Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Обратные тригонометрические функции

Тригонометрия

Обратные тригонометрические функции

План урока

  • Функция y=arcsin x
  • Функция y=arccos x
  • Функция y=arctg x
  • Функция y=arcctg x

Цели урока

  • Знать какие функции являются обратными тригонометрическими
  • Знать, как выглядят графики обратных тригонометрических функций
  • Знать свойства обратных тригонометрических функций
  • Уметь применять свойства обратных тригонометрических функций при решении задач

Разминка

  1. Определение обратимой функции.
  2. Что можно сказать про графики взаимно обратных функций. 
  3. Определения арксинуса числа, арккосинуса числа, арктангенса числа, арккотангенса числа. 

Функция y=arcsin x

 

На каждом из отрезков -π2; π2π2; 3π23π2; 5π2 и т.д. функция y=sin x монотонна и принимает значения из отрезка -1;1. Тогда по теореме об обратной функции, изученной в 10 классе, на каждом из указанных промежутков функция y=sin x имеет обратную.

 

Также ранее было изучено, что для любого x из -1;1 определено одно число  y=arcsin x, т.е. можно сказать, что на отрезке -1;1 задана функция y=arcsin x.

Рис. 1. Симметричность графиков функций y = arcsin ⁡<i>x</i> и y = sin⁡ <i>x</i> на промежутке [– π/2; π/2] Рис. 1. Симметричность графиков функций y = arcsin ⁡x и y = sin⁡ x на промежутке [– π/2; π/2]

Покажем, что функции  y=arcsin x и y=sin x, где x-π2; π2  взаимно обратны.

 

Пусть дано уравнение sin x=y, где x – переменная, y – число из -1;1, тогда на -π2; π2 это уравнение имеет единственный корень x=arcsin y. Меняем местами x и y, тогда y=arcsin x. Видим, что функции y=arcsin x и y=sin x взаимно обратные.

 

График функции y=arcsin x симметричен графику y=sin x, где x-π2; π2 относительно прямой y=x (Рис. 1).


Свойства функции y=arcsin x

  1. Область определения – -1; 1. 
  2. Множество значений – -π2; π2.
  3. Возрастающая. 
  4. Нечетная, arcsin-x=-arcsinx. 


Функция y=arccos x

Рис. 2. Симметричность графиков функций y = arccos⁡ <i>x</i> <br>и y = cos⁡ <i>x</i> на [0; π] Рис. 2. Симметричность графиков функций y = arccos⁡ x 
и y = cos⁡ x на [0; π]

На каждом из отрезков -π; 00; ππ; 2π и т.д. функция y=cos x монотонна и принимает значения из отрезка -1;1. Тогда по теореме об обратной функции, на каждом из указанных промежутков функция y=cos x имеет обратную функцию.

 

Для каждого x[-1;1]  определено одно число y=arccos x, т.е. можно сказать, что на отрезке -1;1 задана функция y=arccos x. Она является обратной для функции y=cos x, где x[0;π]. График функции y=arccos x симметричен графику  y=cos x,  x[0;π] относительно прямой y=x (Рис. 2).


Свойства функции y=arccos x

  1. Область определения – -1;1
  2. Множество значений – 0;π
  3. Убывающая
  4. Не является ни четной, ни нечетной


Функция y=arctg x

Рис. 3. Симметричность график функций y = arctg <i>x </i>и <br>y = tg<i> x</i> на промежутке [– π/2; π/2] Рис. 3. Симметричность график функций y = arctg x и 
y = tg x на промежутке [– π/2; π/2]

На каждом из интервалов -π2; π2π2; 3π23π2; 5π2 и т.д. функция y=tg x монотонна. Значит, по теореме об обратной функции, на каждом из указанных промежутков функция y=tg x имеет обратную функцию.

 

Для любого действительного x определено одно число y=arctg x, т.е. можно сказать, что на числовой прямой задана функция y=arctg x.

 

Если рассмотреть функцию y=tg x на интервале -π2; π2, то функции y=arctg x и y=tg x на нем будут взаимно обратные.

 

График функции y=arctg x симметричен графику y=tg x, где x-π2; π2, относительно прямой y=x (Рис. 3).


Свойства функции y=arctg x

  1. Область определения – множество R всех действительных чисел.
  2. Множество значений – -π2; π2
  3. Возрастающая
  4. Нечетная, arctg (-x)=-arctg x
  5. Непрерывная на области определения


Функция y=arcctg x

Рис. 4. Симметричность графиков функций y = arcctg <i>x</i> и <br>y = ctg <i>x</i> на (0; π) Рис. 4. Симметричность графиков функций y = arcctg x и 
y = ctg x на (0; π)

На каждом из интервалов -π; 00;ππ; 2π и т.д. функция y=ctg x монотонна. Значит, по теореме об обратной функции, на каждом из указанных промежутков функция y=ctg x имеет обратную функцию.

 

Для любого действительного x определено одно число y=arcctg x, т.е. можно сказать, что на числовой прямой задана функция y=arcctg x.

 

Если рассмотреть функцию y=ctg x на интервале 0;π, то функции y=arcctg x и y=ctg x на нем будут взаимно обратные.

 

График функции y=arcctg x симметричен графику y=ctg x, где x0; π, относительно прямой y=x (Рис. 4).


Свойства функции y=arcctg x

  1. Область определения – множество R всех действительных чисел.
  2. Множество значений – 0;π.
  3. Убывающая.
  4. Не является ни четной, ни нечетной.
  5. Непрерывна на области определения.


Пример 1

Сравнить числа:

 

1) arcsin -23 и arcsin -12;

2) arcctg 17 и arcctg 18.


Решение

 

1. -23[-1;1]-12[-1;1] и -23<-12. Функция y=arcsin x возрастает, тогда  arcsin -23<arcsin -12.

2. 17>18. Функция y=arcctg x убывает, тогда arcctg 17<arcctg 18.

 

Ответ: 1) arcsin -23<arcsin -12 ; 2) arcctg17<arcctg18.


Пример 2

Решить уравнение arccos 3x+4 =2π3.


Решение

 

2π3[0; π], тогда по определению арккосинуса числа исходное уравнение равносильно уравнению 

 

3x+4=cos 2π33x+4=-12x=-1,5.

 

Ответ: -1,5.


Пример 3

Найти область определения функции y=arcsin x-23.


Решение

 

Областью определения функции y=arcsin x является отрезок -1;1, значит и исходная функция определена при тех значениях переменной x, при которых выполняется двойное неравенство -1x-231

 

Перепишем последнее в виде x-23-1,x-231. 

 

Отсюда x-1,x5.

 

Ответ: -1x5.


Упражнение

1. Сравнить числа: 

 

1) arctg 26 и arctg 62;

2) arccos -15 и arccos -17.

 

2. Решить уравнение arcsin 2x=π4.

 

3. Найти область определения функции y=arccos 3x-2.


Контрольные вопросы

 

1. Как с помощью графика функции y=sin x построить график функции y=arcsin x?

2. Как с помощью графика функции y=cos x построить график функции y=arccos x?

3. Как с помощью графика функции  y=tg x построить график функции y=arctg x?

4. Как с помощью графика функции y=ctg x построить график функции y=arcctg x?

5. Какие из чисел -130-23 принадлежат области определения функции y=arcsin x?

6. Какие из чисел -332162 принадлежат области определения функции y=arccos x?

7. Какие из чисел 50-27 принадлежат области определения функции y=arctg x?

8. Какие из чисел 2π1,3-0,714 принадлежат области определения функции y=arcctg x?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 1) arctg 26<arctg 62;     2) arccos -15>arccos -17.   

2. 24.

3.  19x1.


Случайные величины. Центральные тенденции. Меры разброса

Статистика
  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История