- Основное свойство дроби
- Сокращение дробей
- Знать основное свойство дроби
- Знать, что означает «сократить дробь», несократимая дробь
- Уметь сокращать дроби
- Какие числа называются составными?
- Как найти НОД чисел?
- Какие числа называются взаимно простыми?
Основное свойство дроби
Степа и Вася купили себе по пицце, каждую из которых поделили на равное количество частей: Степа — на 4, Вася — на 8. Степа съел 2 куска из 4, а Вася 4 куска из 8. Кто из мальчиков съел больше?
На рис. 1 видно, что и пиццы — это одинаковая часть. Получается, что мальчики съели одинаковую часть от пиццы. На рисунке слева пицца разделена на 4 части. Если каждую часть еще разделить пополам, то получится 8 равных частей. Тогда 2 из 4 частей будут равны 4 из 8 частей. Деление каждого кусочка пиццы на 2, 3, 4 и т. д. равных частей можно описать равенствами:
На рис. 2 верхний прямоугольник разделен на 8 равных частей, 4 из которых закрашены. Если бы мы разделили его на 4 равные части, тогда закрашены были бы 2 части,
т. е. . В данном случае мы не увеличиваем исходное количество частей, а уменьшаем в два раза:
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
,
,
Пример 1
Найдите значение , при котором верно равенство .
Решение
Числитель первой дроби увеличили в 5 раз, получили 15. Значит и знаменатель первой дроби должен быть увеличен в 5 раз.
.
Ответ: 11.
Сокращение дробей
Из основного свойства дроби следует, что если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, допустим на 2, то значение дроби не изменится. Такое действие называют сокращением дроби . Говорят, что дробь сократили на 2.
Но ту же самую дробь можно сократить не только на 2, но и на 4.
Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби .
Дробь сократить нельзя, так как числа 3 и 4 не имеют общих делителей, отличных от единицы, т. е. они взаимно простые числа. Такая дробь называется несократимой. Принято сокращать дробь до несократимой дроби.
Несократимая дробь — дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.
Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получится несократимая дробь.
Пример 2
Сократите дробь
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель.
НОД (45; 60) = 15.
Ответ:
Пример 3
Найдите значение выражения: .
Решение
Для упрощения вычислений попробуем сократить дробь. Найдем пару чисел (одно из числителя, другое из знаменателя) с общим делителем: числа 33 и 22 делятся на 11 (11 = НОД (33; 22)). Зачеркиваем их и рядом пишем частное от деления на 11. Числа 12 и 36 делятся на 12 (12 = НОД (12; 36)). Около 12 пишем 1, т. к.
12 : 12 = 1, около 36 – 3, т. к. 36 : 12 = 3. Находим произведение этих частных:
Ответ:
Пример 4
Найдите значение выражения: .
Решение
В числителе и знаменателе применим распределительное свойство умножения и сократим получившуюся дробь:
Ответ:
Пример 5
Какую часть:
- часа составляет 96 минут?
- суток составляет 12 часов?
- развернутого угла составляет угол, градусная мера которого равна 117°?
Решение
1) 1 час содержит 60 минут, т. е. 1 минута – это часа. Тогда 96 минут – это часа. Данную дробь можно сократить на 12. Получим:
.
2) В одних сутках 24 часа, значит, 1 час составляет суток. Тогда 12 часов составляют суток или суток.
3) составляет развернутого угла. Тогда – это развернутого угла или развернутого угла.
Ответ: 1) часа; 2) суток; 3) развернутого угла.
Пример 6
Решите уравнение .
Решение
.
Уравнение примет вид: .
Так как дроби равны и числители этих дробей равны, то и знаменатели тоже должны быть равными, т. е.
;
;
.
Ответ: 6.
Упражнения
Сократите дроби:
1.
2.
3. .
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте основное свойство дроби.
2. Что такое несократимая дробь?
3. На какое число не имеет смысла делить числитель и знаменатель при сокращении дробей?
4. Как найти число, на которое нужно разделить числитель и знаменатель дроби, чтобы она стала несократимой?
1.
2.
3.