Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций

Тригонометрия

Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций

План урока

  • Четность, нечетность тригонометрических функций;
  • Исследование тригонометрических функций на четность, нечетность;
  • Периодичность тригонометрических функций;
  • Определение периода тригонометрических функций.

Цели урока

  • Знать определение четности, нечетности, периодичности функций, в том числе тригонометрических функций;
  • Уметь исследовать функцию на четность, нечетность, находить период тригонометрических функций.

Разминка

  1. Найти область определения функций y=4cosx-π3y=tg x+2π7.
  2. Найти множество значений функции y=cos x-sin x2.
  3. Назовите формулы синуса, косинуса, тангенса, котангенса отрицательных аргументов.
  4. Что такое четная функция? Нечетная функция?

Четность, нечетность тригонометрических функций

 

В курсе основной школы были изучены такие понятия, как четность, нечетность функций. Напомним их.


Функция y=f(x) называется  четной , если для каждого значения x из ее области определения выполняется равенство f(-x)=f(x).

 

Функция y=f(x) называется  нечетной , если для каждого значения x из ее области определения выполняется равенство f(-x)=-f(x).


Областью определения функций y=sin xy=cos x является множество R всех действительных чисел и кроме того для любого значения x справедливы равенства sin(-x)=-sin xcos(-x)=cos x. Тогда функция y=sin x – нечетная функция, а y=cos x – четная. Областью определения функции y=tg x является множество всех действительных чисел, кроме x=π2+πnnZ и в каждой точке области определения верно равенство tg(-x)=-tg x. Тогда функция y=tg x – нечетная. Аналогично рассуждая, получим, что на множестве R за исключением чисел x=πnnZ функция y=ctg x – нечетная.


Пример 1

Выяснить, является ли четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной функция:

 

1) f(x)=3x4+3cos x;

2) f(x)=2sin x1+cos x.


Решение

 

1) Функция определена на множестве всех действительных чисел. Найдем f(-x) и сравним с f(x).

f-x=3-x4+3cos-x=3x4+3cos x=f(x).

Значит, данная функция является четной.

 

2) Область определения функции Df:1+cos x0, откуда xπ+2πnnZ.

f-x=2 sin-x1+cos-x=-2sin x1+cos x=-2 sin x1+cos x=-fx.

Функция f(x)=2sin x1+cos x – нечетная.

 

Ответ: 1) четная; 2) нечетная.


Упражнение 1

Выяснить, является ли четной, нечетной или не является ни четной, ни четной функция:

 

1) y=51-2sin x;

2) y=3+sin x-cos x.


Известно, что для любого действительного x справедливы равенства sinx+2π=sin xcosx+2π=cos x, т.е. если периодически изменять аргумент на 2π, то значения синуса и косинуса будут повторяться. Такие функции называются периодическими с периодом 2π.


Функция f(x) называется периодической, если существует такое ненулевое число T, что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство fx-T=fx=fx+T. Число T называется периодом функции f(x).


Из определения следует, что если x принадлежит области определения fx, то и числа x-Tx+T (а вообще говоря, числа x+TnnZ) также принадлежат области определения этой периодической функции, fx+Tn=fxnZ.

Функции y=tg xy=ctg x являются периодическими с периодом T=π.


Пример 2

Докажите, что функция является периодической с периодом T.

 

1) f(x)=sin x2T=4π;

2) f(x)=sin 2x+cosxT=π.


Решение

 

1) Функция определена на всей числовой оси. Докажем, что для любого действительного числа x выполняется равенство fx+T=fx.

fx+4π=sinx+4π2=sinx2+2π=sin x2=fx.

 

Итак, равенство  f(x+T)=f(x) выполняется для любого x из области определения. Аналогично f(x-T)=f(x). Значит, T=4π — период данной функции.

 

2) Для преобразования формулы, задающей функцию, воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и вынесем общий множитель за скобки.

f(x)=cos x 2sin x+1.

 

Функция определена на всей числовой оси. Докажем выполнение равенства f(x+T)=f(x) для каждой точки области определения.

fx+π=cos x+π2 sinx+π+1=

=-cos x -2 sin x+1=cos x 2 sin x+1=f(x) .

 

Равенство fx+T=f(x) выполняется для любого x из области определения. Аналогично, f(x-T)=f(x), т.е. T=π – период данной функции.


Пример 3

Найти наименьший положительный период функции fx=sin 23 x.


Решение

 

Функция определена на всей числовой оси. Так как она периодическая, то для каждой точки области определения выполняется равенство fx+T=fx, т.е. sin23x+T=sin23x,

sin23x+23T=sin23x, отсюда 23T=2πT=3π.

 

Ответ: 3π.


Чтобы лучше запомнить, какая из тригонометрических функций будет четной, какая – нечетной, а также наименьший положительный период, заполним следующую таблицу.

 

Таблица четности, нечетности, периодичности тригонометрических функций

 

Функция

Четность, нечетность

Наименьший 
положительный период

y=sinx

Нечетная

2π

y=cosx

Четная

2π

y=tgx

Нечетная

π

y=ctgx

Нечетная 

π


Упражнение 2

1. Доказать, что функция является периодической с периодом T.

 

1) y=sin34xT=8π3;

2) y=sin 5x-cos 5xT=2π5;

3) y=tg 3x-2π3T=π3;

4) y=tg xT=π.

 

2. Найти наименьший положительный период функций: 

 

1) y=6-sin x;

2) y=cos 4x.


Контрольные вопросы

 

  1. Какие из тригонометрических функций являются четными? Нечетными?
  2. Назовите наименьший положительный период каждой тригонометрической функции.


Ответы

Упражнение 1

 

1. ни четная, ни нечетная;

2. ни четная, ни нечетная.

 

Упражнение 2

 

2.  1) 2π; 2) π2.

Предыдущий урок
Обратные тригонометрические функции
Тригонометрия
Следующий урок
Область определения и множество значений тригонометрических функций
Тригонометрия
  • Политические партии и партийные системы

    Обществознание

  • Мировая экономика

    Обществознание

  • Магнитное поле. Индукция магнитного поля. Сила Лоренца. Линии магнитной индукции. Картины магнитных полей. Движение заряженных частиц в магнитном поле

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке