- Сравнение числовых выражений
- Сравнения выражений с переменными
- Двойные неравенства
- Строгие и нестрогие неравенства
- Уметь сравнивать значения выражений
- Знать, что такое строгое и нестрогое неравенства
- Знать, как выглядит и читается двойное неравенство
- Что тяжелее, килограмм железа или килограмм пуха?
- Кто быстрее бегает, кролик или черепаха?
Представьте себе, что вы с другом на перемене решили сыграть в необычные крестики-нолики. Выигрывает тот человек, кто нарисует наибольшее количество крестиков или ноликов за определённое время. Вы нарисовали крестиков за минут, а ваш друг нарисовал нолика за то же время. Как узнать, кто быстрее рисовал значки на бумаге?
Можно подойти к этой задаче логически и сделать вывод, что ваш друг быстрее рисовал нолики, т. к. он нарисовал их больше, чем вы, за то же количество времени.
Можно подойти к этому вопросу математически, ведь если разделить количество знаков на время, за которое мы их нарисовали, то получится скорость рисования этих знаков, иначе — производительность нашей работы. Чтобы узнать, кто быстрее рисовал значки, нужно найти скорость их рисования. Вы рисовали их со скоростью знаков в минуту, а ваш друг — знаков в минуту. Мы получили два числовых выражения. Их можно сравнить и установить, равны они или нет, и если они не равны, то установить, какое их них больше и какое меньше. Это работает для двух любых числовых выражений.
Рассмотрим, какие варианты записи результата сравнения выражений существуют.
Пример 1
Сравните значения выражений и .
Решение
1. Найдём значение каждого выражения:
2. Сравним значения выражений: .
3. Поставим соответствующий знак неравенства в исходное выражение.
Ответ: .
Кроме числовых выражений есть выражения с переменными, в которых для разных значений переменных результат сравнения значения этих выражений может быть разным.
Пример 2
Сравните значения выражений и при .
Решение
1. Если , то , а , т. е. при верно неравенство
( меньше, чем ).
2. Если , то , а , т. е. при верно равенство ( равно ).
3. Если , то , а , т. е. при верно неравенство ( больше, чем ).
Упражнение 1
1. Сравните значения выражений и .
2. Сравните значения выражений и при .
Рассмотрим ещё одну ситуацию: в размерной сетке женской одежды
-му размеру одежды соответствует обхват талии от до см. Это значит, что если ваша талия равняется , , , , см, то, скорее всего, вы носите 42-й размер одежды. Как мы можем записать это с помощью неравенства? Пусть обхват талии будет обозначаться буквой . Получается двойное неравенство: , которое читают так: больше или равно , но меньше или равно .
Пример 3
Запишите неравенством фразу: число находится между числами и .
Решение
Если число находится между числами и , значит, оно больше и меньше Запишем эти утверждения с помощью неравенства:
и .
Объединим эти два неравенства в одно:
Ответ: .
Неравенства, составленные с помощью знаков и , называют строгими, а неравенства, составленные с помощью знаков и , называют нестрогими.
Упражнение 2
1. Запишите в виде двойного неравенства: число больше или равно , но меньше
2. Запишите в виде двойного неравенства: число меньше , и меньше .
Контрольные вопросы
1. Какие неравенства называются двойными? Как вы думаете, почему их так назвали?
2. Приведите пример двойного неравенства и прочитайте его.
3. Какие знаки используются для записи неравенств?
4. С помощью каких знаков записывают строгие неравенства?
5. С помощью каких знаков записывают нестрогие неравенства?
Упражнение 1
1. .
2. При получаем ;
При получаем ;
При получаем .
Упражнение 2
1. .
2. .