Умножение дробей. Нахождение дроби от числа

План урока

Умножение дроби на натуральное число
Умножение дробей
Нахождение дроби от числа

Цели урока

Знать правило умножения дроби на натуральное число, правило умножения дробей, правила нахождения дроби от числа, процентов от числа
Уметь умножать дроби на натуральное число, дроби, решать задачи на нахождение дроби от числа, процента от числа.

Разминка

Сформулируйте алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.
Как нужно сравнивать дроби с разными знаменателями?
Как нужно складывать дроби с разными знаменателями?

Умножение дробей

Катя принесла домой 3 книги весом $\frac{2}{7}$ кг каждая. Сколько весят книги?

Чтобы решить эту задачу, нужно массу одной книги умножить на их количество.

Заменим умножение сложением:

$\frac{2}{7} \cdot 3 = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{6}{7} .$

По значению выражения видно, что мы умножили числитель дроби в первом множителе на второй множитель, а знаменатель остался прежним. Почему не изменился знаменатель? Представим число 3 в виде неправильной дроби со знаменателем 1: $\frac{3}{1}$ . При умножении 7 на 1 получаем 7.

$\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{1} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \frac{6}{7} .$

Обычно единицу в знаменателе не записывают, пишут натуральное число как множитель в числитель.

1) Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо умножить ее числитель на это число, а знаменатель оставить прежним:

$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$

2) Произведение обыкновенных дробей — это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Если множители представляют собой смешанные числа, необходимо их перевести в неправильные дроби и выполнить умножение:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Свойства умножения натуральных чисел распространяются и на дроби:

1. Переместительное свойство умножения:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m} = \frac{n}{m} \cdot \frac{a}{b}$

2. Сочетательное свойство умножения:

$(\frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m}) \cdot \frac{k}{h} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{n}{m} \cdot \frac{k}{h})$

3. Распределительное свойство умножения относительно сложения/вычитания:

$\frac{k}{h} \cdot (\frac{a}{b} + \frac{n}{m}) = \frac{k}{h} \cdot \frac{a}{b} + \frac{k}{h} \cdot \frac{n}{m}$

$\frac{k}{h} \cdot (\frac{a}{b} - \frac{n}{m}) = \frac{k}{h} \cdot \frac{a}{b} - \frac{k}{h} \cdot \frac{n}{m}$

Пример 1

Найти значение выражения:

1) $\frac{3}{7} \cdot 5$ ; 2) $\frac{3}{5} \cdot \frac{15}{16}$ ; 3) $2 \frac{3}{4} \cdot 3 \frac{1}{3}$ ; 4) $(2 - \frac{3}{4} + \frac{5}{8}) \cdot 16$ ; 5) $3 \frac{7}{11} \cdot \frac{5}{6} + \frac{4}{11} \cdot \frac{5}{6}$ .

Решение

1) Вспомним правило умножения дроби на натуральное число. Умножаем 3 на 5 и произведение записываем в числитель, знаменатель не изменяется.

Также можно использовать правило умножения обыкновенных дробей, для этого представим число 5 в виде дроби со знаменателем 1. Умножим дроби по алгоритму.

Выделим из полученной дроби целую часть: $\frac{15}{7} = 2 \frac{1}{7}$

2) Умножим дроби по алгоритму, предварительно их сократив.

3) Представим смешанные числа в виде неправильных дробей.

4) Можно сначала вычислить значение выражения в скобках, затем умножить его на 16, а можно воспользоваться распределительным свойством умножения:

$(2 - \frac{3}{4} + \frac{5}{8}) \cdot 16 = 2 \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 16 + \frac{5}{8} \cdot 16 = 32 - 12 + 10 = 30 .$

5) Из распределительного свойства умножения следует, что

$\frac{a}{b} \cdot \frac{k}{h} + \frac{n}{m} \cdot \frac{k}{h} = \frac{k}{h} (\frac{a}{b} + \frac{n}{m})$ .

Тогда:

$3 \frac{7}{11} \cdot \frac{5}{6} + \frac{4}{11} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6} \cdot (3 \frac{7}{11} + \frac{4}{11}) = \frac{5}{6} \cdot 4 = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3} .$

Ответ: 1) $2 \frac{1}{7}$ ; 2) $\frac{9}{16}$ ; 3) $9 \frac{1}{6}$ ; 4) $30$ ; 5) $3 \frac{1}{3}$ .

Пример 2

Упростите выражение $\frac{4}{9} a + \frac{7}{27} a - \frac{2}{3} a$ и найдите его значение при $a = 2 \frac{1}{13}$ .

