Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Область определения и множество значений тригонометрических функций

Тригонометрия

27.03.2024
1463
0

Область определения и множество значений тригонометрических функций

План урока

  • Область определения и множество значений тригонометрических функций;
  • Решение задач на нахождения области определения, множества значений тригонометрических функций, их наибольшего и наименьшего значений.

Цели урока

  • Знать какие функции называются тригонометрическими, определение области определения и множества значений функции, в том числе и тригонометрических функций;
  • Уметь находить область определения, множество значений тригонометрических функций, наибольшее и наименьшее значения тригонометрических функций.

Разминка

  1. В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки А(1;0) на угол α радиан, если: а) α=1,5; б) α=-3,4; в) α=4; г) α=-2,7.
  2. Определить знак числа: а) cos 2,6; б) sin 3,2; в) tg 4; г) sin (-5).
  3. Можно ли на единичной окружности изобразить точку с координатами: а) cos 1; sin 1; б) cos -15; sin -15.
  4. Может ли синус аргумента принимать значение, равное нулю? Большее 1? Меньшее -1?

Из курса алгебры нам известно, что функцией называют зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y

 

Если повернуть точку (1;0) на угол x радиан вокруг начала координат xR, то каждому числу x будет соответствовать единственная точка единичной окружности. А так как у каждой точки есть координаты cos x; sin x, то каждому действительному x соответствуют числа cos x и sin x, т.е. на множестве действительных чисел R определены функции y=cos x и y=sin x.


Областью определения  функции y=fx называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент x. Обозначается Dy.

 

Множеством значений  функции y=fx называется множество всех значений, которые может принимать переменная y. Обозначается Ey.


Область определения и множество значений тригонометрических функций


Функции y=sin xy=cos xy=tg xy=ctg x называются тригонометрическими функциями .


Исходя из описанного выше, областью определения функций y=sin x и y=cos x является множество R действительных чисел. По определению, тангенс угла – отношение синуса угла к его косинусу, котангенс – отношение косинуса угла к его синусу, тогда для нахождения области определения функций y=tg x и y=ctg x нужно исключить те точки, в которых знаменатели дробей будут равны нулю, т.е.

sin x0xπnnZcos x0xπ2+πnnZ.

Уравнения sin x=a и cos x=a имеют корни при a1 и не имеют решений при a>1, тогда множеством значений функций y=sin x и y=cos x является отрезок -1;1. Отсюда следует, что эти функции являются ограниченными.  Уравнения tg x=a и ctg x=a имеют решения при любом действительном значении a, тогда их множеством значений будет все множество действительных чисел R.

 

Функция 

Область определения

Множество значений

y=sin x

R

[-1;1]

y=cosx

R

[-1;1]

y=tg x

xπ2+πnnZ

R

y=ctg x

xπnnZ

R


Пример 1

Найти область определения функций:

 

1. y=cos 3-x2;

2. y=5sin x+2cos x.


Решение

 

1) Выражение cos 3-x2 имеет смысл при 3-x20, т.е. при x-3;3.

 

2) Выражение  5sin x+2cos x имеет смысл при всех значениях переменной x, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль. Решим уравнение sin x+2cos x=0. Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Разделим обе части уравнения на cos x0, получим tg x+2=0, откуда x=-arctg 2+πnnZ. Значит, областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме x=-arctg 2+πnnZ.

 

Ответ: 1) -3;3; 2) x-arctg 2+πnnZ.


Пример 2

Найти множество значений функций:

 

1. y=5cos 2x+2;

2. y=3sin2 x+4sin x cos x+cos2 x.


Решение

 

1) Так как -1cos 2x1, то -55cos 2x5, откуда -35cos 2x+27, функция y=5cos 2x+2 принимает все значения из -3;7, значит, множество значений этой функции - -3;7

 

2) Выясним, при каких значениях a уравнение 3sin2x+4sin x cos x+cos2x=a имеет смысл. Представим 1 по основному тригонометрическому тождеству и умножим ее на a:

3sin2x+4sin x cos x+cos2x=asin2x+cos2x,

3-asin2x+4sin x cos x+1-acos2x=0.

 

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка, разделим обе части уравнения на cos2x0, тогда 3-atg2x+4tgx+1-a=0.

 

Пусть tg x=t, имеем 3-at2+4t+1-a=0. Это уравнение имеет решение, когда дискриминант неотрицательный. 

D1=4-3-a1-a0,

a2-4a-10,

a2-5; 2+5.

 

Значит, множеством значений является отрезок 2-5; 2+5.

 

Ответ: 1) -3;7; 2) 2-5; 2+5.


Пример 3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=2sin x+cos x.


Решение

 

Применим метод введения вспомогательного аргумента при преобразовании выражения вида a sinx+b cos x. Умножим и разделим каждый член выражения 2sin x+cos x на 22+12=3, получим 

2sin x+cos x=323sin x+13cos x=3sin x+φ, где sin φ=13cos φ=23. Тогда y=3sinx+φ.

Так как -1sin x+φ1, то -33sin x+φ3. Значит, наибольшее значение функции равно 3, а наименьшее - -3.

 

Ответ: 3-3.


Упражнение 1

1. Найти область определения функций 

а) y=tg x-π4;

б) y=43sin x-cos x .

 

2. Найти множество значений функций

а) y=6sin x-8cos x;

б) y=2cos2x2-1.

 

3. Найти наименьшее и наибольшее значения функций

а) y=5sinx3 cosx3;

б) y=2sin x+cos x.


Контрольные вопросы

 

  1. Что называют областью определения функции? Областью значений функции?
  2. Как найти область определения функции, имеющей вид тангенса от некоторого аргумента? Котангенса от некоторого аргумента?


Ответы

Упражнение 1

  1. а) x3π4+πnnZ; б) xarctg 13+πkkZ.
  2. а) [-10;10]; б) [-1;1].
  3. а) -2,5; 2,5; б) -5; 5.

Предыдущий урок
Свойства функции y=cos x и ее график. Свойства функции y=sin x и ее график. Свойства функции y=tg x и ее график
Тригонометрия
Следующий урок
Область определения и множество значений тригонометрических функций
Тригонометрия
Поделиться:
  • Информационное право
  • Бином Ньютона

    Алгебра

  • Культурное пространство и повседневная жизнь в 1950- х – середине 1980-х гг.

    История

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке