[header]Прямая пропорциональность и её график. Линейная функция и её график[/header]
[flex column='true'][row title='План урока']
- Прямая пропорциональность
- График прямой пропорциональности
- Линейная функция
- График линейной функции
[/row][row title='Цели урока']
- Знать определение прямой пропорциональности
- Знать, что представляет собой график прямой пропорциональности
- Знать определение линейной функции
- Знать, что представляет собой график линейной функции
- Уметь строить графики прямой пропорциональности, линейной функции
[/row][row title='Разминка' final='true']
- Что такое функция?
- 1 кг конфет стоит 350 рублей. Сколько придётся заплатить при покупке 2 кг? 3 кг? 5 кг? Запишите ответы в таблицу:
[table][tr][td]
, количество (кг)
[/td][td]
1
[/td][td]
2
[/td][td]
3
[/td][td]
5
[/td][/tr][tr][td]
, стоимость (р.)
[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]
[/row][/flex]
Прямая пропорциональность
При решении этой задачи получили:
[table][tr][td]
, количество (кг)
[/td][td]
1
[/td][td]
2
[/td][td]
3
[/td][td]
5
[/td][/tr][tr][td]
, стоимость (р.)
[/td][td]
350
[/td][td]
700
[/td][td]
1050
[/td][td]
1750
[/td][/tr][/table]
Заметим, что при увеличении количества килограммов в несколько раз, стоимость увеличивается в такое же количество раз. Эту зависимость можно задать формулой .
Рассмотрим ещё примеры:
- периметр квадрата находим по формуле , где — длина стороны квадрата;
- путь , пройденный пешеходом с постоянной скоростью 5 км/ч, найдём по формуле , где — время движения пешехода (в ч);
- автомобиль, грузоподъёмность которого составляет 7,5 т, перевезёт груз, масса которого будет зависеть от количества рейсов: , где — количество рейсов.
В общем виде такую зависимость можно задать формулой , где — независимая переменная, — некоторое число .
[line][/line]
[section icon='note']
Функция, которую можно задать формулой вида , где — независимая переменная, — некоторое число , называется прямой пропорциональностью.
[/section]
[line][/line]
Число называется коэффициентом прямой пропорциональности.
График прямой пропорциональности
[line][/line]
[section icon='note']
Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.
[/section]
[line][/line]
Из курса геометрии знаем для того, чтобы провести прямую, надо задать две точки. Если прямая проходит через начало координат, т. е. через точку , то для её построения достаточно вычислить координаты ещё одной точки.
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 1
[/section]
Построить график функции .
[line][/line]
Решение
[img url='/upload/SWqbL2u0NE1H_Алгебра-06.png' name='Рис. 1. График функции y=3x' width='50' float='right']
1. Составим таблицу значений аргумента и функции:
[table][tr][td]
[/td][td]
0
[/td][td]
2
[/td][/tr][tr][td]
[/td][td]
0
[/td][td]
6
[/td][/tr][/table]
2. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:
(0; 0), (2; 6).
Проведём через эти точки прямую (рис. 1).
[/img]
[line][/line]
Если , то график прямой пропорциональности будет располагаться в I и в III координатных четвертях.
Если , то график прямой пропорциональности будет располагаться во II и в IV координатных четвертях.
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 1
[img url='/upload/IOcgwnZgcXSF_Алгебра-07.png' name='Рис. 2. График прямой пропорциональности' width='50' float='right']
1. Постройте график прямой пропорциональности:
2. Выберите из точек
те, которые принадлежат графику функции .
3. На рисунке 2 изображён график прямой пропорциональности. Запишите его формулу.
[/img]
Указание: возьмите координаты любой точки, принадлежащей графику функции, и подставьте их в формулу вида , откуда найдёте .
[/section]
[line][/line]
[section icon='note']
Линейная функция
Прямая пропорциональность — это частный случай линейной функции.
