Решение задач о движении связанных тел

План урока

Сила натяжения нити
Примеры решения задач

Цели урока

знать алгоритм решения задач о движении связанных тел
уметь применять второй и третий законы Ньютона для решения задач на движение связанных тел

Разминка

Сформулируйте третий закон Ньютона.
В каких случаях возникает сила упругости?
Куда направлена сила упругости?

Сила натяжения нити

Решение задач о движении связанных тел осуществляется по уже изученному нами алгоритму.

В данном блоке задач особое внимание следует уделить силам упругости, возникающим в нити при движении связанных тел. Вспомним, что сила упругости, появляющаяся в нерастяжимой нити, называется силой натяжения нити и обозначается $\vec{T}$ .

Рис. 1. Силы, возникающие в системе из двух брусков, связанных нитью, в результате действия силы F

Рассмотрим, какие силы возникают в системе из двух брусков, связанных невесомой нитью, если на один из них подействовать с некоторой силой F (рис. 1).

В результате действия силы F брусок 2 приходит в движение, нить, связывающая бруски, начинает действовать на брусок 1 с силой ${\vec{T}}_{1}$ . По третьему закону Ньютона брусок действует на нить с силой $\vec{T}$ такой, что $\vec{T} = - {\vec{T}}_{1}$ .

Аналогичные рассуждения применимы ко второму бруску: нить действует на него с силой ${\vec{T}}_{2}$ , брусок действует на нить с такой силой $\vec{T'}$ , что $\vec{T}' = - {\vec{T}}_{2}$ .

Таким образом, силы $\vec{T}$ и $\vec{T'}$ действуют на нить, а силы ${\vec{T}}_{1}$ и ${\vec{T}}_{2}$ — на связанные бруски.

Если натянутая нить невесома, силы упругости, возникающие в различных частях нити, равны по модулю:

$|\vec{T}| = |\vec{T}'|$ .

Так как $\vec{T} = - {\vec{T}}_{1}$ и $\vec{T}' = - {\vec{T}}_{2}$ , справедливо будет записать следующее равенство:

$|\vec{T}| = |{\vec{T}}_{1}| = |\vec{T}'| = |{\vec{T}}_{2}|$ .

При решении задач может быть нецелесообразно рисовать силы $\vec{T}$ и $\vec{T'}$ , возникающие в нити, за исключением случая, когда нить обладает массой и данные силы не равны друг другу (решение подобной задачи рассмотрено в примере 3).

Примеры решения задач

Пример 1

Два бруска массами m₁ = 2 кг и m₂ = 6 кг связаны лёгкой невесомой нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени на брусок массой m₂ начинает действовать сила F = 10 Н, в результате чего бруски начинают поступательное движение. Найти ускорение системы брусков. Поверхность и бруски считать гладкими.

Решение

1. После того как на второй брусок начинает действовать сила F, система начинает двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, по которой движутся бруски. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков: так как сила F направлена вправо, система будет двигаться в направлении данной силы (рис. 2). Ось OY направлена перпендикулярно оси ОХ.

Изобразим силы, действующие на бруски. Силы упругости, возникающие в нити, изображать не обязательно, так как в данном случае мы не будем применять второй закон Ньютона к нити, связывающей тела.

3. Поскольку нить нерастяжима, то ускорение связанных тел будет одинаково. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго бруска:

$m_{1} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{1} + {\vec{N}}_{1} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

$\vec{F} + m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{2} + {\vec{N}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси:

$OY : N_{1} - m_{1} \cdot g = 0$ ;

$OX : T_{1} = m_{1} \cdot a$ ;

$OY : N_{2} - m_{2} \cdot g = 0$ ;

$OX : F - T_{2} = m_{2} \cdot a$ ;

5. Как мы уже знаем, при движении связанных невесомой нитью тел силы натяжения нити Т₁ и Т₂, приложенные к телам, равны по модулю:

$T_{1} = T_{2} = T$ .

6. Обратим внимание, что для решения поставленной задачи достаточно решить систему из уравнений на ось OX.

Решаем полученную систему относительно неизвестного ускорения методом сложения:

$\{\begin{cases} T = m_{1} \cdot a \\ F - T = m_{2} \cdot a \end{cases}$

Тогда

$a = \frac{F}{m_{1} + m_{2}} = \frac{10}{2 + 6} = 1, 25 м / с^{2}$ .

Ответ: $a = 1, 25 м / с^{2}$ .

Пример 2

Через неподвижный невесомый блок перекинута лёгкая нерастяжимая нить. К концам нити прикрепляют грузы массами m₁ = 5 кг и m₂ = 10 кг, затем их одновременно отпускают. Найти ускорение системы грузов.

Решение

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

1. После того как грузы отпускают, они начинают двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, к которой прикреплён блок. Пусть ось ОY направлена в сторону движения брусков: так как брусок массой m₂ тяжелее, система будет двигаться в направлении силы $m_{2} \cdot \vec{g}$ (рис. 3).

Ось OХ направлена перпендикулярно оси ОY.

3. Поскольку нить нерастяжима, то ускорение связанных тел будет одинаково. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:

$m_{1} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{1} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

$m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекции ускорения и сил на ось абсцисс равны нулю, поэтому проекции на данную ось можно не рассматривать.

Так как первое тело движется вверх, проекция ускорения данного тела на ось ординат будет отрицательна.

$OY : m_{1} \cdot g - T_{1} = - m_{1} \cdot a$ ;

$OY : m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$ .

5. Как мы уже знаем, при движении тел, связанных невесомой нитью, силы натяжения нити Т₁ и Т₂, приложенные к телам, равны по модулю:

$T_{1} = T_{2} = T$ .

6. Решаем полученную систему относительно неизвестного ускорения методом сложения:

$\{\begin{cases} m_{1} \cdot g - T = - m_{1} \cdot a \\ m_{2} \cdot g - T = m_{2} \cdot a \end{cases}$

Тогда

$a = \frac{m_{1} \cdot g - m_{2} \cdot g}{- m_{1} - m_{2}} = \frac{5 \cdot 10 - 10 \cdot 10}{- 5 - 10} \approx 3, 3 м / с^{2}$ .

Ответ: $a = 3, 3 м / с^{2}$ .

Пример 3

К одному концу нерастяжимой верёвки массой 0,5 кг привязывают груз массой 2 кг. Верёвку вместе с грузом поднимают вертикально вверх, прикладывая силу, равную 50 Н. Найти ускорение системы, а также модули сил упругости, действующие на противоположные концы верёвки.

Решение

1. Верёвка по условию задачи нерастяжима, примем, что груз и верёвка движутся поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3: силы, действующие на бруски

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОY направим в сторону движения
системы — в направлении действия силы $\vec{F}$ (рис. 4). Обозначим массу груза m₂, массу верёвки m₁.

К верхнему концу верёвки, к точке А, по условию приложена сила $\vec{F}$ , в этой точке возникает сила упругости ${\vec{T}}_{1}$ , действующая на источник силы $\vec{F}$ (например, на руку человека, который тянет верёвку).

В месте крепления груза, в точке В, на верёвку действует вес груза $\vec{P}$ , в результате в этой точке возникает сила упругости ${\vec{T}}_{2}$ , действующая на груз.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для верёвки и для груза:

$\vec{F} + m_{1} \cdot \vec{g} + \vec{P} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

$m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на ось ординат:

$OY : F - m_{1} \cdot g - P = m_{1} \cdot a$ ;

$OY : T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a$ .

5. По третьему закону Ньютона силы ${\vec{T}}_{2}$ и $\vec{P}$ равны по модулю и противоположны по направлению:

$P = T_{2}$ .

6. Решаем полученную систему с учётом соотношения:

$\{\begin{cases} F - m_{1} \cdot g - T_{2} = m_{1} \cdot a \\ T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a \end{cases}$

Тогда

$a = \frac{F - g \cdot (m_{1} + m_{2})}{m_{1} + m_{2}} = \frac{50 - 10 \cdot (0, 5 + 2)}{0, 5 + 2} = 10 м / с^{2}$ .

Найдём Т₂:

$T_{2} = m_{2} \cdot g + m_{2} \cdot a = 40 Н$ .

Наконец, найдём значение силы Т₁: согласно третьему закону Ньютона, данная сила будет равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой верёвку тянут вверх:

$T_{1} = F = 50 Н$ .

Ответ: $a = 10 м / с^{2}$ ; $T_{1} = 50 Н$ ; $T_{2} = 40 Н$ .

Упражнение 1

1. Два бруска массами m₁ = 1 кг и m₂ = 3 кг связаны лёгкой невесомой нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени на брусок массой m₂ начинает действовать сила F = 20 Н, в результате чего бруски начинают поступательное движение. Найти ускорение системы брусков, если коэффициент трения между поверхностью и брусками равен 0,4.

2. На нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 300 и 500 г. Какова сила натяжения нити во время движения?

3. Тепловоз массой 80 т тянет два вагона массой по 20 т каждый с ускорением 0,2 м/с². Найти силу тяги тепловоза, если коэффициент трения равен 0,005.

Ответы

Упражнение 1

1. а = 1 м/с²

2. T = 3,75 Н

3. F = 30 кН

Конспект урока: Решение задач о движении связанных тел

Динамика

Сила натяжения нити

Примеры решения задач