Обратные тригонометрические функции

План урока

Функция $y = a r c \sin x$
Функция $y = a r c \cos x$
Функция $y = a r c t g x$
Функция $y = a r c c t g x$

Цели урока

Знать какие функции являются обратными тригонометрическими
Знать, как выглядят графики обратных тригонометрических функций
Знать свойства обратных тригонометрических функций
Уметь применять свойства обратных тригонометрических функций при решении задач

Разминка

Определение обратимой функции.
Что можно сказать про графики взаимно обратных функций?
Определения арксинуса числа, арккосинуса числа, арктангенса числа, арккотангенса числа.

Функция $y = a r c s i n x$

На каждом из отрезков $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ , $[\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}]$ , $[\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2}]$ и т.д. функция $y = \sin x$ монотонна и принимает значения из отрезка $[- 1; 1]$ . Тогда по теореме об обратной функции, изученной в 10 классе, на каждом из указанных промежутков функция $y = \sin x$ имеет обратную.

Также ранее было изучено, что для любого $x$ из $[- 1; 1]$ определено одно число $y = a r c \sin x$ , т.е. можно сказать, что на отрезке $[- 1; 1]$ задана функция $y = a r c \sin x$ .

Рис. 1. Симметричность графиков функций

y = arcsin ⁡x и y = sin⁡ x на отрезке [– π/2; π/2]

Покажем, что функции $y = a r c \sin x$ и $y = \sin x$ , где $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ взаимно обратны.

Пусть дано уравнение $\sin x = y$ , где $x$ – переменная, $y$ – число из $[- 1; 1]$ , тогда на $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ это уравнение имеет единственный корень $x = a r c \sin y$ . Меняем местами $x$ и $y$ , тогда $y = a r c \sin x$ . Видим, что функции $y = a r c \sin x$ и $y = \sin x$ взаимно обратные.

График функции $y = a r c \sin x$ симметричен графику $y = \sin x$ , где $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ относительно прямой $y = x$ (Рис. 1).

Свойства функции $y = a r c s i n x$

Область определения – $[- 1; 1]$ .
Множество значений – $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ .
Возрастающая.
Нечетная, $a r c \sin (- x) = - a r c \sin x$ .

Функция $y = a r c c o s x$

Рис. 2. Симметричность графиков функций y = arccos⁡ x
и y = cos⁡ x на [0; π]

На каждом из отрезков $[- π; 0]$ , $[0; π]$ , $[π; 2 π]$ и т.д. функция $y = \cos x$ монотонна и принимает значения из отрезка $[- 1; 1]$ . Тогда по теореме об обратной функции, на каждом из указанных промежутков функция $y = \cos x$ имеет обратную функцию.

Для каждого $x \in [- 1; 1]$ определено одно число $y = a r c \cos x$ , т.е. можно сказать, что на отрезке $[- 1; 1]$ задана функция $y = a r c \cos x$ . Она является обратной для функции $y = \cos x$ , где $x \in [0; π]$ . График функции $y = a r c \cos x$ симметричен графику $y = \cos x$ , $x \in [0; π]$ относительно прямой $y = x$ (Рис. 2).

Свойства функции $y = a r c c o s x$

Область определения – $[- 1; 1]$
Множество значений – $[0; π]$
Убывающая
Не является ни четной, ни нечетной

Функция $y = a r c t g x$

Рис. 3. Симметричность график функций y = arctg x и
y = tg x на промежутке [– π/2; π/2]

На каждом из интервалов $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ , $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ , $(\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2})$ и т.д. функция $y = t g x$ монотонна. Значит, по теореме об обратной функции, на каждом из указанных промежутков функция $y = t g x$ имеет обратную функцию.

Для любого действительного $x$ определено одно число $y = a r c t g x$ , т.е. можно сказать, что на числовой прямой задана функция $y = a r c t g x$ .

Если рассмотреть функцию $y = t g x$ на интервале $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ , то функции $y = a r c t g x$ и $y = t g x$ на нем будут взаимно обратные.

График функции $y = a r c t g x$ симметричен графику $y = t g x$ , где $x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}),$ относительно прямой $y = x$ (Рис. 3).

Свойства функции $y = a r c t g x$

Область определения – множество $R$ всех действительных чисел.
Множество значений – $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$
Возрастающая
Нечетная, $a r c t g (- x) = - a r c t g x$
Непрерывная на области определения

Функция $y = a r c c t g x$

Рис. 4. Симметричность графиков функций y = arcctg x и
y = ctg x на (0; π)

На каждом из интервалов $(- π; 0)$ , $(0; π)$ , $(π; 2 π)$ и т.д. функция $y = c t g x$ монотонна. Значит, по теореме об обратной функции, на каждом из указанных промежутков функция $y = c t g x$ имеет обратную функцию.

Для любого действительного $x$ определено одно число $y = a r c c t g x$ , т.е. можно сказать, что на числовой прямой задана функция $y = a r c c t g x$ .

Если рассмотреть функцию $y = c t g x$ на интервале $(0; π)$ , то функции $y = a r c c t g x$ и $y = c t g x$ на нем будут взаимно обратные.

