Конспект урока: Динамика равномерного движения материальной точки по окружности. Решение задач динамики равномерного движения по окружности

Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

Вам уже известно, что материальная точка движется по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью $v$, при этом направление вектора скорости постоянно меняется и в любой момент времени направлено по касательной к окружности, по которой движется тело.
 

Благодаря изменению направления вектора скорости $\overrightarrow{v}$ тело, движущееся по окружности, обладает центростремительным ускорением, которое в любой момент времени направлено к центру окружности и вычисляется по следующей формуле:

$a_{\mathrm{цс}}=\frac{v^2}{R}={\omega }^2·R$.

По второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение: 

$\overrightarrow{F}=m·\overrightarrow{a}$. 

Тогда сумма сил, действующих на движущееся по окружности тело, вычисляется по следующей формуле:

$\overrightarrow{F}=m·{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{цс}}$.

Из соотношения выше следует два важных вывода.
 

Во-первых, равнодействующая сил, действующих на тело, равномерно движущееся по окружности, в любой момент времени направлена к центру окружности.
 

Во-вторых, модуль суммы сил может быть рассчитан так:
 

$F=m·a_{\mathrm{цс}}=\frac{m·v^2}{R}=m·{\omega }^2·R$.
 

При решении задач на движение материальной точки по окружности рекомендуется придерживаться следующих правил:

• началом отсчёта является центр окружности;
• координатную ось проводят через начало отсчёта и точку на окружности, в которой в данный момент находится тело;
• положительное направление оси ОХ совпадает с направлением равнодействующей, то есть ось направлена к центру.

Такой выбор системы отсчёта не случаен: проекции центростремительного ускорения и суммы всех сил на ось ОХ в данном случае будут положительны, благодаря чему будет справедливо следующее равенство:

$F=F_x=m·a_{\mathrm{цс}}$.

Рис. 1. Тело покоится на вращающемся шероховатом диске

Пусть на вращающемся вокруг вертикальной оси шероховатом диске покоится небольшое тело массой m (рис. 1). Угловая скорость диска равна ω. Расстояние от оси вращения до тела равно R. Определите силу трения покоя между диском и покоящимся телом.

Примем рассматриваемое тело за материальную точку. Систему отсчёта свяжем с землёй. За начало отсчёта примем неподвижный центр диска О.

Ось ОХ проводим через центр окружности и начальную точку А, в которой в начальный момент находится тело (рис. 2). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности диска.

Рис. 2. Направление сил, действующих на тело, движущееся по окружности

 

На тело действует сила трения, направленная к центру вдоль оси ОХ, сила тяжести и сила реакции опоры, действующие вдоль оси OY.
 

По направлению сил очевидно, что причиной возникновения центростремительного ускорения является сила трения.
 

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

 

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}}+m·\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}=m·{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{цс}}$.

 

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:

$O\mathrm{X}: F_{\mathrm{тр}}=m·a_{\mathrm{цс}}$;

$\mathrm{OY}: N-m·g=0$.

Так как тело покоится относительно диска, F_тр — это трение покоя, тогда справедливо следующее выражение:
 

$F_{\mathrm{тр} }\le \mu ·N$.
 

Учитывая формулу для центростремительного ускорения, получаем следующую систему:

$\left\{\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{тр}}=m·{\omega }^2·R\\ N=m·g\end{array}\right.$
 

Подставим в выражение $F_{\mathrm{тр}} \le \mu ·N$ полученную формулу для силы трения и выразим угловую скорость:
 

$m·{\omega }^2·R\le \mu ·N\iff m·{\omega }^2·R\le \mu ·m·g\iff {\omega }^2·R\le \mu ·g$;
 

${\omega }_{кр}=\sqrt[2]{\frac{\mu ·g}{R}}$.
 

Соотношение выше показывает максимальное значение угловой скорости ${\omega }_{\mathrm{кр}}$, при которой тело, находящееся на вращающейся поверхности, будет оставаться в покое относительно данной поверхности. Если скорость вращающегося диска будет больше величины ${\omega }_{\mathrm{кр}}=\sqrt[2]{\frac{\mu ·g}{R}}$, тело соскользнёт с его поверхности.

Рис. 3. Центростремительное ускорение вызвано действием силы T

Выражение выше показывает: чем больше коэффициент трения, тем больше значение критической угловой скорости ${\omega }_{\mathrm{кр}}$, при которой тело будет оставаться в покое относительно вращающегося диска. С другой стороны, чем больше расстояние от тела до центра окружности диска, тем меньше значение ${\omega }_{\mathrm{кр}}$.
 

Таким образом, чтобы удержаться на вращающейся поверхности, необходимо увеличить коэффициент трения и сократить расстояние до оси вращения.

В рассматриваемом примере центростремительное ускорение являлось результатом действия силы трения. Источником центростремительного ускорения могут быть и другие силы или сумма сил.

Рис. 4. Центростремительное ускорение вызвано действием сил mg и N

Например, при раскручивании тела, привязанного к нити, в плоскости, перпендикулярной поверхности Земли, в нити возникает сила натяжения нити, направленная к оси вращения (рис. 3).
 

В случае, если тело, привязанное к нити, вращается в плоскости, параллельной поверхности Земли (рис. 4), центростремительное ускорение является следствием действия равнодействующей F силы тяжести и силы натяжения нити.

Итоги

• В инерциальной системе отсчёта сумма всех сил, действующих на движущееся по окружности тело, равна произведению его массы на центростремительное ускорение: $\overrightarrow{F}=m·{\overrightarrow{a}}_{цс}$.
• Модуль этой силы можно вычислить по следующей формуле: 
  $F=\frac{m·v^2}{R}=m·{\omega }^2·R$.
• Критическая угловая скорость ${\omega }_{кр}$  — это максимальное значение угловой скорости, при которой тело, находящееся на вращающейся поверхности, в инерциальной системе отсчёта остаётся в покое: ${\omega }_{кр}=\sqrt[2]{\frac{\mu ·g}{R}}$.