Конспект урока: Второй закон Ньютона. Решение задач о движении тела под действием нескольких сил

Второй закон Ньютона : в инерциальной системе отсчёта ускорение, приобретённое телом в результате действия силы или нескольких сил, прямо пропорционально равнодействующей силе и обратно пропорционально массе этого тела: $\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$.

Пример 1

На горизонтальном полу лежит ящик массой 10 кг. Коэффициент трения между ящиком и полом равен 0,4. К ящику в горизонтальном направлении прикладывают силу F, в результате чего ящик начинает двигаться с ускорением 0,2 м/с². Найти значение силы, приложенной к телу.

Решение
 

1. В результате действия силы F ящик начнёт поступательное движение, поэтому его можно принять за материальную точку.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность неподвижного стола. Пусть ось ОХ направлена в сторону действия силы 
F — вправо (рис. 1), ось 
OY — вертикально вверх.
На тело действуют четыре силы: сила тяжести, сила трения, сила реакции опоры и сила тяги F. Так как по условию задачи тело пришло в движение, равнодействующая сил направлена в сторону действия силы F, по второму закону Ньютона ускорение направлено в ту же сторону, что и равнодействующая: в нашем случае — вправо.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
 

$\overrightarrow{F}+m·\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}}=m·\overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

$\mathrm{OX}: F-F_{\mathrm{тр}}=m·a$;

$\mathrm{OY}: N-m·g=0$.
 

Так как ускорение тела направлено перпендикулярно оси OY, проекция ускорения на данную ось равна нулю.
 

5. Решаем систему уравнений относительно неизвестной силы F. Известно, что сила трения скольжения по определению равна произведению коэффициента трения на силу реакции опоры:
 

$F_{\mathrm{тр}}=\mu ·N$.
 

Учитывая эту формулу, получаем следующую систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}F-\mu ·N=m·a,\\ N-m·g=0.\end{array}\right.$
 

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:
 

$F=\mu ·m·g+m·a=0,4·10·10+10·0,2=42 \mathrm{Н}$.

Ответ: $F=42 \mathrm{Н}$.

Пример 2

Спиленное дерево массой 80 кг с помощью лебёдки равноускоренно втаскивается на наклонную поверхность грузовой платформы трактора. Угол наклона платформы составляет 30°. Динамометр, контролирующий натяжение троса лебёдки, показывает силу 1 000 Н. Определите коэффициент трения скольжения между бревном и платформой, если ускорение бревна равно 2 м/с².

Решение

1. В результате действия силы тяги бревно двигается поступательно, поэтому его можно принять за материальную точку.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность неподвижной платформы. Пусть ось ОХ направлена в сторону действия силы тяги F вдоль поверхности платформы (рис. 2), ось 
OY — перпендикулярно оси ОХ. На тело действуют четыре силы: сила тяжести, сила трения, сила реакции опоры и сила тяги F. Так как по условию задачи тело движется вверх по платформе, равнодействующая сил направлена в сторону действия силы F, по второму закону Ньютона ускорение направлено в ту же сторону, что и равнодействующая.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
 

$\overrightarrow{F}+m·\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}}=m·\overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

$\mathrm{OX}: F-F_{\mathrm{тр}}-m·g_x=m·a$;

$\mathrm{OY}: N-m·g_y=0$.
 

Так как ускорение тела направлено перпендикулярно оси OY, проекция ускорения на данную ось равна нулю.

Рис. 3. Определения проекции силы тяжести на координатные оси

Найдём проекцию силы тяжести на ось ОХ. Пусть вектор $m·\overrightarrow{g}$ соответствует вектору $\overrightarrow{BC}$ (рис. 3). Опустим перпендикуляр из точки С на ось ОХ, тогда проекция силы тяжести на данную ось равна отрезку ВН: $m·g_x=BH$. Рассмотрим треугольники АВС и СВН, они подобны, следовательно, угол ВАС равен углу ВСН: $\angle BCH=\angle \alpha$.

В треугольнике ВСН: $\sin \left(\alpha \right)=\frac{BH}{BC}$, тогда
 

$m·g_x=BH=\sin \left(\alpha \right)·BC=\sin \left(\alpha \right)·m·g$.
 

Аналогично определяем проекцию силы тяжести на ось OY:
 

$m·g_y=CH=\cos \left(\alpha \right)·BC=\cos \left(\alpha \right)·m·g$.
 

5. Известно, что сила трения скольжения по определению равна произведению коэффициента трения на силу реакции опоры:
 

$F_{\mathrm{тр}}=\mu ·N$.
 

Учитывая формулы выше, получаем следующую систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}F-\mu ·N-\sin \left(\alpha \right)·m·g=m·a\\ N-\cos \left(\alpha \right)·m·g=0\end{array}\right.$
 

Используя метод подстановки, выражаем искомый коэффициент трения $\mu$:
 

$\mathrm{\mu }=\frac{F-m·a-\sin \left(\alpha \right)·m·g}{\cos \left(\alpha \right)·m·g}=\frac{1000-80·2-\sin (30°)·80·10}{\cos (30°)·80·10}\approx 0,6$.

Ответ: $\mathrm{\mu }=0,6$.

Упражнение 1

1. На горизонтальном полу лежит брусок массой 5 кг. Коэффициент трения между ящиком и полом равен 0,3. К ящику в горизонтальном направлении прикладывают силу F, в результате чего ящик начинает двигаться с ускорением 0,1 м/с². Найти значение силы, приложенной к телу.
 

2. Шарик катится вверх по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол 45° с горизонтом. Определите начальную скорость шарика, если до полной остановки он прошёл 50 см.
 

3. Брусок массой 100 г покоится на наклонной плоскости. Определите коэффициент трения между бруском и поверхностью, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30°.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте второй закон Ньютона.
2. Чему равна равнодействующая сил, действующих на тело, если оно движется равномерно?
3. Как направлена равнодействующая тела, движущегося по окружности?

Упражнение 1

1. $F$ = 15,5 Н

2.  $v_0\approx 2,66 \frac{м}{с}$

3. $\mu$ = 0,6