Конспект урока: Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Приведение дробей к общему знаменателю

Для того, чтобы сравнивать, складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, необходимо привести эти дроби к общему знаменателю.

Рассмотрим дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{6}$.

Общий знаменатель — это число, которое делится нацело на каждый из знаменателей, т. е. это общее кратное чисел 8 и 6. Удобнее использовать наименьшее общее кратное. 

НОК (8; 6) = 24.

Приведем дробь $\frac{3}{8}$ к знаменателю 24. Используя основное свойство дроби, заметим, что числитель и знаменатель необходимо умножить на 3. Это число называют дополнительным множителем.

$\frac{3}{8}=\frac{3·3}{8·3}=\frac{9}{24}$.

Аналогично приводим дробь $\frac{1}{6}$ к знаменателю 24, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель 4.

$\frac{1}{6}=\frac{1·4}{6·4}=\frac{4}{24}.$

Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю

Решение

НОК (12; 18) = 36.

Дополнительный множитель к первой дроби — 3, ко второй — 2.

Ответ: $\frac{15}{36}$; $\frac{14}{36}$.

Сравнение дробей с разными знаменателями

Зная, как приводить дроби к общему знаменателю, мы можем сравнивать дроби с разными знаменателями.

Правило сравнения дробей с разными знаменателями

Решение

Приведем дроби к общему знаменателю.

НОК (5; 4) = 20.

Дополнительный множитель к первой дроби:

20 : 5 = 4.

Дополнительный множитель ко второй дроби:

20 : 4 = 5.

Умножив числители и знаменатели дробей на их дополнительные множители, получим дроби $\frac{8}{20}$ и $\frac{15}{20}$.

Используем правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями (из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше), т. е. $\frac{8}{20} < \frac{15}{20},$значит $\frac{2}{5}<\frac{3}{4}.$

Ответ: $\frac{2}{5}<\frac{3}{4}.$

Решение

Приведем все дроби к наименьшему общему знаменателю: НОК (4; 12; 6) = 12.

$\frac{3}{12}<\frac{x}{12}<\frac{10}{12}$.

Видим, что в качестве $x$ можно взять натуральные числа, большие 3, но меньшие 10, это 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Нам уже известны правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. 

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$;       $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$.

А как же сложить, например, $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{4}$? 

Правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Решение

1) Приведем дроби к общему знаменателю, найдем сумму дробей. 

$\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}$

Так как в ответе получилась неправильная дробь, выделим из нее целую часть.

$\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$

2) Представим единицу в виде неправильной дроби со знаменателем 4: $1=\frac{4}{4}$. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

$1-\frac{3}{4}=\frac{4}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

3) Занимаем единицу в целой части и представляем ее в виде неправильной дроби со знаменателем 7. Получаем смешанное число $32\frac{7}{7}$. Выполняем вычитание по алгоритму.

$33-5\frac{4}{7}=32\frac{7}{7}-5\frac{4}{7}=27\frac{3}{7}$

4) Приводим дроби к общему знаменателю:

$5\frac{2}{9}-3\frac{5}{6}=5\frac{4}{18}-3\frac{15}{18}$
 

Так как вычитание в дробной части мы выполнить не можем, (4 < 15), занимаем единицу у уменьшаемого и представляем ее в виде неправильной дроби:

$5\frac{4}{18}=4\frac{18}{18}+\frac{4}{18}=4\frac{22}{18}$

Выполняем вычитание по алгоритму:

$5\frac{4}{18}-3\frac{15}{18}=4\frac{22}{18}-3\frac{15}{18}=1\frac{7}{18}$

Ответ: 1) $1\frac{1}{6}$; 2) $\frac{1}{4}$; 3) $27\frac{3}{7}$; 4) $1\frac{7}{18}$.

Для дробей, как и для натуральных чисел, выполняются свойства сложения:

1) $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$ переместительное свойство сложения;

2) $\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)$ сочетательное свойство сложения.

Решение

Воспользуемся сначала переместительным, затем сочетательным свойствами сложения:

$1\frac{3}{16}+\frac{5}{16}+3\frac{5}{24}+5\frac{7}{24}=\left(1\frac{3}{16}+\frac{5}{16}\right)+\left(3\frac{5}{24}+5\frac{7}{24}\right)=1\frac{8}{16}+8\frac{12}{24}=1\frac{1}{2}+8\frac{1}{2}=10$

Ответ: 10.

Решение

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность:

$x-1\frac{5}{18}=5\frac{4}{9}-2\frac{4}{27}$

Наименьший общий знаменатель дробей $\frac{4}{9}$ и $\frac{4}{27}$ равен 27, тогда 

$5\frac{4}{9}-2\frac{4}{27}=5\frac{12}{27}-2\frac{4}{27}=3\frac{8}{27}$.

Имеем:

$x-1\frac{5}{18}=3\frac{8}{27}$,

$x=3\frac{8}{27}+1\frac{5}{18}$,

$x=4\frac{31}{54}$.

Ответ: $4\frac{31}{54}$.