График функции $y = a r c c t g x$ симметричен графику $y = c t g x$ , где $x \in (0; π),$ относительно прямой $y = x$ (Рис. 4).

Свойства функции $y = a r c c t g x$

Область определения – множество $R$ всех действительных чисел.
Множество значений – $(0; π)$ .
Убывающая.
Не является ни четной, ни нечетной.
Непрерывна на области определения.

Функции $y = a r c \sin x, y = a r c \cos x, y = a r c t g x, y = a r c c t g x$ называются обратными тригонометрическими функциями.

Пример 1

Сравнить числа:

1) $a r c \sin (- \frac{2}{3})$ и $a r c \sin (- \frac{1}{2})$ ;

2) $a r c c t g \frac{1}{7}$ и $a r c c t g \frac{1}{8}$ .

Решение

1. $- \frac{2}{3} \in [- 1; 1]$ , $- \frac{1}{2} \in [- 1; 1]$ и $- \frac{2}{3} < - \frac{1}{2}$ . Функция $y = a r c \sin x$ возрастает, тогда $a r c \sin (- \frac{2}{3}) < a r c \sin (- \frac{1}{2})$ .

2. $\frac{1}{7} > \frac{1}{8}$ . Функция $y = a r c c t g x$ убывает, тогда $a r c c t g \frac{1}{7} < a r c c t g \frac{1}{8}$ .

Ответ: 1) $a r c \sin (- \frac{2}{3}) < a r c \sin (- \frac{1}{2})$ ; 2) $a r c c t g \frac{1}{7} < a r c c t g \frac{1}{8}$ .

Пример 2

Решить уравнение $a r c \cos (3 x + 4) = \frac{2 π}{3}$ .

Решение

$\frac{2 π}{3} \in [0; π]$ , тогда по определению арккосинуса числа исходное уравнение равносильно уравнению

$3 x + 4 = \cos \frac{2 π}{3}$ , $3 x + 4 = - \frac{1}{2}$ , $x = - 1, 5$ .

Ответ: $- 1, 5$ .

Пример 3

Найти область определения функции $y = a r c \sin \frac{x - 2}{3}$ .

Решение

Областью определения функции $y = a r c \sin x$ является отрезок $[- 1; 1]$ , значит и исходная функция определена при тех значениях переменной $x$ , при которых выполняется двойное неравенство $- 1 \leq \frac{x - 2}{3} \leq 1$ .

Перепишем последнее в виде $\{\begin{cases} \frac{x - 2}{3} \geq - 1, \\ \frac{x - 2}{3} \leq 1 . \end{cases}$

Отсюда $\{\begin{cases} x \geq - 1, \\ x \leq 5 . \end{cases}$

Ответ: $- 1 \leq x \leq 5$ .

Упражнение

1. Сравнить числа:

1) $a r c t g 2 \sqrt{6}$ и $a r c t g 6 \sqrt{2}$ ;

2) $a r c \cos (- \frac{1}{\sqrt{5}})$ и $a r c \cos (- \frac{1}{\sqrt{7}})$ .

2. Решить уравнение $a r c \sin 2 x = \frac{π}{4}$ .

3. Найти область определения функции $y = a r c \cos (3 \sqrt{x} - 2)$ .

Контрольные вопросы

1. Как с помощью графика функции $y = \sin x$ построить график функции $y = a r c \sin x$ ?

2. Как с помощью графика функции $y = \cos x$ построить график функции $y = a r c \cos x$ ?

3. Как с помощью графика функции $y = t g x$ построить график функции $y = a r c t g x$ ?

4. Как с помощью графика функции $y = c t g x$ построить график функции $y = a r c c t g x$ ?

5. Какие из чисел $- \frac{1}{3}$ , $0$ , $- 2$ , $\sqrt{3}$ принадлежат области определения функции $y = a r c \sin x$ ?

6. Какие из чисел $- 3$ , $\frac{3}{2}$ , $1$ , $\frac{\sqrt{6}}{2}$ принадлежат области определения функции $y = a r c \cos x$ ?

7. Какие из чисел $5$ , $0$ , $- \sqrt{2}$ , $\sqrt{7}$ принадлежат области определения функции $y = a r c t g x$ ?

8. Какие из чисел $2 π$ , $1, 3$ , $- 0, 7$ , $\sqrt{14}$ принадлежат области определения функции $y = a r c c t g x$ ?

Ответы

Упражнение 1

1. 1) $a r c t g 2 \sqrt{6} < a r c t g 6 \sqrt{2}$ ; 2) $a r c \cos (- \frac{1}{\sqrt{5}}) > a r c \cos (- \frac{1}{\sqrt{7}})$ .

2. $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

3. $\frac{1}{9} \leq x \leq 1$ .

Конспект урока: Обратные тригонометрические функции

Тригонометрия

Функция $y = a r c s i n x$

Функция $y = a r c c o s x$

Функция $y = a r c t g x$

Функция $y = a r c c t g x$

Конспект урока: Обратные тригонометрические функции

Тригонометрия

Функция y=arcsin x

Функция y=arccos x

Функция y=arctg x

Функция y=arcctg x

Функция $y = a r c s i n x$

Функция $y = a r c c o s x$

Функция $y = a r c t g x$

Функция $y = a r c c t g x$