Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

План урока

Сложение и вычитание векторов;
Сумма нескольких векторов;
Умножение вектора на число.

Цели урока

Знать правила сложения (правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника), вычитания векторов, умножения вектора на число;
Уметь выполнять сложение и вычитание векторов;
Уметь выполнять умножение вектора на число;
Знать свойства сложения векторов;
Знать свойства умножения вектора на число.

Разминка

Какие векторы называются коллинеарными, сонаправленными, противоположно направленными?
Что такое модуль вектора?
Какие векторы называются равными?

Сложение и вычитание векторов

Рис. 1. Правило треугольника

Рассмотрим, что понимают под сложением произвольных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

Отложим от какой-нибудь точки $A$ вектор $\vec{A B}$ , равный вектору $\vec{a}$ (рис. 1). От точки $B$ отложим вектор $\vec{B C}$ , равный $\vec{b}$ .

Вектор $\vec{A C}$ является суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ : $\vec{A C} = \vec{a} + \vec{b}$ .

Рис. 2. Сложение коллинеарных векторов

Такой способ нахождения суммы векторов называется правилом треугольника.

На рисунке 2 показано применение этого правила при сложении сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Сумма векторов $\vec{a} + \vec{b}$ не зависит от выбора точки, от которой при сложении откладывается вектор $\vec{a}$ .

Правило треугольника может быть сформулировано следующим образом:

Для любых трёх точек $A$ , $B$ и $C$ имеет место равенство

$\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Рис. 3. Правило параллелограмма

Для сложения двух неколлинеарных векторов также используют правило параллелограмма, применение которого показано на рисунке 3.

Свойства сложения векторов

Для любых векторов $\vec{a}$ , $\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливы равенства:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (переместительный закон)
$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ (сочетательный закон)

Эти свойства сложения векторов были доказаны в курсе планиметрии.

Рассмотрим, что понимают под разностью двух векторов. Для этого введём понятие противоположного вектора.

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.

Рис. 4. Разность векторов, используя определение противоположного вектора

Из определения следует, что вектор $\vec{B A}$ является противоположным вектору $\vec{A B}$ .

Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$ , обозначается $- \vec{a}$ .

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор, сумма которого с вектором $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a}$ .

Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$ :

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$ .

Рис. 5. Разность векторов

На рисунке 4 показано вычитание двух векторов в соответствии с описанной формулировкой.

На рисунке 5 показан другой способ вычитания векторов.

Рис. 6.

Упражнение 1

Постройте вектора $\vec{a} + \vec{b}$ , $\vec{a} - \vec{b}$ , $\vec{b} + \vec{c}$ (рис. 6)

Сумма нескольких векторов

При сложении нескольких векторов в пространстве, также как и на плоскости, первый вектор складывается со вторым, затем их сумма – с третьим вектором и т.д.

Рис. 7. Сложение нескольких векторов

Из переместительного и сочетательного законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

На рисунке 7 проиллюстрировано построение суммы трёх векторов
( $\vec{O C} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ). Таким же образом можно построить сумму любого числа векторов.

Правило, по которому выполняется это построение, называется правилом многоугольника.

Правило многоугольника можно сформулировать так:

Правило многоугольника

Если $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ – произвольные точки, то

$\vec{A_{1} A_{2}} + \vec{A_{2} A_{3}} + \dots + \vec{A_{n - 1} A_{n}} = \vec{A_{1} A_{n}}$ .

Результатом сложения нескольких векторов может быть и нулевой вектор. Такой результат будет в случае, если при использовании правила многоугольника начало первого и конец последнего вектора совпадают.

Упражнение 2

Упростите выражение:

$\vec{A B} + \vec{M N} + \vec{B C} + \vec{N P} + \vec{C M}$ .

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k$ называется такой вектор $\vec{b}$ , длина которого равна $|k| \cdot |\vec{a}|$ , причём векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены при $k > 0$ и противоположно направлены при $k < 0$ .

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора $\vec{a}$ на число $k$ обозначается так: $k \vec{a}$ .

Из данного определения следует, что для любого вектора $\vec{a}$ и любого числа $k$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{k a}$ коллинеарны. Также из определения следует, что произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Сформулируем основные свойства умножения вектора на число.

Свойства умножения вектора на число

Для любых векторов $\vec{a}$ , $\vec{b}$ и любых чисел $k$ , $l$ справедливы равенства:

1. $(k l) \vec{a} = k (l \vec{a})$ (сочетательный закон);

2. $k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$ (первый распределительный закон);

3. $(k + l) \vec{a} = k \vec{a} + l \vec{a}$ (второй распределительный закон).

Можно доказать, что если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{a} \neq \vec{0}$ , то существует число $k$ такое, что $\vec{b} = k \vec{a}$ .

Перечисленные свойства были сформулированы в курсе планиметрии и остаются справедливыми в пространстве.

Рис. 8. К упр. 3

Упражнение 3

1. $D A B C$ – треугольная пирамида (рис. 8). Точки $K$ и $M$ – середины рёбер $A B$ и $B C$ соответственно. Назовите вектор с началом и концом в вершинах $D A B C$ или данных точках, равный:

а) $2 \vec{B K}$ ; б) $\vec{A D} + \vec{D B}$ ;

в) $\vec{A C} - \vec{A K}$ ; г) $\frac{1}{2} \vec{B C} + \vec{M D} + \vec{D A}$ .

Контрольные вопросы

Сформулируйте правила треугольника и многоугольника для сложения векторов.
Какие векторы называются противоположными?
Как выполнить вычитание $\vec{a} - \vec{b}$ ?
Сформулируйте свойства сложения векторов.
Что называют произведением вектора на число?
Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
Что является результатом умножения ненулевого вектора на число нуль?
Что является результатом умножения числа, отличного от нуля на нулевой вектор?

Ответы

Упражнение 1

Упражнение 2

$\vec{A B} + \vec{M N} + \vec{B C} + \vec{N P} + \vec{C M} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C M} + \vec{M N} + \vec{N P} = \vec{A P}$

Упражнение 3

1.а) $2 \cdot \vec{B K} = \vec{B A}$ ;

б) $\vec{A D} + \vec{D B} = \vec{A B}$ ;

в) $\vec{A C} - \vec{A K} = \vec{K A} + \vec{A C} = \vec{K C}$ ;

г) $\frac{1}{2} \vec{B C} + \vec{M D} + \vec{D A} = \vec{B M} + \vec{M D} + \vec{D A} = \vec{B A}$ .

Конспект урока: Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов. Умножение вектора на число

Другие разделы

Сложение и вычитание векторов

Сумма нескольких векторов

Умножение вектора на число