Конспект урока: Линейная функция

[header]Прямая пропорциональность и её график. Линейная функция и её график[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

• Прямая пропорциональность
• График прямой пропорциональности
• Линейная функция
• График линейной функции

[/row][row title='Цели урока']

• Знать определение прямой пропорциональности
• Знать, что представляет собой график прямой пропорциональности
• Знать определение линейной функции
• Знать, что представляет собой график линейной функции
• Уметь строить графики прямой пропорциональности, линейной функции

[/row][row title='Разминка' final='true']

• Что такое функция?
• 1 кг конфет стоит 350 рублей. Сколько придётся заплатить при покупке 2 кг? 3 кг? 5 кг? Запишите ответы в таблицу:

[table][tr][td]

$n$, количество (кг)

[/td][td]

1

[/td][td]

2

[/td][td]

3

[/td][td]

5

[/td][/tr][tr][td]

$С$, стоимость (р.)

[/td][td][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]

[/row][/flex]

Прямая пропорциональность

При решении этой задачи получили:

[table][tr][td]

$n$, количество (кг)

[/td][td]

1

[/td][td]

2

[/td][td]

3

[/td][td]

5

[/td][/tr][tr][td]

$С$, стоимость (р.)

[/td][td]

350

[/td][td]

700

[/td][td]

1050

[/td][td]

1750

[/td][/tr][/table]

Заметим, что при увеличении количества килограммов в несколько раз, стоимость увеличивается в такое же количество раз. Эту зависимость можно задать формулой $С=350n$.

Рассмотрим ещё примеры:

1. периметр $P$ квадрата находим по формуле $P=4a$, где $a$ — длина стороны квадрата;
2. путь $S$, пройденный пешеходом с постоянной скоростью 5 км/ч, найдём по формуле $S=5t$, где $t$ — время движения пешехода (в ч);
3. автомобиль, грузоподъёмность которого составляет 7,5 т, перевезёт груз, масса $m$ которого будет зависеть от количества рейсов: $m=7,5n$, где $n$ — количество рейсов.

В общем виде такую зависимость можно задать формулой $y=kx$, где $x$ — независимая переменная, $k$ — некоторое число $(k\ne 0)$.

[line][/line]

[section icon='note']

Функция, которую можно задать формулой вида $y=kx$, где $x$ — независимая переменная, $k$ — некоторое число $\left(k\ne 0\right)$, называется прямой пропорциональностью.

[/section]

[line][/line]

Число $k$ называется коэффициентом прямой пропорциональности.

График прямой пропорциональности

[line][/line]

[section icon='note']

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

[/section]

[line][/line]

Из курса геометрии знаем для того, чтобы провести прямую, надо задать две точки. Если прямая проходит через начало координат, т. е. через точку $(0; 0)$, то для её построения достаточно вычислить координаты ещё одной точки.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 1

[/section]

Построить график функции $y=3x$.

[line][/line]

Решение

[img url='/upload/SWqbL2u0NE1H_Алгебра-06.png' name='Рис. 1. График функции y=3x' width='50' float='right']

1. Составим таблицу значений аргумента и функции:

[table][tr][td]

$x$

[/td][td]

0

[/td][td]

2

[/td][/tr][tr][td]

$y$

[/td][td]

0

[/td][td]

6

[/td][/tr][/table]

2. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: 

(0; 0), (2; 6).

Проведём через эти точки прямую (рис. 1). 

[/img]

[line][/line]

Если $k>0$, то график прямой пропорциональности будет располагаться в I и в III координатных четвертях.

Если $k<0$, то график прямой пропорциональности будет располагаться во II и в IV координатных четвертях.

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 1

[img url='/upload/IOcgwnZgcXSF_Алгебра-07.png' name='Рис. 2. График прямой пропорциональности' width='50' float='right']

1. Постройте график прямой пропорциональности:

$а) y=x;$

$б) y=-x;$

$в) y=-3x;$

$г) y=0,5x.$

2. Выберите из точек $А \left(77; -11\right), В \left(1; \frac{1}{7}\right),$

$С \left(-10; \frac{13}{7}\right)$

 те, которые принадлежат графику функции $y=-\frac{1}{7}x$.

3. На рисунке 2 изображён график прямой пропорциональности. Запишите его формулу. 

[/img]

Указание: возьмите координаты любой точки, принадлежащей графику функции, и подставьте их в формулу вида $y=kx$, откуда найдёте $k$.   

[/section]

[line][/line]

[section icon='note']

Линейная функция 

Прямая пропорциональность — это частный случай линейной функции.

Функция, которую можно задать формулой вида $y= kx+b$, где $x$ — независимая переменная, $k$ и $b$ — некоторые числа, называется линейной функцией.

[/section]

[line][/line]

Действительно, если $b=0$, то получим формулу $y=kx$, которой задаётся прямая пропорциональность (при $k\ne 0$).

