Тождества. Тождественные преобразования выражений

План урока

Понятие тождественно равных выражений
Понятие тождества
Тождественные преобразования выражений

Цели урока

Знать, что такое тождественно равные выражения
Знать, что такое тождество
Уметь выполнять тождественные преобразования

Разминка

Не выполняя письменных вычислений, найдите значение выражения $324 \cdot 4 + 324 \cdot 5 + 324$
Какие свойства сложения и умножения вы знаете?

Представьте себе, что вы пошли в магазин фиксированных цен, где все товары представлены по $59$ рублей. Вы купили два набора ручек, семь больших тетрадей, один ежедневник, две кружки и одну раскраску. Как посчитать, сколько вы заплатили за покупку? Рассмотрим два подхода к решению этой задачи. В первом случае мы посчитаем отдельно стоимость каждой категории товаров, а затем посчитаем общую сумму покупки.

$59 \cdot 2 + 59 \cdot 7 + 59 \cdot 1 + 59 \cdot 2 + 59 \cdot 1 = 767$ рублей

Таким образом, покупка обойдется в $767$ рублей. Во втором случае мы можем заметить, что цена всех товаров одинакова, следовательно, мы можем сначала посчитать количество предметов, а затем умножить его на цену.

$59 \cdot (2 + 7 + 1 + 2 + 1) = 59 \cdot 13 = 767$ рублей

Сумма покупки составляет $767$ рублей. Таким образом, можно сделать вывод, что вне зависимости от приемов счета, которые мы используем при решении задач, при условии правильного хода мыслей, мы получим один и тот же результат. Если два выражения имеют одинаковый результат, то мы можем приравнять их.

$59 \cdot (2 + 7 + 1 + 2 + 1) = 59 \cdot 2 + 59 \cdot 7 + 59 \cdot 1 + 59 \cdot 2 + 59 \cdot 1 = 767$

Если внимательно посмотреть на эти два выражения, то можно заметить, что было применено распределительное свойство умножения. Такие выражения, значения которых равны, называются тождественно равными .

Теперь представьте себе, что мы пошли все в тот же магазин, но при этом еще не решили, сколько товаров мы возьмем. Как тогда составить выражение, с помощью которого можно будет посчитать общую сумму покупки? Пусть количество ручек будет $x$ штук, тетрадей $y$ штук, ежедневников $w$ штук, кружек $z$ штук, раскрасок $p$ штук. Тогда общая сумма покупки будет представлена выражением:

$59 \cdot x + 59 \cdot y + 59 \cdot w + 59 \cdot z + 59 \cdot p$ или $59 \cdot (x + y + w + z + p)$

На практике мы с вами узнали, что сумма покупки будет одной и той же при равном количестве продуктов каждой категории. Таким образом, два данных выражения тоже будут тождественно равными . Введем понятие тождественно равных выражений.

Выражения называются тождественно равными , если их значения равны при любых значениях переменных.

Если между двумя тождественно равными выражениями поставить знак равенства, то мы получим тождество .

$59 \cdot x + 59 \cdot y + 59 \cdot w + 59 \cdot z + 59 \cdot p = 59 \cdot (x + y + w + z + p)$

Тождеством называется равенство, верное при любых значениях переменных.

Примеры тождеств: верные числовые равенства, свойства действий над числами, изученные ранее, и т. п.

Пример 1

Запишите в виде тождества следующее утверждение: при сложении выражений, одинаковых по модулю, но с разными знаками, получается нуль.

Решение

Для начала составим самое простое выражение:

$p + (- p) = 0$

То же правило будет работать для любых выражений, приведем несколько примеров:

$3 e - 5 r + (5 r - 3 e) = 0$

$9 b + 3, 2 w - (9 b + 3, 2 w) = 0$

Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять. Напомним правила выполнения этих преобразований.

1. Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

2. Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

3. Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Пример 2

Упростите выражение: $- 3 (6 p + 4) + 18 p$ .

Решение

1. Раскроем скобки:

$- 3 (6 p + 4) + 18 p = - 18 p - 12 + 18 p$

2. Приведем подобные:

$- 18 p - 12 + 18 p = (- 18 p + 18 p) - 12 = - 12$

Ответ: $- 12$ .

Замену одного выражения другим, тождественно равным данному, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Пример 3

Являются ли тождественно равными выражения $3 p c - 4$ и $- (4 - 3 p c) ?$

Решение

1. Применим правило вынесения общего множителя за скобки и вынесем $- 1$

$3 p c - 4 = - 1 (- 3 p c + 4)$

2. Поменяем местами слагаемые в скобках

$- 1 (- 3 p c + 4) = - (4 - 3 p c)$

3. Путем тождественных преобразований мы получили из первого выражения второе, следовательно, эти выражения являются тождественно равными.

Ответ: являются.

Пример 4

Является ли тождеством выражение $0, 4 c \cdot 3, 1 v = 12, 4 c v ?$

Решение

Выражение будет являться тождеством, если левая и правая части равенства будут тождественно равны, следовательно, преобразуем левую часть:

$0, 4 c \cdot 3, 1 v = 0, 4 \cdot 3, 1 c v = 1, 24 c v$

Проверим равенство:

$1, 24 c v \neq 12, 4 c v$

В результате тождественных преобразований левой части не получилось равенство, следовательно, исходное выражение не является тождеством.

Ответ: не является.

Упражнение 1

1. Являются ли тождественно равными выражения $3 (4 c - 5)$ и $- 15 + 12 c ?$

2. Упростите выражение:

а) $2 (4, 6 - 3, 1 a) + 6 a - 20$ ;

б) $(1 - 8 y) - (10 y - 7) - 8$ .

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры тождеств с переменными.

2. Какие выражения называются тождественно равными?

3. Какое равенство называется тождеством?

Ответы

Упражнение 1

1. Да

2. а) $- 10, 8 - 0, 2 a$ ;

б) $- 18 y$ .

Конспект урока: Тождества. Тождественные преобразования выражений

Алгебраические выражения