент прямой, которая является графиком функцииy= kx+b

Если k>0, то угол между прямой и положительным направлением оси x — острый. Двигаясь по этой прямой слева направо «поднимаемся в горку».

Если k<0, то угол между прямой и положительным направлением оси x — тупой. Двигаясь по этой прямой слева направо «спускаемся с горки».


Пример 2

Построить график функции y=3x-2.


Решение

Рис. 3. График функции y=3x-2

1. Составим таблицу значений аргумента и функции: 

 

x

0

2

y

-2

4

 

2. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: (0; -2), (2; 4).

 

3. Проведём через эти точки прямую (рис. 3).                                                                            


Рис. 4. Графики функций y=3x и y=3x-2

Заметим, что прямые, которые являются графиками функций y=3x и y=3x-2, параллельны (рис. 4).

 

Рассмотрим две функции y=k1x+b1 и y=k2x+b2.

 

Если угловые коэффициенты различны k1k2, то прямые, являющиеся графиками этих функций, пересекаются.

 

Если угловые коэффициенты равны k1=k2, то прямые, являющиеся графиками этих функций, параллельны.

Особо следует рассмотреть случай, если k=0. В этом случае формула y= kx+b примет вид y=b. Графиком функции будет прямая, параллельная оси x (рис. 5):

Рис. 5. Графики функций вида y=b


Пример 3

Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций: 

а) y=11x+25 и y=11x-4

б) y=15x-8 и y=3x+2.


Решение

 

а) Угловые коэффициенты функций y=11x+25 и y=11x-4 равны k1=k2=11, значит, прямые, которые являются графиками этих функций параллельны, т. е. точки пересечения нет.

 

б) Угловые коэффициенты функций y=15x-8 и y=3x+2 различны k1k2, значит, прямые, которые являются графиками этих функций, пересекаются, т. е. имеют общую точку x;y. Если значения y одно и то же, то получим уравнение 15x8=3x+2, решив которое находим, что x=56.

 

Подставим получившееся значение в любую из двух данных в условии формул: y=3·56+2=4,5.

 

56; 4,5 — точка пересечения графиков функций y=15x-8 и y=3x+2.

 

Ответ: а) нет точки пересечения; б) 56; 4,5.


Упражнение 2

1. Постройте график линейной функции: а) y=0,5x-4; б)y=-2x+1; в) y=-3; г)y=0.

 

2. Проходит ли график функции y=-25x+17 через точку М 4; -83?

 

3. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций: 

а) y=10x-2 и y=-4x-2;

б) y=18x-1 и y=18x.


Контрольные вопросы

 

1. Какая функция называется прямой пропорциональностью?

2. Что представляет собой график прямой пропорциональности? 

3. Объясните, как будет расположен график прямой пропорциональности в координатной плоскости в зависимости от знака коэффициента.

4. Какая функция называется линейной?

5. Что представляет собой график линейной функции?

6. Назовите условие параллельности двух прямых, являющихся графиками линейных функций.


Ответы

Упражнение 1

Рис. 6. Упражнение 1. Ответ

1. 

а) биссектриса I и III координатных четвертей;                         

б) биссектриса II и VI координатных четвертей;

в) г) рис. 6:                                                                                                                                                

2. А.

3. y=-2x.

Упражнение 2

 

2. Да

3. а) 0; -2; б) нет точки пересечения.                                                                                              

Рис. 7. Упражнение 2. Ответ
 

Предыдущий урок
График функций
Функции
Следующий урок
Прямая пропорциональность и её график. Линейная функция и её график
Функции
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • A language biography. История изучения языка

    Английский язык

  • Learning languages. Изучаем языки

    Английский язык

  • А.П. Платонов. «Юшка», «В прекрасном и яростном мире»

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке