Конспект урока: Свойства функции y=cos x и ее график. Свойства функции y=sin x и ее график. Свойства функции y=tg x и ее график

План урока

• Построение графика функции $y=\sin x$;
• Свойства функции $y=\sin x$;
• Применение свойств функции $y=\sin x$ при решении задач.

Цели урока

• Знать свойства функции $y=\sin x$;
• Уметь строить график функции $y=\sin x$;
• Уметь находить по графику промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения функции.

Разминка

Рис. 1. Сдвиг графика функции y=x² (красный) вдоль оси Ox

1. Задать аналитически функцию, график которой получен из данного графика сдвигом вдоль оси $Ox$ (рис. 1, рис. 2).

Рис. 2. Сдвиг графика функции y=2/x²  (зеленый) вдоль оси Ox

2. Изобразить график функции $y=f(x+k)$, если дан график функции $y=f\left(x\right)$: 

1) $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2$, $k=\pm 2$;

2) $f\left(x\right)=\cos x$, $k=-\frac{\pi }{2}$.

Построение графика $y=\sin x$

Рис. 3. Сдвиг графика функции y=cos ⁡x вдоль оси Ox вправо на π/2

Ранее было установлено, что функция $y=\sin x$ определена на всей числовой прямой и ее множество значений $[-1;1]$, кроме того, она периодическая с периодом $T=2\pi$, нечетная. Чтобы построить график функции $y=\sin x$ можно пойти тем же путем, что и в предыдущем параграфе, т.е. построить его на каком-то отрезке, например, $[0;\pi ]$, и с помощью нечетности отображать его относительно начала координат, периодичности – сдвинуть выбранный отрезок на $2\pi n$, $n\in Z$, ограничить его прямыми $y=1$ и $y=-1$. А можно пойти другим путем и воспользоваться формулой приведения $\sin x=\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$, что означает, что график функции $y=\sin x$ можно получить из графика функции $y=\cos x$ сдвигом на $\frac{\pi }{2}$ вправо относительно оси $Ox$ (рис. 3).

Рис. 4. График функции y=sin⁡ x

На рис. 4 изображен график функции $y=\sin x$, он называется синусоидой.

Из того, что график функции $y=\sin x$ можно получить сдвигом графика функции $y=\cos x$, то свойства $y=\sin x$ можно получить из свойств функции $y=\cos x$.

Свойства функции $y=\sin x$

1. Область определения – множество $R$ всех действительных чисел.

2. Множество значений - $[-1;1]$.

3. Периодическая с $T=2\pi$.

4. Нечетная.

5. 1) $y=0$ при $x=\pi n$, $n\in Z$; 

2) $y_{наиб}=1$ при $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$, $n\in Z$; 

3) $y_{наим}=-1$ при $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$, $n\in Z$; 

4) $y>0$ на $\left(0;\pi \right)$ и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на $2\pi n,$ $n\in Z;$

5) $y<0$ на $\left(\pi ;2\pi \right)$ и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на $2\pi n,$ $n\in Z.$

6. Функция возрастает на $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на $2\pi n$, $n\in Z$.

7. Функция убывает на  $\left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка  на $2\pi n$, $n\in Z$.

С помощью графика функции $y=\sin x$ найти корни уравнения $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$.

Решение

Рис. 5. Графическое решение уравнения sin⁡ x=√2/2

В одной и той же системе координат построим графики функций $y=\sin x$ и $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (рис. 5). На $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ графики функций пересекаются в двух точках $x_1=arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$, $x_2=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$. 

 

Ответ: $\frac{\pi }{4}; \frac{3\pi }{4}$.

С помощью графика функции $y=\sin x$ найти все решения неравенства $\sin x\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$, принадлежащие отрезку  $\left[-2\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$.

Решение

По рис. 5 видно, что график функции $y=\sin x$ лежит не ниже прямой $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ при всех $x$ из отрезков $\left[-\frac{7\pi }{4};-\frac{5\mathrm{\pi }}{4}\right]$, $\left[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right]$. Эти отрезки и будут решениями данного неравенства на $\left[-2\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$.

Ответ: $\left[-\frac{7\pi }{4};-\frac{5\pi }{4}\right]\cup \left[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right]$.

1. С помощью графика функции $y=\sin x$ и его сдвига относительно одной из осей координат найти корни уравнения $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$.
2. С помощью графика функции $y=\sin x$ найти решения неравенства $\sin x\le -\frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi ;2\pi \right]$.

Сравнить числа:

1) $\sin \left(-\frac{\pi }{15}\right)$ и $\sin \left(-\frac{\pi }{11}\right)$;

2) $\cos \frac{13\pi }{8}$ и $\sin \frac{4\pi }{5}$.

Решение

1. $-\frac{\pi }{15}$ и $-\frac{\pi }{11}$ лежат в отрезке $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, на котором функция $y=\sin x$ возрастает, и  $-\frac{\pi }{15}>-\frac{\pi }{11}$, тогда $\sin \left(-\frac{\pi }{15}\right)>\sin \left(-\frac{\pi }{11}\right)$.

2. Воспользуемся формулами приведения 

$\sin \frac{4\pi }{5}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{5}\right)=\sin \frac{\pi }{5}$; 

$\cos \frac{13\pi }{8}=\cos \left(\frac{12\pi }{8}+\frac{\pi }{8}\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{8}\right)=\sin \frac{\pi }{8}$. 

$\frac{\pi }{5}$ и $\frac{\pi }{8}$ лежат в отрезке $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, на котором функция $y=\sin x$ возрастает и $\frac{\pi }{5}>\frac{\pi }{8}$, тогда $\sin \frac{4\pi }{5}>\cos \frac{13\pi }{8}$.

Ответ: 1) $\sin \left(-\frac{\pi }{15}\right)>\sin \left(-\frac{\pi }{11}\right)$; 2) $\sin \frac{4\pi }{5}>\cos \frac{13\pi }{8}$.

Сравнить числа:

1) $\sin \frac{4\pi }{9}$ и $\cos \frac{17\pi }{11}$;

2) $\cos (-6)$ и $\sin (-0,5)$; 

3) $\sin \frac{\pi }{9}$ и $\sin \left(-\frac{9\pi }{8}\right)$.