Конспект урока: Динамика равномерного движения материальной точки по окружности. Решение задач динамики равномерного движения по окружности

Два типа задач на равномерное движение тела по окружности

К задачам о движении материальной точки по окружности применим стандартный алгоритм решения задач на применение законов Ньютона.
 

Наиболее важный момент при решении таких задач — правильно определить взаимное расположение сил. Можно выделить два типа задач:

1. Тело движется по круговой траектории по поверхности Земли. В этом случае окружность лежит на поверхности Земли, поэтому сила трения направлена вдоль земной плоскости. Сила тяжести и сила реакции опоры лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости Земли.
2. Тело движется по выпуклому участку Земли, например, автомобиль заезжает на мост, имеющий форму полуокружности. В этом случае сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения лежат в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли.

Примеры решения задач

Решение
 

1. Автомобиль движется поступательно, следовательно, его можно принять за материальную точку.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

 

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОХ проводим через центр окружности и точку А, в которой в начальный момент находится автомобиль (рис. 1). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности Земли.
 

На тело действует сила трения, направленная к центру вдоль оси ОХ, сила тяжести и сила реакции опоры, действующие вдоль оси OY.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для автомобиля:
 

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}}+m·\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}=m·{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{цс}}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

$\mathrm{OX}: F_{\mathrm{тр}}=m·a_{\mathrm{цс}}$;

$\mathrm{OY}: N-m·g=0$;

 

5. Запишем формулы силы трения и центростремительного ускорения:
 

$F_{\mathrm{тр}}=\mu ·N$;

 

$a_{\mathrm{цс}}=\frac{v^2}{R}$.
 

Решаем систему уравнений с учётом данных выражений:

 

$\left\{\begin{array}{l}\mu ·N=m·\frac{v^2}{R}\\ N-m·g=0\end{array}\right.$.
 

Тогда

$R=\frac{v^2}{\mu ·g}=\frac{100}{0,5·10}=20 \mathrm{м}$.

 

Ответ: $R=20 \mathrm{м}$.

Из примера 1 можно вывести формулу для максимально возможной скорости автомобиля $v_{\max }$, при которой автомобиль ещё будет сохранять сцепление с дорогой и не съедет за её пределы.
 

Для этого выразим из выражения выше скорость машины:

$v_{\max }=\sqrt[2]{R·\mu ·g}$.

Это соотношение показывает, что максимально допустимая скорость зависит от радиуса траектории и коэффициента трения. В условиях, когда дорога покрыта льдом или водой, коэффициент трения шин с дорогой снижается, именно поэтому при неблагоприятных погодных условиях следует снижать скорость.
 

Помимо этого, следует сбавлять скорость перед крутыми поворотами, так как чем меньше радиус кривизны дороги, тем меньше предел максимально допустимой скорости.

Рис. 2. Уклон дороги на скоростных трассах

На трассах, где предполагается движение автомобилей на большой скорости, участки, где дорога меняет направление, делают с уклоном (рис. 2). Благодаря этому центростремительное ускорение автомобиля создаётся равнодействующей силы трения и проекции силы реакции опоры на горизонтальную ось.
Чем меньше радиус поворота, тем больше должен быть угол наклона дороги.

Пример 2

Рис. 3. Движение автомобиля по выпуклому мосту

 

С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 90 м, чтобы пассажиры машины на мгновение почувствовали состояние невесомости (рис. 3)?

Решение
 

1. Автомобиль движется поступательно, следовательно, его можно принять за материальную точку.

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОХ проводим через центр окружности и точку, в которой в начальный момент находится автомобиль (рис. 4). 

 

Координатная ось ОХ направлена к центру окружности. Ось ОY направлена вдоль поверхности Земли.

По условию задачи пассажиры автомобиля испытывают состояние невесомости, следовательно, вес автомобиля в верхней точке траектории равен нулю Р = 0, это означает, что и сила реакции опоры, и сила трения в данной точке также равны нулю: 

$P=N=0$;

$F_{\mathrm{тр}}=\mu ·N=0$.
 

Получается, что при заданных условиях на автомобиль в рассматриваемый момент действует только сила тяжести.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
 

$m·\overrightarrow{g}=m·{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{цс}}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

$O\mathrm{X}: m·g=m·a_{\mathrm{цс}}$.

 

5. Подставим в формулу выше выражение для центростремительного ускорения и выразим скорость:
 

$m·g=m·\frac{v^2}{R}$;

 

$v=\sqrt[2]{g·R}=\sqrt[2]{10·90}=30 \mathrm{м}/\mathrm{с}$.

 

Ответ: $v=30 \mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Скорость, полученная в примере 2, является критической скоростью $v_{\mathrm{кр}}$ автомобиля при данных условиях. Критическая скорость — это такая скорость, при которой вес тела становится равным нулю:
 

$v_{\mathrm{кр}}=\sqrt[2]{g·R}$.
 

При достижении критической скорости не только вес, но и сила трения на мгновение становятся равными нулю. В случае превышения критической скорости автомобиль оторвётся от дороги и полетит по законам, описывающим движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Итоги

• Максимально допустимая скорость при движении автомобиля в плоскости, параллельной плоскости Земли, по криволинейной траектории: $v_{maх}=\sqrt[2]{R·\mu ·g}$.
• Максимально допустимая скорость при движении автомобиля по выпуклому мосту: $v_{кр}=\sqrt[2]{g·R}$.

Упражнение 1

 

1. С какой максимальной скоростью может ехать велосипедист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусом 45 м, если коэффициент трения резины о дорогу 0,5?

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 3

2. Автомобиль массой 1,5 т проезжает по выпуклому мосту радиусом 200 м со скоростью 72 км/ч. Найти вес автомобиля в наивысшей точке моста.

 

3. Тело, подвешенное на нити, вращается в плоскости, параллельной поверхности Земли (рис. 5). Найти силу натяжения нити, если масса тела m = 200 г, скорость движения $v$ = 4 м/с, угол $\alpha$ = 30°, длина нити $l$ = 50 см.