- Область определения и множество значений тригонометрических функций;
- Решение задач на нахождения области определения, множества значений тригонометрических функций, их наибольшего и наименьшего значений.
- Знать какие функции называются тригонометрическими, определение области определения и множества значений функции, в том числе и тригонометрических функций;
- Уметь находить область определения, множество значений тригонометрических функций, наибольшее и наименьшее значения тригонометрических функций.
- В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки на угол радиан, если: а) ; б) ; в) ; г) .
- Определить знак числа: а) ; б) ; в) ; г) .
- Можно ли на единичной окружности изобразить точку с координатами: а) ; б) .
- Может ли синус аргумента принимать значение, равное нулю? Большее 1? Меньшее -1?
Из курса алгебры нам известно, что функцией называют зависимость переменной от переменной , при которой каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной .
Если повернуть точку (1;0) на угол радиан вокруг начала координат , то каждому числу будет соответствовать единственная точка единичной окружности. А так как у каждой точки есть координаты , то каждому действительному соответствуют числа и , т.е. на множестве действительных чисел определены функции и .
Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент . Обозначается
Множеством значений функции называется множество всех значений, которые может принимать переменная . Обозначается
Область определения и множество значений тригонометрических функций
Функции , , , называются тригонометрическими функциями.
Исходя из описанного выше, областью определения функций и является множество действительных чисел. По определению, тангенс угла – отношение синуса угла к его косинусу, котангенс – отношение косинуса угла к его синусу, тогда для нахождения области определения функций и нужно исключить те точки, в которых знаменатели дробей будут равны нулю, т.е.
, , , , , .
Уравнения и имеют корни при и не имеют решений при , тогда множеством значений функций и является отрезок . Отсюда следует, что эти функции являются ограниченными. Уравнения и имеют решения при любом действительном значении , тогда их множеством значений будет все множество действительных чисел .
Функция
|
Область определения
|
Множество значений
|
|
|
[-1;1]
|
|
|
[-1;1]
|
|
,
|
|
|
,
|
|
Пример 1
Найти область определения функций:
1. ;
2. .
Решение
1) Выражение имеет смысл при , т.е. при .
2) Выражение имеет смысл при всех значениях переменной , кроме тех, что обращают знаменатель в нуль. Решим уравнение . Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Разделим обе части уравнения на , получим , откуда , . Значит, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме , .
Ответ: 1) ; 2) , .
Пример 2
Найти множество значений функций:
1. ;
2. .
Решение
1) Так как , то , откуда , функция принимает все значения из , значит, множество значений этой функции - .
2) Выясним, при каких значениях уравнение имеет смысл. Представим 1 по основному тригонометрическому тождеству и умножим ее на :
,
.
Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка, разделим обе части уравнения на , тогда
Пусть , имеем . Это уравнение имеет решение, когда дискриминант неотрицательный.
,
,
.
Значит, множеством значений является отрезок .
Ответ: 1) ; 2) .
Пример 3
Найти наибольшее и наименьшее значения функции .
Решение
Применим метод введения вспомогательного аргумента при преобразовании выражения вида . Умножим и разделим каждый член выражения на , получим
, где , . Тогда .
Так как , то . Значит, наибольшее значение функции равно , а наименьшее - .
Ответ: , .
Упражнение 1
1. Найти область определения функций
а) ;
б) .
2. Найти множество значений функций
а) ;
б) .
3. Найти наименьшее и наибольшее значения функций
а) ;
б) .
Контрольные вопросы
- Что называют областью определения функции? Областью значений функции?
- Как найти область определения функции, имеющей вид тангенса от некоторого аргумента? Котангенса от некоторого аргумента?
Упражнение 1
- а) , ; б) , .
- а) ; б) .
- а) -2,5; 2,5; б) .