Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Решение уравнений

План урока

Действия с обеими частями уравнения.
Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.

Цели урока

Знать правила выполнения действий над обеими частями уравнения, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
Уметь решать уравнения.

Разминка

Что такое коэффициент?
Как складывать, вычитать числа с разными знаками? С одинаковыми знаками?
Как умножать и делить числа, имеющие разные знаки? Одинаковые знаки?

Действия с обеими частями уравнения

В начальной школе вы уже научились решать уравнения, в которых неизвестное может стоять на месте слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делителя или делимого. Сегодня вы научитесь решать уравнения, где компоненты действий представляют собой выражения, а неизвестное может стоять сразу в обеих частях уравнения.

1. Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

$a = b, a + c = b + c;$

$a = b, a - c = b - c;$

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

$a = b, a \cdot c = b \cdot c; c \neq 0;$

$a = b, a : c = b : c; c \neq 0 .$

Чтобы показать, что арифметическое действие выполняется над обеими частями уравнения, само действие записывается за вертикальной чертой после уравнения:

$2 x - 4 = 3 x + 5 | + 5$

$2 x - 4 + 5 = 3 x + 5 + 5$

$2 x + 1 = 3 x + 10$

С помощью прибавления или вычитания можно решить подобное уравнение:

$x - 5 = 14 | + 5$

$x = 19 .$

Если перед неизвестным стоит коэффициент, можно использовать деление обеих частей на коэффициент:

$3 x = 12 | : 3$

$x = 4 .$

Таким образом, строка решения $x = 12 : 3$ опускается.

Такой прием используется для упрощения записи решения уравнения.

При решении уравнений, в которых коэффициент представляет собой дробь, удобно использовать умножение обеих частей уравнения:

$\frac{1}{4} x = 2, 3 | \cdot 4$

$x = 9, 2 .$

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую

Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.

Рассмотрим уравнение $3 x + 8 = 4 x - 2, 5$

Перенесем слагаемое $4 x$ из правой части в левую часть, а слагаемое $8$ — из левой в правую часть, изменив их знаки на противоположные:

$3 x - 4 x = - 2, 5 - 8 .$

Приведем подобные слагаемые:

$- x = - 10, 5$

Разделим обе части на коэффициент перед неизвестным $x$ :

$- x = - 10, 5 | : (- 1)$

$x = 10, 5$

Пример 1

Решите уравнения:

1) $\frac{5}{x + 1, 4} = \frac{7}{x - 2, 2}$ ;

2) $- \frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} = - \frac{x}{3}$ .

Решение

1) $\frac{5}{x + 1, 4} = \frac{7}{x - 2, 2}$ .

Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции:

$5 (x - 2, 2) = 7 (x + 1, 4)$ .

Применим к полученному выражению распределительное свойство умножения:

$5 x - 11 = 7 x + 9, 8$ .

Соберем слагаемые с переменной в левой части, без переменной — в правой, не забывая при переносе менять знаки выражений на противоположные:

$5 x - 7 x = 9, 8 + 11$ .

Решим полученное уравнение:

$- 2 x = 20, 8$ ,

$x = - 10, 4$ .

2) $- \frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} = - \frac{x}{3}$ .

Умножим обе части уравнения на НОК (5; 2; 3) = 30.

$- \frac{30 \cdot 2 x}{5} - \frac{30}{2} = - \frac{30 x}{3}$ ;

$- 12 x - 15 = - 10 x$ ,

$- 12 x + 10 x = 15$ ,

$- 2 x = 15$ ,

$x = - 7, 5$ .

Ответ: 1) -10,4; 2) -7,5.

Пример 2

При каком значении переменной $x$ значение выражения $3, 2 (0, 5 - 6 x)$ на 1,4 меньше значения выражения $- 2 (5 x - 4)$ .

Решение

Составим уравнение по условию задания:

$3, 2 (0, 5 - 6 x) + 1, 4 = - 2 (5 x - 4)$ .

Раскроем скобки, перенесем слагаемые с переменной в левую часть, без переменной — в правую, поменяв знаки выражений на противоположные при переносе, решим уравнение:

$1, 6 - 19, 2 x + 1, 4 = - 10 x + 8$ ,

$- 19, 2 x + 10 x = 8 - 1, 6 - 1, 4$ ,

$- 9, 2 x = 5$ .

$x = - \frac{25}{46}$ .

Ответ: $- \frac{25}{46}$ .

Упражнения

1. Решите уравнение:
1) 6x = 28 – x; 2) 9x – 26 = 30 – 5x;

3) 7 – 3x = 6x – 56; 4) 0,9x – 7,4 = – 0,4x +4,3;

2. Найдите корень уравнения:
1) 5(x – 4) = x + 8; 2) 9 – 7(x + 3) = 5 – 6x;

3) (7x + 9) – (11x – 7) = 8.

Контрольные вопросы

1. По какому правилу переносят слагаемые из одной части уравнения в другую?

2. Можно ли умножить обе части уравнения на нуль?

3. Какие действия можно использовать в обеих частях уравнения одновременно, чтобы корни уравнения остались прежними? Какое условие должно быть соблюдено?

Ответы

1. 1) 4; 2) 4; 3) 7; 4) 9.

2. 1) 7; 2) – 17; 3) 2.

Конспект урока: Решение уравнений

Решение уравнений и неравенств

Действия с обеими частями уравнения

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую