Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Свойства функции y=cos x и ее график. Свойства функции y=sin x и ее график. Свойства функции y=tg x и ее график

Тригонометрия

Свойства функции y=cos x и ее график

План урока

  • Построение графика функции y=cos x;
  • Свойства функции y=cos x;
  • Применение свойств функции y=cos x при решении задач.

Цели урока

  • Знать свойства функции y=cos x;
  • Уметь строить график функции y=cos x;
  • Уметь находить по графику промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения.

Разминка

  1. Что такое четная функция? Нечетная?
  2. Какие из тригонометрических функций являются четными? Нечетными?
  3. Докажите, что функция y=x4-2x2-sin2x является четной.
  4. Найти наименьший положительный период функции fx=tg 13x+π8.

Построение графика y=cos x

 

Ранее было установлено, что функция y=cos x определена на всей числовой прямой и ее множество значений -1;1, значит, функция ограничена и ее график находится между прямыми y=-1y=1.

Рис. 1. График функции y=cos x на [0; π] Рис. 1. График функции y=cos x на [0; π]

Функция y=cos x периодическая с периодом T=2π, т.е. на промежутках длиной 2π график функции будет повторяться, тогда достаточно построить его лишь на каком-нибудь одном из них, например, на -π;π, а затем сдвигать влево и вправо на 2πnnZ.

 

Функция y=cos x четная, поэтому ее график симметричен относительно оси Oy. Для построения графика на -π;π достаточно построить его на [0;π], а затем симметрично отобразить относительно оси Oy.

 

Функция y=cos x на [0;π] убывает, т.к. при повороте точки А(1; 0) вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от 0 до π (увеличиваем угол от 0 до π) абсцисса точки (а это и есть косинус этого угла) уменьшается от 1 до -1, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

 

Составим таблицу для некоторых значений функции y=cos x на [0;π] и построим на нем график (рис. 1).

 

x

0

π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

y

1

32

22

12

0

-12

-22

-32

-1

Рис. 2. График функции y=cos x Рис. 2. График функции y=cos x

Симметрично отобразим график с рис.1  относительно оси 0y, получим график функции y=cos x на [-π;π] и так как длина отрезка [-π;π] равна 2π, а это период функции, то распространим график по всей числовой прямой с помощью сдвигов на 2πnnZ (рис. 2). Итак, график функции y=cos x построен на всей числовой прямой.

Свойства функции y=cos x

 

Опираясь на свойства функции y=cos x на [0;π] и на график функции (рис. 2) сформулируем основные свойства на всей числовой прямой.

 

1. Область определения – множество R всех действительных чисел.

 

2. Множество значений - -1;1.

 

3. Периодическая с T=2π.

 

4. Четная

 

5. 1) y=0 при x=π2+πnnZ;

2) yнаиб=1 при x=2πnnZ;

3) yнаим=-1 при x=π+2πnnZ;

4) y>0 на -π2;π2 и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πnnZ;

5) y<0 на π2;3π2 и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πnnZ.

 

6. Функция возрастает на π;2π и на отрезках, получаемых сдвигами этого интервала на 2πnnZ.

 

7. Функция убывает на  0;π и на отрезках, получаемых сдвигами этого интервала на  2πnnZ.


Пример 1

С помощью графика функции y=cos x найти корни уравнения cos x=12, принадлежащие промежутку [-π;π2].


Решение

Рис. 3. Графическое решение уравнения cos <i>x </i>= 1/2 Рис. 3. Графическое решение уравнения cos x = 1/2

В одной и той же системе координат построим графики функций y=cos x и y=12 (рис. 3). На -π;π2 графики функций пересекаются в двух точках x1=-arccos12=-π3,

x2=+arccos12=π3 x1[-π;0], x2(0;π2]. Тогда на заданном отрезке уравнение имеет два корня x1=-π3 и x2=π3.

 

Ответ: -π3; π3.


Пример 2

С помощью графика функции y=cos x найти все решения неравенства cos x<12, принадлежащие промежутку -3π2;π.


Решение

 

По рис. 3 видно, что график функции y=cos x лежит ниже прямой y=12 при всех x из промежутков [-3π2;-π3)(π3;π]. Эти промежутки и будет решениями данного неравенства на -3π2;π.

 

Ответ: -3π2;-π3)(π3;π.


Упражнение 1

1. С помощью графика функции y=cos x найти корни уравнения cos x=22, принадлежащие промежутку -π2;3π2.

2. С помощью графика функции y=cos x найти решения неравенства cos x22, принадлежащие промежутку 0; 5π2.


Пример 3

Сравнить числа:

 

1) cosπ4 и cosπ7;

2) cos7π5 и sin8π5.


Решение

 

1) π4 и π7 лежат в промежутке 0;π, на котором функция y=cos x убывает, и π4>π7, тогда cosπ4<cosπ7.

 

2) Воспользуемся формулами приведения 

 

sin8π5=sin3π2+π10=-cosπ10;

cos7π5=cosπ+2π5=-cos2π5.

π10 и 2π5 лежат в промежутке 0;π, на котором функция y=cos x убывает и π10<2π5, тогда cosπ10>cos2π5 и -cosπ10<-cos2π5, тогда cos7π5>sin8π5.

 

Ответ: 1) cosπ4<cosπ7; 2) cos7π5>sin8π5.


Упражнение 2

Сравнить числа:

 

1) cos-3π7 и cos7π4;

2) cos 0,7 и cos 2,7

3) cos π5 и cos 5π4.


Контрольные вопросы

 

С помощью графика функции y=cos x определить:

  1. При каких значениях x из [-2π;π] функция принимает значения, равные -1, 0, 1?
  2. При каких значениях x из -5π2;π2 функция принимает отрицательные значения?
  3. При каких значениях x из -3π;0 функция принимает положительные значения?


Ответы

Упражнение 1

 

1. -π4;π4.  2. 0; π47π4;9π4.

 

Упражнение 2

 

1. cos-3π7<cos7π4;  2. cos 0,7>cos 2,7;  3. cosπ5> cos5π4.

Предыдущий урок
Бином Ньютона
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Следующий урок
Обратные тригонометрические функции
Тригонометрия
  • Дифракция света

    Физика

  • Основы построения компьютерных сетей
  • Взаимоотношения популяций разных видов в экосистеме

    Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке