Конспект урока: А.А. Ахматова. Тема родины в лирике А.А. Ахматовой

Свойства функции y=tg x и ее график. Свойства функции y=ctg x и ее график

План урока

Построение графика функции $y = t g x$ ;
Свойства функции $y = t g x$ ;
Применение свойств функции $y = t g x$ при решении задач;
Построение графика функции $y = c t g x$ ;
Свойства функции $y = c t g x$ ;
Применение свойств функции $y = c t g x$ при решении задач.

Цели урока

Знать свойства функции $y = t g x$ ;
Уметь строить график функции $y = t g x$ ;
Уметь находить по графику промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения функции;
Знать свойства функции $y = c t g x$ ;
Уметь строить график функции $y = c t g x$ ;
Уметь находить по графику промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения функции.

Разминка

Определение возрастающей функции, убывающей функции.
Определение четной, нечетной функции. Что можно сказать про графики четной, нечетной функции?
Какие тригонометрические функции являются четными? Какие нечетными?
Область определения функций $y = t g x$ , $y = c t g x$ .

Построение графика $y = t g x$

Рис. 1. Асимптоты графика функции y=tg x

Ранее было установлено, что функция $y = t g x$ определена на множестве всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \frac{π}{2} + π n$ , $n \in Z$ , т.е. на графике нет точек, принадлежащих прямым $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{3 π}{2}$ , $x = \frac{5 π}{2}$ , $x = - \frac{π}{2}$ и т.д. Обозначим эти прямые пунктирной линией (рис. 1).

Рис. 2. График функции y=tg x на промежутке [0;π/2)

Очевидно, график функции $y = t g x$ состоит из бесконечного количества ветвей, расположенных в полосах между $x = - \frac{3 π}{2}$ и $x = - \frac{π}{2}$ , $x = - \frac{π}{2}$ и $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ и $x = \frac{3 π}{2}$ и т.д.

Эти прямые являются вертикальными асимптотами графика.

Выясним, возрастающей или убывающей является функция $y = t g x$ . Возьмем $x_{1}$ и $x_{2}$ из $[0; \frac{π}{2})$ , причем $x_{1} < x_{2}$ , т.е. $0 \leq x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2}$ . Сравним $t g x_{1}$ и $t g x_{2}$ .

$t g x_{1} = \frac{\sin x_{1}}{c o s x_{1}}$ , $t g x_{2} = \frac{\sin x_{2}}{c o s x_{2}}$ .

Так как $0 \leq x_{1} < x_{2} < \frac{π}{2}$ , то $s i n x_{1} < s i n x_{2}$ (функция $y = \sin x$ на $[0; \frac{π}{2}]$ возрастает), а $c o s x_{1} > c o s x_{2} > 0$ (функция $y = \cos x$ на $[0; \frac{π}{2}]$ убывает и положительна), но тогда $\frac{1}{c o s x_{1}} < \frac{1}{c o s x_{2}}$ . Получили, что $\frac{\sin x_{1}}{c o s x_{1}} < \frac{\sin x_{2}}{c o s x_{2}}$ , значит, функция $y = t g x$ возрастает на $[0; \frac{π}{2})$ .

Для построения графика возьмем несколько точек из $[0; \frac{π}{2})$ и найдем значения функции в этих точках, нанесем их в координатной плоскости (рис. 2).

Таблица 1. Некоторые значения функции $y = t g x$

$x$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$
$t g x$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$

Рис. 3. График функции y=tg x на промежутке (-π/2;π/2)

Мы знаем, что функция $y = t g x$ нечетная. Отобразим полученный график симметрично относительно начала координат, тем самым получим график на промежутке $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ (рис. 3).

Рис. 4. График функции y=tg x

Кроме того, функция $y = t g x$ периодическая с периодом $T = π$ . Будем сдвигать построенную ветвь по оси $O x$ влево и вправо на $π$ , $2 π$ , $3 π$ и т.д., таким образом построим график на всей области определения (рис. 4).

