Конспект урока: Решение задач с помощью уравнений

Решение задач с помощью уравнений

Мы уже знаем, что уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти. Используя уравнения, решать многие задачи проще, чем какими-либо другими способами. Сегодня мы узнаем, как составить уравнение, чтобы решать те или иные задачи.

Для решения любой задачи важно хорошо изучить её условие, определить исходные данные и найти взаимосвязь известных величин с искомыми.

Алгоритм решения задач с помощью уравнений

В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили в сундук 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Решение

Пусть x — количество монет в мешке, а, значит, в сундуке: 3x монет. После того, как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке стало: (3x + 24) монет, а в мешке 

(x – 24) монет. И если в сундуке их стало в 7 раз больше чем в мешке, то имеем: 

7(x – 24) = 3x + 24

Решим полученное уравнение.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$7x - 7·24=3x+24$

Перенесём все слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а всё, что не содержит x, в правую, получим: 

$7x-3x=24+7·24$

После упрощения получили 

$4x=192.$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е. на 4, тогда получим

x = 48.

За переменную x мы обозначали количество монет в мешке, значит в мешке 48 монет. По условию в сундуке в три раза больше, тогда монет в сундуке:  $48·3=144.$

Ответ: 48 монет в мешке; 144 монеты в сундуке.

По шоссе едут два автомобиля с одной и той же скоростью. Если первый увеличит скорость на 20 км/ч, а второй уменьшит скорость на 20 км/ч, то первый за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и второй за 4 часа. Найдите первоначальную скорость автомобилей.

Решение

Пусть автомобили едут со скоростью V км/ч, тогда после ускорения первого автомобиля его скорость стала: 

(V + 20) км/ч, а скорость второго после замедления стала: 

(V – 20) км/ч. По известной нам формуле S = Vt (S — расстояние, V — скорость, t — время), расстояние, пройденное первым автомобилем после ускорения 2(V + 20) км , вторым после замедления — 4(V – 20)км.

Нам известно по условию, что расстояния будут одинаковы, т.е.

2(V + 20)=4(V – 20).

Раскроем скобки:

2V + 40 = 4V – 80.

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть уравнения, числа — в правую.

2V – 4V = – 80 – 40.

Приведем подобные слагаемые:

– 2V = – 120.

Разделим обе части уравнения на коэффициент:

V = 60.

Первоначальная скорость машин: V = 60 км/ч

Ответ: 60 км/ч.

Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый день прошел  $\frac{1}{2}$ всего пути, во второй день — 0,6 оставшегося пути, а в третий день — остальные 24 км. Найти длину пути, пройденного ледоколом за три дня.

Решение

Пусть $x$ км прошел ледокол за три дня. Тогда в первый день он прошел $\frac{1}{2}x$ км. Найдем расстояние, которое ему осталось пройти после первого дня: $x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$  км. Тогда во второй день он прошел $0,6·\frac{1}{2}x$км, и в третий день 24 км. Если мы сложим расстояния, которые ледокол прошел в каждый из дней, то получим общее расстояние за 3 дня, т.е. $x$.

Составим уравнение:

$\frac{1}{2}x+0,6·\frac{1}{2}x+24=x.$

Упростим второе слагаемое:

$\frac{1}{2}x+0,3x+24=x.$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а числа — в правую часть.

$\frac{1}{2}x+0,3x-x=-24$

Приведем подобные слагаемые:

$-0,2x=-24.$

Разделим обе части уравнения на (– 0,2).

$x = 120$.

120 км прошел ледокол за три дня.

Ответ: 120 км.

1. Провод длиной 456 м разрезали на три части, причём первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая — на 114 м длиннее третьей. Найдите длину каждой части провода.

2. В первом ящике было в 7 раз больше апельсинов, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 38 апельсинов, а из второго — 14, то во втором осталось на 78 апельсинов меньше, чем в первом. Сколько апельсинов было в каждом ящике вначале?

3. От села до города легковой автомобиль доехал за 3 ч, а грузовой — за 5 ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость грузового автомобиля на 32 км/ч меньше скорости легкового автомобиля.

1. Для чего используют прием составления уравнений для решения задачи?

2. Расскажите алгоритм решения задачи с помощью уравнения.