Конспект урока: Взаимодействие тел. Третий закон Ньютона. Решение задач о движении взаимодействующих тел

Третий закон Ньютона: в инерциальной системе отсчёта два тела взаимодействуют с силами ${\overrightarrow{F}}_1$ и ${\overrightarrow{F}}_2$, равными по модулю, противоположными по направлению и лежащими вдоль одной прямой: ${\overrightarrow{F}}_1=-{\overrightarrow{F}}_2$.

Пример 1

На горизонтальном полу лифта лежит ящик массой 80 кг. Лифт начинает подниматься на верхний этаж с ускорением 0,2 м/с². Найти вес ящика при движении лифта.

Решение
 

1. В результате движения лифта система начнёт поступательное движение, поэтому ящик можно принять за материальную точку.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

2. Пусть ось ОХ направлена вправо, ось 
OY — вертикально вверх.
На ящик действуют две силы: сила тяжести и сила реакции опоры. На поверхность со стороны ящика действует только одна 
сила — его вес (рис. 2). Так как система движется вверх, вектор ускорения также направлен вертикально вверх.

3. Второй закон Ньютона в векторной форме для ящика имеет следующий вид:
 

$m·\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}=m·\overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси: в данном случае проекции сил и ускорения на ось ОХ равны нулю, поэтому достаточно записать проекцию на ось ординат:
 

$\mathrm{OY}: N-m·g=m·a$.
 

5. В рассматриваемой задаче взаимодействуют ящик и горизонтальная поверхность лифта: ящик действует на поверхность с силой, равной его весу, поверхность — с силой реакции опоры. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению:
 

$P=N$.
 

6. Решаем систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}N-m·g=m·a\\ P=N\end{array}\right.$.
 

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу Р:
 

$P=m·g+m·a=80·10+80·0,2=816 \mathrm{Н}$.

Ответ: $P=816 \mathrm{Н}$.

Пример 2

Два бруска удерживаются на плоскости, поверхность которой наклонена под углом 60° к горизонту. Масса брусков одинакова и равна 4 кг. Коэффициент трения между первым бруском и поверхностью равен 0,6. Второй брусок гладкий. После того, как бруски отпускают, они приходят в движение. Рассчитайте, с какой силой второй брусок действует на первый в процессе их совместного движения.

Решение

1. После того, как бруски перестают удерживать на наклонной плоскости, они начинают двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную наклонную плоскость. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков вдоль поверхности (рис. 3), ось OY — перпендикулярно оси ОХ.
Массы первого и второго брусков обозначим m₁ и m₂ соответственно. Вектор ускорения направлен в сторону движения брусков. Силы, с которыми взаимодействуют бруски 1 и 2 обозначим как ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{21}$.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:
 

${\overrightarrow{F}}_{21}+m_1·\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{N}}_1+{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}}=m_1·\overrightarrow{a}$;

${\overrightarrow{F}}_{12}+m_2·\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{N}}_2=m_2·\overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекция ускорения на ось ординат равна нулю.
 

$\mathrm{OX}: m_1·g_x+ F_{21}-F_{\mathrm{тр}}=m_1·a$;

$\mathrm{OY}: N_1-m_1·g_y=0$;

$\mathrm{OX}: m_2·g_x-F_{12}=m_2·a$;

$\mathrm{OY}: N_2-m_2·g_y=0$.
 

Найдём проекции силы тяжести на координатные оси.

$m_1·g_x=\sin \left(\alpha \right)·m_1·g$

$m_1·g_y=\cos \left(\alpha \right)·m_1·g$

$m_2·g_x=\sin \left(\alpha \right)·m_2·g$

$m_2·g_y=\cos \left(\alpha \right)·m_2·g$

5. Согласно третьему закону Ньютона, силы ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{21}$ направлены в противоположные стороны и равны по модулю:
 

$F_{12}=F_{21}=F$.
 

6. Известно, что сила трения по определению равна произведению коэффициента трения на силу реакции опоры:

$F_{\mathrm{тр}}=\mu ·N_1$.

Сведём все полученные закономерности в следующую систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}\sin \left(\alpha \right)·m_1·g+F-\mu ·N_1=m_1·a\\ N_1-\cos \left(\alpha \right)·m_1·g=0\\ \sin \left(\alpha \right)·m_2·g-F=m_2·a\\ N_2-\cos \left(\alpha \right)·m_2·g=0\end{array}\right.$.
 

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:
 

$F=\frac{m_1·m_2·\mu ·\cos \left(\alpha \right)·g}{m_1+m_2}=\frac{4·4·0,6·\cos (60°)·10}{4+4}=6 \mathrm{Н}$.

Ответ: $F=6 \mathrm{Н}$.

Пример 3

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3

 

На гладкой горизонтальной поверхности друг на друге лежат два бруска (рис. 4). Коэффициент трения между брусками равен 0,4.

 

Определите, с какой минимальной силой F надо подействовать на брусок массой m₁, чтобы брусок массой m₂ начал по нему скользить. Массы брусков равны m₁ = 5 кг и m₂ = 2 кг.

Решение

1. Пусть бруски двигаются поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3: силы, действующие на бруски

2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, на которой лежат бруски. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков вдоль поверхности 

(рис. 5), ось OY — перпендикулярно оси ОХ. Вектор ускорения направлен в сторону движения брусков. В месте соприкосновения брусков возникают силы трения, препятствующие взаимному движению ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}1}$ и ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}2}$.
На брусок массой m₁ действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила F, а также сила трения и вес, создаваемый бруском массой m₂.

На брусок массой m₂ действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, возникающая в процессе взаимного движения.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:
 

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}1}+m_1·\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{N}}_1+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{P}=m_1·\overrightarrow{a}$;

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}2}+m_2·\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{N}}_2=m_2·\overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекция ускорения на ось ординат равна нулю:
 

$\mathrm{OX}: F-F_{\mathrm{тр}1}=m_1·a$;

$\mathrm{OY}: N_1-P-m_1·g=0$;

$\mathrm{OX}: F_{\mathrm{тр}2}=m_2·a$;

$\mathrm{OY}: N_2-m_2·g=0$.

5. Согласно третьему закону Ньютона, силы ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}1}$ и ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}2}$ направлены в противоположные стороны и равны по модулю:
 

$F_{\mathrm{тр}1}=F_{\mathrm{тр}2}=F_{\mathrm{тр}}$.

Следует понимать, что в данном случае F_тр1 не зависит от N₁, так как данная сила возникает не из-за трения тела m₁ о поверхность, а является следствием трения брусков друг о друга, поэтому F_тр1 определяется силой реакции опоры, действующей на верхний брусок N₂.
 

Аналогичные рассуждения применимы к паре сил $\overrightarrow{P}$ и ${\overrightarrow{N}}_2$, по третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю:
 

$P=N_2$.
 

6. Запишем формулу силы трения:

$F_{\mathrm{тр}}=\mu ·N_2$.

Сведём все полученные соотношения в следующую систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}F-\mu ·N_2=m_1·a\\ N_1-P-m_1·g=0\\ \mu ·N_2=m_2·a\\ N_2-m_2·g=0\\ P=N_2\end{array}\right.$.
 

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:
 

$F=\mu ·g·\left(m_1+m_2\right)=0,4·10·(5+2)=28 \mathrm{Н}$.

Ответ: $F=28 \mathrm{Н}$.

Упражнение 1

1. На горизонтальном полу лифта лежит ящик массой 10 кг. Лифт начинает опускаться на нижний этаж с ускорением 0,4 м/с². Найти вес ящика в процессе движения лифта.
 

2. На наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 4 м находится груз массой 40 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, необходимо приложить, чтобы тянуть груз с ускорением 2 м/с²? Коэффициент трения 0,4.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте третий закон Ньютона.
2. На полу лифта на весах находится ящик. Как изменятся показания весов, когда лифт начнёт опускаться на нижний этаж с некоторым ускорением?
3. Как направлена сила трения, если брусок покоится на наклонной плоскости?

Упражнение 1

1. Р = 96 Н

2. F = 496 Н