График функции $y = t g x$ называют тангенсоидой. Ту часть, которая изображена на рис. 3 – главной ветвью тангенсоиды.

Свойства функции $y = t g x$

1. Область определения – множество $R$ всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \frac{π}{2} + π n$ , $n \in Z$ .

2. Множество значений – множество $R$ всех действительных чисел.

3. Периодическая с $T = π$ .

4. Нечетная.

5. 1) $y = 0$ при $x = π n$ , $n \in Z$ ;

2) $y > 0$ на $(π n; \frac{π}{2} + π n)$ , $n \in Z$ ;

3) $y < 0$ на $(- \frac{π}{2} + π n; π n)$ , $n \in Z$ .

6. Функция возрастает на $(- \frac{π}{2} + π n; \frac{π}{2} + π n)$ , $n \in Z$ .

Пример 1

С помощью графика функции $y = t g x$ найти корни уравнения $t g x = \sqrt{3}$ , принадлежащие отрезку $[- 2 π; \frac{π}{2}]$ .

Решение

Рис. 5. Графическое решение уравнения tg x=√3

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = t g x$ и $y = \sqrt{3}$ . На $[- 2 π; \frac{π}{2}]$ графики функций пересекаются в трех точках (рис. 5) с абсциссами $x_{1} = a r c t g \sqrt{3} = \frac{π}{3}$ , $x_{2} = - π + a r c t g \sqrt{3} = - \frac{2 π}{3}$ , $x_{3} = - 2 π + a r c t g \sqrt{3} = - \frac{5 π}{3}$ .

Ответ: $- \frac{5 π}{3}; - \frac{2 π}{3}; \frac{π}{3}$ .

Пример 2

С помощью графика функции $y = t g x$ найти все решения неравенства $t g x \leq \sqrt{3},$ принадлежащие отрезку $[- \frac{3 π}{2}; π]$ .

Решение

Рис. 6. Графическое решение неравенства tg x≤√3

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = t g x$ и $y = \sqrt{3}$ . На $[- \frac{3 π}{2}; π]$ графики функций пересекаются в двух точках (рис. 6) с абсциссами $x_{1} = \frac{π}{3}$ , $x_{2} = - \frac{2 π}{3}$ . При этом график функции $y = t g x$ лежит не выше прямой $y = \sqrt{3}$ при $- \frac{3 π}{2} < x \leq x_{2},$ $- \frac{π}{2} < x \leq x_{1},$ $\frac{π}{2} < x \leq π .$ Тогда решениями неравенства $t g x \leq \sqrt{3}$ в $[- \frac{3 π}{2}; π]$ являются $- \frac{3 π}{2} < x \leq - \frac{2 π}{3}$ , $- \frac{π}{2} < x \leq \frac{π}{3}$ , $\frac{π}{2} < x \leq π .$

Ответ: $(- \frac{3 π}{2}; - \frac{2 π}{3}] \cup (- \frac{π}{2}; \frac{π}{3}]$ $\cup (\frac{π}{2}; π)$ .

Упражнение 1

С помощью графика функции $y = t g x$ найти корни уравнения $t g x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , принадлежащие промежутку $[- π; π]$ .
С помощью графика функции $y = t g x$ найти все решения неравенства $t g x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$ , принадлежащие промежутку $[0; 2 π]$ .

Построение графика $y = c t g x$

Пример 3

Построить график функции $y = - t g (x + \frac{π}{2})$ .

Решение

y = tg (x + π/2) на
промежутке (– π/2; π/2)" loading="lazy" /> Рис. 7. График функции
y = tg (x + π/2) на
промежутке (– π/2; π/2)

Пусть дана главная ветвь тангенсоиды $y = t g x$ (рис. 3). Сдвинем ее по оси $O x$ на $\frac{π}{2}$ влево (рис. 7).

y = – tg (x + π/2) на промежутке (– π/2; π/2)" loading="lazy" /> Рис. 8. График функции
y = – tg (x + π/2) на промежутке (– π/2; π/2)

Полученную ветвь отобразим симметрично относительно оси $O x$ (рис. 8).

Рис. 9. График функции y=ctg x

Так как функция периодическая с периодом $T = π$ , то построим график функции $y = - t g (x + \frac{π}{2})$ на всей области определения (рис. 9).

Неслучайно график построенной функции подписан как $y = c t g x$ , т.к. $- t g (x + \frac{π}{2}) = - \frac{\sin (x + \frac{π}{2})}{\cos (x + \frac{π}{2})} = - \frac{\cos x}{- \sin x} = c t g x$ .

График функции $y = c t g x$ также называется тангенсоидой. Главной ветвью считается ветвь в полосе от $x = 0$ до $x = π$ .

Свойства функции $y = c t g x$

1. Область определения – множество $R$ всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = π n$ , $n \in Z$ .

2. Множество значений – множество $R$ всех действительных чисел.

3. Периодическая с $T = π$ .

4. Нечетная.

5. 1) $y = 0$ при $x = \frac{π}{2} + π n$ , $n \in Z$ ;

2) $y > 0$ на $(π n; \frac{π}{2} + π n)$ , $n \in Z$ ;

3) $y < 0$ на $(- \frac{π}{2} + π n; π n)$ , $n \in Z$ .

6. Функция убывает на $(π n; π + π n)$ , $n \in Z$ .

Пример 4

С помощью графика функции $y = c t g x$ найти корни уравнения $c t g x = - 1$ , принадлежащие отрезку $[0; 2 π]$ .

Решение

Рис. 10. Графическое решение уравнения ctg x=-1

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = c t g x$ и $y = - 1$ . На $[0; 2 π]$ графики функций пересекаются в двух точках (рис. 10) с абсциссами $x_{1} = a r c c t g (- 1) =$

$= π - a r c c t g 1 = \frac{3 π}{4}$ ,

$x_{2} = 2 π - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4}$ .

Ответ: $\frac{3 π}{4}; \frac{7 π}{4}$ .

Пример 5

С помощью графика функции $y = c t g x$ найти все решения неравенства $c t g x < - 1$ , принадлежащие отрезку $[- \frac{π}{2}; 2 π]$ .

Решение

Рис. 11. Графическое решение неравенства ctg x<-1

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = c t g x$ и $y = - 1$ . На $[- \frac{π}{2}; 2 π]$ графики функций пересекаются в трех точках (рис. 11) с абсциссами $x_{1} = - \frac{π}{4}$ , $x_{2} = \frac{3 π}{4}$ , $x_{3} = \frac{7 π}{4}$ . При этом график функции $y = c t g x$ лежит ниже прямой $y = - 1$ при $x_{1} < x < 0$ , $x_{2} < x < π$ , $x_{3} < x < 2 π$ . Тогда решениями неравенства $c t g x < - 1$ в $[- \frac{π}{2}; 2 π]$ являются $- \frac{π}{4} < x < 0$ , $\frac{3 π}{4} < x < π$ , $\frac{7 π}{4} < x < 2 π$ .

Ответ: $(- \frac{π}{4}; 0) \cup (\frac{3 π}{4}; π) \cup (\frac{7 π}{4}; 2 π)$ .

Упражнение 2

С помощью графика функции $y = c t g x$ найти корни уравнения $c t g x = 1$ , принадлежащие промежутку $[- 2 π; 0]$ .
С помощью графика функции $y = c t g x$ найти все решения неравенства $c t g x \leq 1$ , принадлежащие промежутку $(- π; \frac{3 π}{2}]$ .

Контрольные вопросы

Четными или нечетными являются функции $y = t g x$ и $y = c t g x$ ?
Назовите вертикальные асимптоты графика функции $y = t g x$ .
Назовите вертикальные асимптоты графика функции $y = c t g x$ .
Какой основной период функций $y = t g (2 x)$ , $y = c t g \frac{x}{2}$ ?

Ответы

Упражнение 1

1. $- \frac{5 π}{6}; \frac{π}{6}$ .

2. $[\frac{π}{6}; \frac{π}{2}) \cup [\frac{7 π}{6}; \frac{3 π}{2})$ .

Упражнение 2

1. $- \frac{7 π}{4}; - \frac{3 π}{4}$ .

2. $[- \frac{3 π}{4}; 0) \cup [\frac{π}{4}; π) \cup [\frac{5 π}{4}; \frac{3 π}{2}]$ .

Свойства функции y=tg x и ее график. Свойства функции y=ctg x и ее график

План урока

Построение графика функции $y = t g x$ ;
Свойства функции $y = t g x$ ;
Применение свойств функции $y = t g x$ при решении задач;
Построение графика функции $y = c t g x$ ;
Свойства функции $y = c t g x$ ;
Применение свойств функции $y = c t g x$ при решении задач.

Цели урока

Знать свойства функции $y = t g x$ ;
Уметь строить график функции $y = t g x$ ;
Уметь находить по графику промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения функции;
Знать свойства функции $y = c t g x$ ;
Уметь строить график функции $y = c t g x$ ;
Уметь находить по графику промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения функции.

Разминка

Определение возрастающей функции, убывающей функции.
Определение четной, нечетной функции. Что можно сказать про графики четной, нечетной функции?
Какие тригонометрические функции являются четными? Какие нечетными?
Область определения функций $y = t g x$ , $y = c t g x$ .

Построение графика $y = t g x$

Рис. 1. Асимптоты графика функции y=tg x

Рис. 2. График функции y=tg x на промежутке [0;π/2)

Эти прямые являются вертикальными асимптотами графика.

$t g x_{1} = \frac{\sin x_{1}}{c o s x_{1}}$ , $t g x_{2} = \frac{\sin x_{2}}{c o s x_{2}}$ .

Таблица 1. Некоторые значения функции $y = t g x$

$x$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$
$t g x$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$

Рис. 3. График функции y=tg x на промежутке (-π/2;π/2)

Рис. 4. График функции y=tg x

Свойства функции $y = t g x$

1. Область определения – множество $R$ всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \frac{π}{2} + π n$ , $n \in Z$ .

2. Множество значений – множество $R$ всех действительных чисел.

3. Периодическая с $T = π$ .

4. Нечетная.

5. 1) $y = 0$ при $x = π n$ , $n \in Z$ ;

2) $y > 0$ на $(π n; \frac{π}{2} + π n)$ , $n \in Z$ ;

3) $y < 0$ на $(- \frac{π}{2} + π n; π n)$ , $n \in Z$ .

6. Функция возрастает на $(- \frac{π}{2} + π n; \frac{π}{2} + π n)$ , $n \in Z$ .

Пример 1

С помощью графика функции $y = t g x$ найти корни уравнения $t g x = \sqrt{3}$ , принадлежащие отрезку $[- 2 π; \frac{π}{2}]$ .

Решение

Рис. 5. Графическое решение уравнения tg x=√3

Ответ: $- \frac{5 π}{3}; - \frac{2 π}{3}; \frac{π}{3}$ .

Пример 2

Решение

Рис. 6. Графическое решение неравенства tg x≤√3

Ответ: $(- \frac{3 π}{2}; - \frac{2 π}{3}] \cup (- \frac{π}{2}; \frac{π}{3}]$ $\cup (\frac{π}{2}; π)$ .

Упражнение 1

С помощью графика функции $y = t g x$ найти корни уравнения $t g x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , принадлежащие промежутку $[- π; π]$ .
С помощью графика функции $y = t g x$ найти все решения неравенства $t g x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$ , принадлежащие промежутку $[0; 2 π]$ .

Построение графика $y = c t g x$

Пример 3

Построить график функции $y = - t g (x + \frac{π}{2})$ .

Решение

y = tg (x + π/2) на
промежутке (– π/2; π/2)" loading="lazy" /> Рис. 7. График функции
y = tg (x + π/2) на
промежутке (– π/2; π/2)

Пусть дана главная ветвь тангенсоиды $y = t g x$ (рис. 3). Сдвинем ее по оси $O x$ на $\frac{π}{2}$ влево (рис. 7).

y = – tg (x + π/2) на промежутке (– π/2; π/2)" loading="lazy" /> Рис. 8. График функции
y = – tg (x + π/2) на промежутке (– π/2; π/2)

Полученную ветвь отобразим симметрично относительно оси $O x$ (рис. 8).

Рис. 9. График функции y=ctg x

Свойства функции $y = c t g x$

1. Область определения – множество $R$ всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = π n$ , $n \in Z$ .

2. Множество значений – множество $R$ всех действительных чисел.

3. Периодическая с $T = π$ .

4. Нечетная.

5. 1) $y = 0$ при $x = \frac{π}{2} + π n$ , $n \in Z$ ;

2) $y > 0$ на $(π n; \frac{π}{2} + π n)$ , $n \in Z$ ;

3) $y < 0$ на $(- \frac{π}{2} + π n; π n)$ , $n \in Z$ .

6. Функция убывает на $(π n; π + π n)$ , $n \in Z$ .

Пример 4

С помощью графика функции $y = c t g x$ найти корни уравнения $c t g x = - 1$ , принадлежащие отрезку $[0; 2 π]$ .

Решение

Рис. 10. Графическое решение уравнения ctg x=-1

$= π - a r c c t g 1 = \frac{3 π}{4}$ ,

$x_{2} = 2 π - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4}$ .

Ответ: $\frac{3 π}{4}; \frac{7 π}{4}$ .

Пример 5

Решение

Рис. 11. Графическое решение неравенства ctg x<-1

Ответ: $(- \frac{π}{4}; 0) \cup (\frac{3 π}{4}; π) \cup (\frac{7 π}{4}; 2 π)$ .

Упражнение 2

С помощью графика функции $y = c t g x$ найти корни уравнения $c t g x = 1$ , принадлежащие промежутку $[- 2 π; 0]$ .
С помощью графика функции $y = c t g x$ найти все решения неравенства $c t g x \leq 1$ , принадлежащие промежутку $(- π; \frac{3 π}{2}]$ .

Контрольные вопросы

Четными или нечетными являются функции $y = t g x$ и $y = c t g x$ ?
Назовите вертикальные асимптоты графика функции $y = t g x$ .
Назовите вертикальные асимптоты графика функции $y = c t g x$ .
Какой основной период функций $y = t g (2 x)$ , $y = c t g \frac{x}{2}$ ?

Ответы

Упражнение 1

1. $- \frac{5 π}{6}; \frac{π}{6}$ .

2. $[\frac{π}{6}; \frac{π}{2}) \cup [\frac{7 π}{6}; \frac{3 π}{2})$ .

Упражнение 2

1. $- \frac{7 π}{4}; - \frac{3 π}{4}$ .

2. $[- \frac{3 π}{4}; 0) \cup [\frac{π}{4}; π) \cup [\frac{5 π}{4}; \frac{3 π}{2}]$ .

Конспект урока: Свойства функции y=cos x и ее график. Свойства функции y=sin x и ее график. Свойства функции y=tg x и ее график

Тригонометрия

Построение графика $y = t g x$

Свойства функции $y = t g x$

Построение графика $y = c t g x$

Свойства функции $y = c t g x$

Построение графика $y = t g x$

Свойства функции $y = t g x$

Построение графика $y = c t g x$

Свойства функции $y = c t g x$

Конспект урока: Свойства функции y=cos x и ее график. Свойства функции y=sin x и ее график. Свойства функции y=tg x и ее график

Тригонометрия

Построение графика y=tg x

Свойства функции y=tg x

Построение графика y=ctg x

Свойства функции y=ctg x

Построение графика y=tg x

Свойства функции y=tg x

Построение графика y=ctg x

Свойства функции y=ctg x

Построение графика $y = t g x$

Свойства функции $y = t g x$

Построение графика $y = c t g x$

Свойства функции $y = c t g x$

Построение графика $y = t g x$

Свойства функции $y = t g x$

Построение графика $y = c t g x$

Свойства функции $y = c t g x$