Функция, которую можно задать формулой вида , где — независимая переменная, и — некоторые числа, называется линейной функцией.
[/section]
[line][/line]
Действительно, если , то получим формулу , которой задаётся прямая пропорциональность (при ).
График линейной функции
[line][/line]
[section icon='note']
Графиком линейной функции является прямая.
[/section]
[line][/line]
Число — угловой коэффициент прямой, которая является графиком функции.
Если , то угол между прямой и положительным направлением оси — острый. Двигаясь по этой прямой слева направо «поднимаемся в горку».
Если , то угол между прямой и положительным направлением оси — тупой. Двигаясь по этой прямой слева направо «спускаемся с горки».
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 2
[/section]
Построить график функции .
[line][/line]
Решение
[img url='/upload/pvvxWdABgN2T_Алгебра-08.png' name='Рис. 3. График функции y=3x-2' width='50' float='right']
1. Составим таблицу значений аргумента и функции:
[table][tr][td]
[/td][td]
0
[/td][td]
2
[/td][/tr][tr][td]
[/td][td]
-2
[/td][td]
4
[/td][/tr][/table]
2. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: (0; -2), (2; 4).
3. Проведём через эти точки прямую (рис. 3).
[/img]
[line][/line]
[img url='/upload/66qrc4tTAxG2_Алгебра-09.png' name='Рис. 4. Графики функций y=3x и y=3x-2' width='50' float='right']
Заметим, что прямые, которые являются графиками функций и , параллельны (рис. 4).
Рассмотрим две функции и .
Если угловые коэффициенты различны , то прямые, являющиеся графиками этих функций, пересекаются.
Если угловые коэффициенты равны , то прямые, являющиеся графиками этих функций, параллельны.
[/img]
Особо следует рассмотреть случай, если . В этом случае формула примет вид . Графиком функции будет прямая, параллельная оси (рис. 5):
[img url='/upload/WZhTU0xUBqH1_Алгебра-10.png' name='Рис. 5. Графики функций вида y=b' width='80'][/img]
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 3
[/section]
Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций:
а) и ;
б) и .
[line][/line]
Решение
а) Угловые коэффициенты функций и равны , значит, прямые, которые являются графиками этих функций параллельны, т. е. точки пересечения нет.
б) Угловые коэффициенты функций и различны , значит, прямые, которые являются графиками этих функций, пересекаются, т. е. имеют общую точку . Если значения одно и то же, то получим уравнение , решив которое находим, что .
Подставим получившееся значение в любую из двух данных в условии формул: .
— точка пересечения графиков функций и .
Ответ: а) нет точки пересечения; б) .
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнение 2
[/section]
1. Постройте график линейной функции:
2. Проходит ли график функции через точку ?
3. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций:
а) и ;
б) и .
[line][/line]
[section icon='question']
Контрольные вопросы
1. Какая функция называется прямой пропорциональностью?
2. Что представляет собой график прямой пропорциональности?
3. Объясните, как будет расположен график прямой пропорциональности в координатной плоскости в зависимости от знака коэффициента.
4. Какая функция называется линейной?
5. Что представляет собой график линейной функции?
6. Назовите условие параллельности двух прямых, являющихся графиками линейных функций.
[/section]
[line][/line]
[flex column='true'][row title='Ответы' final='true']
Упражнение 1
[img url='/upload/ogX6jlCbGlFG_Алгебра-11.png' name='Рис. 6. Упражнение 1. Ответ' width='50' float='right']
1.
а) биссектриса I и III координатных четвертей;
б) биссектриса II и VI координатных четвертей;
в) г) рис. 6:
2. А.
3. .
[/img]
Упражнение 2
2. Да
3. а) ; б) нет точки пересечения. [img url='/upload/ZyZldr0Y3zL1_Алгебра-12.png' name='Рис. 7. Упражнение 2. Ответ' width='80'] [/img]
[/row][/flex]