Решение

Для упрощения выражения воспользуемся распределительным свойством умножения:

$\frac{4}{9} a + \frac{7}{27} a - \frac{2}{3} a = a (\frac{4}{9} + \frac{7}{27} - \frac{2}{3}) = a (\frac{12}{27} + \frac{7}{27} - \frac{18}{27}) = a \cdot \frac{1}{27}$

Поменяв местами множители, используя переместительное свойство умножения, получим, что данное выражение равно $\frac{1}{27} a$ .

Если $a = 2 \frac{1}{13}$ , то

Ответ: $\frac{1}{13}$ .

Пример 3

Выполните умножение (буквами обозначены натуральные числа)

$\frac{50 a b}{11 c} \cdot \frac{44 c}{75 a}$

Решение

Ответ: $\frac{8 b}{3}$ .

Нахождение дроби от числа

Вы уже умеете решать задачи на проценты. Для того, чтобы найти заданный процент от числа, нужно сначала найти значение 1% от числа, затем умножить его на заданное количество процентов. Аналогично можно решать задачи на нахождение дроби от числа. Сначала находят значение одной части, затем умножают на их количество.

В классе 30 учащихся. Из них $\frac{3}{5}$ — девочки. Сколько девочек в классе?

1) 30 : 5 = 6 (чел.) — это $\frac{1}{5}$ часть всех учащихся класса.

2) 6 ∙ 3 = 18 (чел.) — девочек в классе.

В таких случаях говорят, что нашли $\frac{3}{5}$ от числа 30. Подобные задачи называют задачами на нахождение дроби от числа.

$\frac{3}{5} \cdot 30 = \frac{3 \cdot 30}{5} = 18$ (чел.) — девочек в классе.

Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.

Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Пример 4

В классе 30 учеников. 60% учащихся составляют девочки. Сколько девочек в классе?

Решение

1) Переведем проценты в дробь: 60% = 0,6

2) Умножим дробь на число:

$0, 6 \cdot 30 = 18$ (чел.) — девочек в классе.

Ответ: 18 девочек.

Пример 5

Найдите:

1) $\frac{2}{3}$ от 45;

2) 60% от 85;

3) $\frac{3}{4}$ градусной меры развернутого угла;

4) 21,6% километра.

Решение

1) $45 \cdot \frac{2}{3} = \frac{45 \cdot 2}{3} = 30$ .

2) 60% — это 0,6;

$85 \cdot 0, 6 = 51$ .

3) Градусная мера развернутого угла — 180°.

$180 \cdot \frac{3}{4} = \frac{180 \cdot 3}{4} = 135$ . Получили, что $135 ° - \frac{3}{4}$ от 180°.

4) 1 км = 1000 м;

$21, 6 % = 0, 216$ ;

$1000 \cdot 0, 216 = 216$ (м).

* Здесь можно было бы километры переводить в сантиметры, миллиметры.

Ответ: 1) 30; 2) 51; 3) 135°; 4) 216 м.

Пример 6

В магазин привезли 558 кг овощей: картофеля, капусты и лука. Лук составил 44% количества капусты, картофель — 135% количества капусты. Сколько кг лука привезли в магазин?

Решение

Пусть $x$ кг капусты привезли в магазин. Тогда $0, 44 x$ кг было лука и $1, 35 x$ кг было картофеля. По условию, всего в магазин привезли 558 кг овощей. Составим и решим уравнение:

$0, 44 x + x + 1, 35 x = 558$ ,

$x (0, 44 + 1 + 1, 35) = 558$ ,

$2, 79 x = 558$ ,

$x = 200$ .

Итак, 200 кг капусты привезли в магазин.

0,44 · 200 = 88 (кг) — лука привезли в магазин.

Ответ: 88 кг.

Упражнения

1. $\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{20};$

2. $\frac{16}{25} \cdot 15;$

3. $1 \frac{1}{2} \cdot 3;$

4. $4 \frac{3}{7} \cdot 8 \frac{4}{9} - 4 \frac{3}{7} \cdot 6 \frac{4}{9};$

5. За весь товар заплатили 60 рублей. За хлеб заплатили $\frac{2}{5}$ общей стоимости. Сколько стоит хлеб?

Контрольные вопросы

1. Как умножить дробь на натуральное число?

2. Как умножить дробь на смешанное число?

3. Как найти дробь от числа?

Ответы

1. $\frac{1}{12};$

2. $9 \frac{3}{5};$

3. $4 \frac{1}{2};$

4. $8 \frac{6}{7};$

5. 24 рубля.

Конспект урока: Умножение дробей. Нахождение дроби от числа

Обыкновенные дроби

Умножение дробей

Нахождение дроби от числа