График линейной функции

[line][/line]

[section icon='note']

Графиком линейной функции является прямая.

[/section]

[line][/line]

Число $k$ — угловой коэффициент прямой, которая является графиком функции$y= kx+b$. 

Если $k>0$, то угол между прямой и положительным направлением оси $x$ — острый. Двигаясь по этой прямой слева направо «поднимаемся в горку».

Если $k<0$, то угол между прямой и положительным направлением оси $x$ — тупой. Двигаясь по этой прямой слева направо «спускаемся с горки».

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 2

[/section]

Построить график функции $y=3x-2$.

[line][/line]

Решение

[img url='/upload/pvvxWdABgN2T_Алгебра-08.png' name='Рис. 3. График функции y=3x-2' width='50' float='right']

1. Составим таблицу значений аргумента и функции: 

[table][tr][td]

$x$

[/td][td]

0

[/td][td]

2

[/td][/tr][tr][td]

$y$

[/td][td]

-2

[/td][td]

4

[/td][/tr][/table]

2. Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице: (0; -2), (2; 4).

3. Проведём через эти точки прямую (рис. 3).                                                                            

[/img]

[line][/line]

[img url='/upload/66qrc4tTAxG2_Алгебра-09.png' name='Рис. 4. Графики функций y=3x и y=3x-2' width='50' float='right']

Заметим, что прямые, которые являются графиками функций $y=3x$ и $y=3x-2$, параллельны (рис. 4).

Рассмотрим две функции $y=k_{1}x+b_1$ и $y=k_{2}x+b_2$.

Если угловые коэффициенты различны $\left(k_1\ne k_2\right)$, то прямые, являющиеся графиками этих функций, пересекаются.

Если угловые коэффициенты равны $\left(k_1=k_2\right)$, то прямые, являющиеся графиками этих функций, параллельны.

[/img]

Особо следует рассмотреть случай, если $k=0$. В этом случае формула $y= kx+b$ примет вид $y=b$. Графиком функции будет прямая, параллельная оси $x$ (рис. 5):

[img url='/upload/WZhTU0xUBqH1_Алгебра-10.png' name='Рис. 5. Графики функций вида y=b' width='80'][/img]

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 3

[/section]

Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций: 

а) $y=11x+25$ и $y=11x-4$; 

б) $y=15x-8$ и $y=3x+2$.

[line][/line]

Решение

а) Угловые коэффициенты функций $y=11x+25$ и $y=11x-4$ равны $\left(k_1=k_2=11\right)$, значит, прямые, которые являются графиками этих функций параллельны, т. е. точки пересечения нет.

б) Угловые коэффициенты функций $y=15x-8$ и $y=3x+2$ различны $\left(k_1\ne k_2\right)$, значит, прямые, которые являются графиками этих функций, пересекаются, т. е. имеют общую точку $\left(x;y\right)$. Если значения $y$ одно и то же, то получим уравнение $15x–8=3x+2$, решив которое находим, что $x=\frac{5}{6}$.

Подставим получившееся значение в любую из двух данных в условии формул: $y=3·\frac{5}{6}+2=4,5$.

$\left(\frac{5}{6}; 4,5\right)$ — точка пересечения графиков функций $y=15x-8$и $y=3x+2$.

Ответ: а) нет точки пересечения; б) $\left(\frac{5}{6}; 4,5\right)$.

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 2

[/section]

1. Постройте график линейной функции: $а) y=0,5x-4; б)y=-2x+1; в) y=-3; г)y=0.$

2. Проходит ли график функции $y=-25x+17$через точку $М \left(4; -83\right)$?

3. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций: 

а) $y=10x-2$ и $y=-4x-2$;

б) $y=18x-1$и $y=18x$.

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется прямой пропорциональностью?

2. Что представляет собой график прямой пропорциональности? 

3. Объясните, как будет расположен график прямой пропорциональности в координатной плоскости в зависимости от знака коэффициента.

4. Какая функция называется линейной?

5. Что представляет собой график линейной функции?

6. Назовите условие параллельности двух прямых, являющихся графиками линейных функций.

[/section]

[line][/line]

[flex column='true'][row title='Ответы' final='true']

Упражнение 1

[img url='/upload/ogX6jlCbGlFG_Алгебра-11.png' name='Рис. 6. Упражнение 1. Ответ' width='50' float='right']

1. 

а) биссектриса I и III координатных четвертей;                         

б) биссектриса II и VI координатных четвертей;

в) г) рис. 6:                                                                                                                                                

2. А.

3. $y=-2x$.

[/img]

Упражнение 2

2. Да

3. а) $\left(0; -2\right)$; б) нет точки пересечения.                                                                                               [img url='/upload/ZyZldr0Y3zL1_Алгебра-12.png' name='Рис. 7. Упражнение 2. Ответ' width='80']  [/img]

[/row][/flex]