Конспект урока: Область определения и множество значений тригонометрических функций

Из курса алгебры нам известно, что функцией называют зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению переменной $x$ соответствует единственное значение переменной $y$. 

Если повернуть точку (1;0) на угол $x$ радиан вокруг начала координат $\left(x\in R\right)$, то каждому числу $x$ будет соответствовать единственная точка единичной окружности. А так как у каждой точки есть координаты $\left(\cos x; \sin x\right)$, то каждому действительному $x$ соответствуют числа $\cos x$ и $\sin x$, т.е. на множестве действительных чисел $R$ определены функции $y=\cos x$ и $y=\sin x$.

Область определения и множество значений тригонометрических функций

Исходя из описанного выше, областью определения функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$ является множество $R$ действительных чисел. По определению, тангенс угла – отношение синуса угла к его косинусу, котангенс – отношение косинуса угла к его синусу, тогда для нахождения области определения функций $y=tg x$ и $y=ctg x$ нужно исключить те точки, в которых знаменатели дробей будут равны нулю, т.е.

$\sin x\ne 0$, $x\ne \pi n$, $n\in Z$, $\cos x\ne 0$, $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n$, $n\in Z$.

Уравнения $\sin x=a$ и $\cos x=a$ имеют корни при $\left|a\right|\le 1$ и не имеют решений при $\left|a\right|>1$, тогда множеством значений функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$ является отрезок $\left[-1;1\right]$. Отсюда следует, что эти функции являются ограниченными.  Уравнения $tg x=a$ и $ctg x=a$ имеют решения при любом действительном значении $a$, тогда их множеством значений будет все множество действительных чисел $R$.

Найти область определения функций:

1. $y=cos \sqrt{3-x^2}$;

2. $y=\frac{5}{\sin x+2\cos x}$.

Решение

1) Выражение $cos \sqrt{3-x^2}$ имеет смысл при $3-x^2\ge 0$, т.е. при $x\in \left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$.

2) Выражение  $\frac{5}{\sin x+2\cos x}$ имеет смысл при всех значениях переменной $x$, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль. Решим уравнение $\sin x+2\cos x=0$. Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Разделим обе части уравнения на $\cos x\ne 0$, получим $tg x+2=0$, откуда $x=-arctg 2+\pi n$, $n\in Z$. Значит, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме $x=-arctg 2+\pi n$, $n\in Z$.

Ответ: 1) $\left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$; 2) $x\ne -arctg 2+\pi n$, $n\in Z$.

Найти множество значений функций:

1. $y=5\cos 2x+2$;

2. $y=3si{n}^2 x+4sin x cos x+co{s}^2 x$.

Решение

1) Так как $-1\le \cos 2x\le 1$, то $-5\le 5\cos 2x\le 5$, откуда $-3\le 5\cos 2x+2\le 7$, функция $y=5\cos 2x+2$ принимает все значения из $\left[-3;7\right]$, значит, множество значений этой функции - $\left[-3;7\right]$. 

2) Выясним, при каких значениях $a$ уравнение $3si{n}^{2}x+4sin x cos x+co{s}^{2}x=a$ имеет смысл. Представим 1 по основному тригонометрическому тождеству и умножим ее на $a$:

$3si{n}^{2}x+4sin x cos x+co{s}^{2}x=a\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)$,

$\left(3-a\right)si{n}^{2}x+4sin x cos x+\left(1-a\right)co{s}^{2}x=0$.

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка, разделим обе части уравнения на $co{s}^{2}x\ne 0$, тогда $\left(3-a\right)t{g}^{2}x+4tgx+\left(1-a\right)=0.$

Пусть $tg x=t$, имеем $\left(3-a\right)t^2+4t+\left(1-a\right)=0$. Это уравнение имеет решение, когда дискриминант неотрицательный. 

$D_1=4-\left(3-a\right)\left(1-a\right)\ge 0$,

$a^2-4a-1\le 0$,

$a\in \left[2-\sqrt{5}; 2+\sqrt{5}\right]$.

Значит, множеством значений является отрезок $\left[2-\sqrt{5}; 2+\sqrt{5}\right]$.

Ответ: 1) $\left[-3;7\right]$; 2) $\left[2-\sqrt{5}; 2+\sqrt{5}\right]$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=\sqrt{2}\sin x+\cos x$.

Решение

Применим метод введения вспомогательного аргумента при преобразовании выражения вида $a \sin x+b \cos x$. Умножим и разделим каждый член выражения $\sqrt{2}\sin x+\cos x$ на $\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+1^2}=\sqrt{3}$, получим 

$\sqrt{2}\sin x+\cos x=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{3}}\cos x\right)=\sqrt{3}\sin \left(x+\phi \right)$, где $\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. Тогда $y=\sqrt{3}\sin \left(x+\phi \right)$.

Так как $-1\le \sin \left(x+\phi \right)\le 1$, то $-\sqrt{3}\le \sqrt{3}\sin \left(x+\phi \right)\le \sqrt{3}$. Значит, наибольшее значение функции равно $\sqrt{3}$, а наименьшее - $-\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$.

1. Найти область определения функций 

а) $y=tg \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$;

б) $y=\frac{4}{3\sin x-\cos x }$.

2. Найти множество значений функций

а) $y=6\sin x-8\cos x$;

б) $y=2{\cos }^2\frac{x}{2}-1$.

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функций

а) $y=5\sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}$;

б) $y=2\sin x+\cos x$.