Область определения и множество значений тригонометрических функций

План урока

Область определения и множество значений тригонометрических функций;
Решение задач на нахождения области определения, множества значений тригонометрических функций, их наибольшего и наименьшего значений.

Цели урока

Знать какие функции называются тригонометрическими, определение области определения и множества значений функции, в том числе и тригонометрических функций;
Уметь находить область определения, множество значений тригонометрических функций, наибольшее и наименьшее значения тригонометрических функций.

Разминка

В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки $А (1; 0)$ на угол $α$ радиан, если: а) $α = 1, 5$ ; б) $α = - 3, 4$ ; в) $α = 4$ ; г) $α = - 2, 7$ .
Определить знак числа: а) $\cos 2, 6$ ; б) $\sin 3, 2$ ; в) $t g 4$ ; г) $\sin (- 5)$ .
Можно ли на единичной окружности изобразить точку с координатами: а) $(\cos 1; \sin 1)$ ; б) $(\cos (- 15); \sin (- 15))$ .
Может ли синус аргумента принимать значение, равное нулю? Большее 1? Меньшее -1?

Из курса алгебры нам известно, что функцией называют зависимость переменной $y$ от переменной $x$ , при которой каждому значению переменной $x$ соответствует единственное значение переменной $y$ .

Если повернуть точку (1;0) на угол $x$ радиан вокруг начала координат $(x \in R)$ , то каждому числу $x$ будет соответствовать единственная точка единичной окружности. А так как у каждой точки есть координаты $(\cos x; \sin x)$ , то каждому действительному $x$ соответствуют числа $\cos x$ и $\sin x$ , т.е. на множестве действительных чисел $R$ определены функции $y = \cos x$ и $y = \sin x$ .

Областью определения функции $y = f (x)$ называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент $x$ . Обозначается $D (y) .$

Множеством значений функции $y = f (x)$ называется множество всех значений, которые может принимать переменная $y$ . Обозначается $E (y) .$

Область определения и множество значений тригонометрических функций

Функции $y = \sin x$ , $y = \cos x$ , $y = t g x$ , $y = c t g x$ называются тригонометрическими функциями.

Исходя из описанного выше, областью определения функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является множество $R$ действительных чисел. По определению, тангенс угла – отношение синуса угла к его косинусу, котангенс – отношение косинуса угла к его синусу, тогда для нахождения области определения функций $y = t g x$ и $y = c t g x$ нужно исключить те точки, в которых знаменатели дробей будут равны нулю, т.е.

$\sin x \neq 0$ , $x \neq π n$ , $n \in Z$ , $\cos x \neq 0$ , $x \neq \frac{π}{2} + π n$ , $n \in Z$ .

Уравнения $\sin x = a$ и $\cos x = a$ имеют корни при $|a| \leq 1$ и не имеют решений при $|a| > 1$ , тогда множеством значений функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является отрезок $[- 1; 1]$ . Отсюда следует, что эти функции являются ограниченными. Уравнения $t g x = a$ и $c t g x = a$ имеют решения при любом действительном значении $a$ , тогда их множеством значений будет все множество действительных чисел $R$ .

Функция	Область определения	Множество значений
$y = \sin x$	$R$	[-1;1]
$y = \cos x$	$R$	[-1;1]
$y = t g x$	$x \neq \frac{π}{2} + π n$ , $n \in Z$	$R$
$y = c t g x$	$x \neq π n$ , $n \in Z$	$R$

Пример 1

Найти область определения функций:

1. $y = c o s \sqrt{3 - x^{2}}$ ;

2. $y = \frac{5}{\sin x + 2 \cos x}$ .

Решение

1) Выражение $c o s \sqrt{3 - x^{2}}$ имеет смысл при $3 - x^{2} \geq 0$ , т.е. при $x \in [- \sqrt{3}; \sqrt{3}]$ .

2) Выражение $\frac{5}{\sin x + 2 \cos x}$ имеет смысл при всех значениях переменной $x$ , кроме тех, что обращают знаменатель в нуль. Решим уравнение $\sin x + 2 \cos x = 0$ . Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Разделим обе части уравнения на $\cos x \neq 0$ , получим $t g x + 2 = 0$ , откуда $x = - a r c t g 2 + π n$ , $n \in Z$ . Значит, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме $x = - a r c t g 2 + π n$ , $n \in Z$ .

