Конспект урока: Свойства функции y=cos x и ее график. Свойства функции y=sin x и ее график. Свойства функции y=tg x и ее график

Построение графика $\mathit{y}\mathbf{=}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{ }\mathit{x}$

Ранее было установлено, что функция $y=\cos x$ определена на всей числовой прямой и ее множество значений $\left[-1;1\right]$, значит, функция ограничена и ее график находится между прямыми $y=-1$, $y=1$.

Рис. 1. График функции y=cos x на [0; π]

Функция $y=\cos x$ периодическая с периодом $T=2\mathrm{\pi }$, т.е. на промежутках длиной $2\mathrm{\pi }$ график функции будет повторяться, тогда достаточно построить его лишь на каком-нибудь одном из них, например, на $\left[-\mathrm{\pi };\mathrm{\pi }\right]$, а затем сдвигать влево и вправо на $2\pi n$, $n\in Z$.

 

Функция $y=\cos x$ четная, поэтому ее график симметричен относительно оси $Oy$. Для построения графика на $\left[-\mathrm{\pi };\mathrm{\pi }\right]$ достаточно построить его на $[0;\pi ]$, а затем симметрично отобразить относительно оси $Oy$.

 

Функция $y=\cos x$ на $[0;\pi ]$ убывает, т.к. при повороте точки А(1; 0) вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от 0 до $\mathrm{\pi }$ (увеличиваем угол от 0 до $\mathrm{\pi }$) абсцисса точки (а это и есть косинус этого угла) уменьшается от 1 до -1, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

 

Составим таблицу для некоторых значений функции $y=\cos x$ на $[0;\pi ]$ и построим на нем график (рис. 1).

Рис. 2. График функции y=cos x

Симметрично отобразим график с рис.1  относительно оси $0y$, получим график функции $y=\cos x$ на $[-\pi ;\pi ]$ и так как длина отрезка $[-\pi ;\pi ]$ равна $2\mathrm{\pi }$, а это период функции, то распространим график по всей числовой прямой с помощью сдвигов на $2\pi n$, $n\in Z$ (рис. 2). Итак, график функции $y=\cos x$ построен на всей числовой прямой.

Свойства функции $y=\cos x$

Опираясь на свойства функции $y=\cos x$ на $[0;\pi ]$ и на график функции (рис. 2) сформулируем основные свойства на всей числовой прямой.

1. Область определения – множество $R$ всех действительных чисел.

2. Множество значений - $\left[-1;1\right]$.

3. Периодическая с $T=2\mathrm{\pi }$.

4. Четная

5. 1) $y=0$ при $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, $n\in Z$;

2) $y_{наиб}=1$ при $x=2\pi n$, $n\in Z$;

3) $y_{наим}=-1$ при $x=\pi +2\pi n$, $n\in Z$;

4) $y>0$ на $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на $2\pi n$, $n\in Z$;

5) $y<0$ на $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на $2\pi n$, $n\in Z$.

6. Функция возрастает на $\left[\mathrm{\pi };2\mathrm{\pi }\right]$ и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на $2\pi n$, $n\in Z$.

7. Функция убывает на  $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$ и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на  $2\pi n$, $n\in Z$.

С помощью графика функции $y=\cos x$ найти корни уравнения $\cos x=\frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $[-\pi ;\frac{\pi }{2}]$.

Решение

Рис. 3. Графическое решение уравнения cos x = 1/2

В одной и той же системе координат построим графики функций $y=\cos x$ и $y=\frac{1}{2}$ (рис. 3). На $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ графики функций пересекаются в двух точках $x_1=-arccos\frac{1}{2}=-\frac{\pi }{3}$,

$x_2=arccos\frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$ $\left(x_1\in [-\pi ;0], x_2\in (0;\frac{\pi }{2}]\right)$. Тогда на заданном отрезке уравнение имеет два корня $x_1=-\frac{\pi }{3}$ и $x_2=\frac{\pi }{3}$.

 

Ответ: $-\frac{\pi }{3}; \frac{\pi }{3}$.

С помощью графика функции $y=\cos x$ найти все решения неравенства $\cos x<\frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{3\pi }{2};\pi \right]$.

Решение

По рис. 3 видно, что график функции $y=\cos x$ лежит ниже прямой $y=\frac{1}{2}$ при всех $x$ из промежутков $[-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{3})$, $(\frac{\pi }{3};\pi ]$. Эти промежутки и будет решениями данного неравенства на $\left[-\frac{3\pi }{2};\pi \right]$.

Ответ: $\left[-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{3})\cup (\frac{\pi }{3};\pi \right]$.

1. С помощью графика функции $y=\cos x$ найти корни уравнения $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$.

2. С помощью графика функции $y=\cos x$ найти решения неравенства $\cos x\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$, принадлежащие отрезку $\left[0; \frac{5\pi }{2}\right]$.

Сравнить числа:

1) $\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ и $\cos \frac{\mathrm{\pi }}{7}$;

2) $\cos \frac{7\mathrm{\pi }}{5}$ и $\sin \frac{8\mathrm{\pi }}{5}$.

Решение

1) $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ и $\frac{\mathrm{\pi }}{7}$ лежат в отрезке $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$, на котором функция $y=\cos x$ убывает, и $\frac{\mathrm{\pi }}{4}>\frac{\mathrm{\pi }}{7}$, тогда $\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}<\cos \frac{\mathrm{\pi }}{7}$.

2) Воспользуемся формулами приведения 

$\sin \frac{8\pi }{5}=\sin \left(\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{10}\right)=-\cos \frac{\pi }{10}$;

$\cos \frac{7\pi }{5}=\cos \left(\pi +\frac{2\pi }{5}\right)=-\cos \frac{2\pi }{5}$.

$\frac{\mathrm{\pi }}{10}$ и $\frac{2\mathrm{\pi }}{5}$ лежат в отрезке  $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$, на котором функция $y=\cos x$ убывает и $\frac{\mathrm{\pi }}{10}<\frac{2\mathrm{\pi }}{5}$, тогда $\cos \frac{\mathrm{\pi }}{10}>\cos \frac{2\mathrm{\pi }}{5}$ и $-\cos \frac{\pi }{10}<-\cos \frac{2\pi }{5}$, тогда $\cos \frac{7\pi }{5}>\sin \frac{8\pi }{5}$.

Ответ: 1) $\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}<\cos \frac{\mathrm{\pi }}{7}$; 2) $\cos \frac{7\pi }{5}>\sin \frac{8\pi }{5}$.

Сравнить числа:

1) $\cos \left(-\frac{3\pi }{7}\right)$ и $\cos \frac{7\pi }{4}$;

2) $\cos 0,7$ и $\cos 2,7$; 

3) $\cos \frac{\pi }{5}$ и $\cos \frac{5\pi }{4}$.