Конспект урока: Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций

Четность, нечетность тригонометрических функций

В курсе основной школы были изучены такие понятия, как четность, нечетность функций. Напомним их.

Областью определения функций $y=\sin x$, $y=\cos x$ является множество $R$ всех действительных чисел и, кроме того, для любого значения $x$ справедливы равенства $\sin (-x)=-\sin x$, $\cos (-x)=\cos x$. Тогда функция $y=\sin x$ – нечетная функция, а $y=\cos x$ – четная. Областью определения функции $y=tg x$ является множество всех действительных чисел, кроме $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, $n\in Z$ и в каждой точке области определения верно равенство $tg(-x)=-tg x$. Тогда функция $y=tg x$ – нечетная. Аналогично рассуждая, получим, что на множестве $R$ за исключением чисел $x=\pi n$, $n\in Z$ функция $y=ctg x$ – нечетная.

Выяснить, является ли четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной функция:

1) $f\left(x\right)=3x^4+3cos x$;

2) $f\left(x\right)=\frac{2\sin x}{1+\cos x}$.

Решение

1) Функция определена на множестве всех действительных чисел. Найдем $f(-x)$ и сравним с $f\left(x\right)$.

$f\left(-x\right)=3{\left(-x\right)}^4+3cos\left(-x\right)=3x^4+3cos x=f\left(x\right)$.

Значит, данная функция является четной.

2) Область определения функции $D\left(f\right):1+\cos x\ne 0$, откуда $x\ne \pi +2\pi n$, $n\in Z$.

$f\left(-x\right)=\frac{2 \sin \left(-x\right)}{1+\cos \left(-x\right)}=\frac{-2\sin x}{1+\cos x}=-\frac{2 \sin x}{1+\cos x}=-f\left(x\right)$.

Функция $f\left(x\right)=\frac{2\sin x}{1+\cos x}$ – нечетная.

Ответ: 1) четная; 2) нечетная.

Выяснить, является ли четной, нечетной или не является ни четной, ни четной функция:

1) $y=\frac{5}{1-\sqrt{2}\sin x}$;

2) $y=3+\sin x-\cos x$.

Известно, что для любого действительного $x$ справедливы равенства $\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$, $\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$, т.е. если периодически изменять аргумент на $2\pi$, то значения синуса и косинуса будут повторяться. Такие функции называются периодическими с периодом $2\pi$.

Из определения следует, что если $x$ принадлежит области определения $f\left(x\right)$, то и числа $x-T$, $x+T$ (а вообще говоря, числа $x+Tn$, $n\in Z$) также принадлежат области определения этой периодической функции, $f\left(x+Tn\right)=f\left(x\right)$, $n\in Z$.

Функции $y=tg x$, $y=ctg x$ являются периодическими с периодом $T=\mathrm{\pi }$.

Докажите, что функция является периодической с периодом $T$.

1) $f\left(x\right)=\sin \frac{x}{2}$, $T=4\pi$;

2) $f\left(x\right)=\sin 2x+\cos x$, $T=2\pi$.

Решение

1) Функция определена на всей числовой оси. Докажем, что для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$.

$f\left(x+4\pi \right)=\sin \frac{x+4\pi }{2}=\sin \left(\frac{x}{2}+2\pi \right)=\sin \frac{x}{2}=f\left(x\right)$.

Итак, равенство  $f(x+T)=f\left(x\right)$ выполняется для любого $x$ из области определения. Аналогично $f(x-T)=f\left(x\right)$. Значит, $T=4\pi$ — период данной функции.

2) Для преобразования формулы, задающей функцию, воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и вынесем общий множитель за скобки.

$f\left(x\right)=\cos x \left(2\sin x+1\right)$.

Функция определена на всей числовой оси. Докажем выполнение равенства $f(x+T)=f\left(x\right)$ для каждой точки области определения.

$f\left(x+2\pi \right)=\cos \left(x+2\pi \right)\left(2 \sin \left(x+2\pi \right)+1\right)=$

$=\cos x \left(2 \sin x+1\right)=f\left(x\right)$ .

Равенство $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$ выполняется для любого $x$ из области определения. Аналогично, $f(x-T)=f\left(x\right)$, т.е. $T=2\mathrm{\pi }$ – период данной функции.

Найти наименьший положительный период функции $f\left(x\right)=\sin \left(\frac{2}{3} x\right)$.

Решение

Функция определена на всей числовой оси. Так как она периодическая, то для каждой точки области определения выполняется равенство $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$, т.е. 

$\sin \left(\frac{2}{3}\left(x+T\right)\right)=\sin \left(\frac{2}{3}x\right)$,

$\sin \left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}T\right)=\sin \left(\frac{2}{3}x\right)$, отсюда $\frac{2}{3}T=2\pi$, $T=3\pi$.

Ответ: $3\mathrm{\pi }$.

Чтобы лучше запомнить, какая из тригонометрических функций будет четной, какая – нечетной, а также наименьший положительный период, заполним следующую таблицу.

Таблица четности, нечетности, периодичности тригонометрических функций

1. Доказать, что функция является периодической с периодом $T$.

1) $y=\sin \frac{3}{4}x$, $T=\frac{8\pi }{3}$;

2) $y=\sin 5x-\cos 5x$, $T=\frac{2\pi }{5}$;

3) $y=tg \left(3x-\frac{2\pi }{3}\right)$, $T=\frac{\pi }{3}$;

4) $y=tg x$, $T=\pi$.

2. Найти наименьший положительный период функций: 

1) $y=6-\sin x$;

2) $y=\cos 4x$.