Ответ: 1) $[- \sqrt{3}; \sqrt{3}]$ ; 2) $x \neq - a r c t g 2 + π n$ , $n \in Z$ .

Пример 2

Найти множество значений функций:

1. $y = 5 \cos 2 x + 2$ ;

2. $y = 3 s i n^{2} x + 4 s i n x c o s x + c o s^{2} x$ .

Решение

1) Так как $- 1 \leq \cos 2 x \leq 1$ , то $- 5 \leq 5 \cos 2 x \leq 5$ , откуда $- 3 \leq 5 \cos 2 x + 2 \leq 7$ , функция $y = 5 \cos 2 x + 2$ принимает все значения из $[- 3; 7]$ , значит, множество значений этой функции - $[- 3; 7]$ .

2) Выясним, при каких значениях $a$ уравнение $3 s i n^{2} x + 4 s i n x c o s x + c o s^{2} x = a$ имеет смысл. Представим 1 по основному тригонометрическому тождеству и умножим ее на $a$ :

$3 s i n^{2} x + 4 s i n x c o s x + c o s^{2} x = a (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$ ,

$(3 - a) s i n^{2} x + 4 s i n x c o s x + (1 - a) c o s^{2} x = 0$ .

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка, разделим обе части уравнения на $c o s^{2} x \neq 0$ , тогда $(3 - a) t g^{2} x + 4 t g x + (1 - a) = 0 .$

Пусть $t g x = t$ , имеем $(3 - a) t^{2} + 4 t + (1 - a) = 0$ . Это уравнение имеет решение, когда дискриминант неотрицательный.

$D_{1} = 4 - (3 - a) (1 - a) \geq 0$ ,

$a^{2} - 4 a - 1 \leq 0$ ,

$a \in [2 - \sqrt{5}; 2 + \sqrt{5}]$ .

Значит, множеством значений является отрезок $[2 - \sqrt{5}; 2 + \sqrt{5}]$ .

Ответ: 1) $[- 3; 7]$ ; 2) $[2 - \sqrt{5}; 2 + \sqrt{5}]$ .

Пример 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt{2} \sin x + \cos x$ .

Решение

Применим метод введения вспомогательного аргумента при преобразовании выражения вида $a \sin x + b \cos x$ . Умножим и разделим каждый член выражения $\sqrt{2} \sin x + \cos x$ на $\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$ , получим

$\sqrt{2} \sin x + \cos x = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos x) = \sqrt{3} \sin (x + φ)$ , где $\sin φ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ , $\cos φ = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ . Тогда $y = \sqrt{3} \sin (x + φ)$ .

Так как $- 1 \leq \sin (x + φ) \leq 1$ , то $- \sqrt{3} \leq \sqrt{3} \sin (x + φ) \leq \sqrt{3}$ . Значит, наибольшее значение функции равно $\sqrt{3}$ , а наименьшее - $- \sqrt{3}$ .

Ответ: $\sqrt{3}$ , $- \sqrt{3}$ .

Упражнение 1

1. Найти область определения функций

а) $y = t g (x - \frac{π}{4})$ ;

б) $y = \frac{4}{3 \sin x - \cos x}$ .

2. Найти множество значений функций

а) $y = 6 \sin x - 8 \cos x$ ;

б) $y = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1$ .

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функций

а) $y = 5 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3}$ ;

б) $y = 2 \sin x + \cos x$ .

Контрольные вопросы

Что называют областью определения функции? Областью значений функции?
Как найти область определения функции, имеющей вид тангенса от некоторого аргумента? Котангенса от некоторого аргумента?

Ответы

Упражнение 1

а) $x \neq \frac{3 π}{4} + π n$ , $n \in Z$ ; б) $x \neq a r c t g \frac{1}{3} + π k$ , $k \in Z$ .
а) $[- 10; 10]$ ; б) $[- 1; 1]$ .
а) -2,5; 2,5; б) $- \sqrt{5}; \sqrt{5}$ .

Конспект урока: Область определения и множество значений тригонометрических функций

Тригонометрия

Область определения и множество значений тригонометрических функций