Конспект урока: Дроби и деление натуральных чисел. Смешанные числа

Понятие смешанного числа

Рис. 1. Пример смешанного числа

На тарелке лежало 5 апельсинов. Коля, Вася и Дима решили поделить их поровну. Мы с вами уже знаем, что если 5 разделить на 3, то мы получим дробь $\frac{5}{3}.$ Чтобы разделить апельсины поровну, можно каждый разрезать на 3 части, или разрезать только 2 апельсина на 3 части, а оставшиеся 3 целиком отдать по одному каждому из ребят. Тогда каждый получит по одному целому апельсину и по $\frac{2}{3}$ от целого апельсина (рис. 1). 

 

Получается, что $\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}.$

 

Сумму чисел в правой части можно записать по-другому: $1+\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}.$ Такие числа называются смешанными числами, так как в них есть и целая часть, и дробная часть.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь и неправильной дроби в смешанное число

Любую неправильную дробь, у которой числитель не делится нацело на знаменатель, можно записать в виде смешанного числа и наоборот, смешанное число можно представить в виде неправильной дроби.

Рис. 2. Выделение целой части из неправильной дроби

Для преобразования неправильной дроби в смешанное число необходимо:

1. Поделить числитель дроби на ее знаменатель.

2. Остаток от деления записать в числитель дробной части, знаменатель оставить прежним, а неполное частное записать в качестве целой части.

 

Такое действие еще называют выделением целой части из неправильной дроби.

 

Если числитель делится нацело на знаменатель, то эта дробь равна натуральному числу.

 

$\frac{28}{7}=4; \frac{45}{9}=5.$

Сложение и вычитание смешанных чисел

Обратим внимание, что свойства сложения натуральных чисел выполняются и для дробных чисел:

$a+b=b+a$ — переместительное свойство сложения;

$(a+b)+c=a+(b+c)$ — сочетательное свойство сложения.

Вычислите: $4\frac{4}{7}+8\frac{5}{7}.$

Решение

$4\frac{4}{7}+8\frac{5}{7}= (4+8)+(\frac{4}{7}+\frac{5}{7})=12+\frac{9}{7}$

Выделим из неправильной дроби $\frac{9}{7}$ целую часть, получим $12+1\frac{2}{7}=(12+1)+\frac{2}{7}=13+\frac{2}{7}=13\frac{2}{7}$

Ответ: $13\frac{2}{7}$

Вычислите: $7\frac{11}{12}-4\frac{5}{12}$

Решение

$7\frac{11}{12}-4\frac{5}{12}=(7-4)+(\frac{11}{12}-\frac{5}{12})=3+\frac{6}{12}=3\frac{6}{12}$

Ответ: $3\frac{6}{12}$

Но не всегда возможно из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого. В таком случае необходимо занять «единицу» у целой части, перевести ее в неправильную дробь, к полученному результату прибавить дробную часть уменьшаемого и затем действовать уже по правилу для нахождения разности смешанных чисел. Тот же прием используется и при вычитании смешанного числа из целого числа.

Вычислите $3-1\frac{3}{4}$

Решение

Ответ: $1\frac{1}{4}$

Вычислите $4\frac{1}{3}-2\frac{2}{3}$

Решение

Занимаем единицу:

$4\frac{1}{3}=3+\frac{3}{3}+\frac{1}{3}=3\frac{4}{3}$ — уменьшаемое

Ответ: $1\frac{2}{3}$

1. Запишите в виде смешанного числа:

1) $\frac{9}{4}$;    2) $\frac{48}{7}$.

2. Представьте смешанное число в виде неправильной дроби

1) $1\frac{1}{2}$;    2) $5 \frac{12}{25}$.

3. Вычислите:

1) $3\frac{8}{11}+2\frac{6}{11}$;    2) $1-\frac{16}{21}$.

1. Что такое смешанное число?

2. Как выделить целую часть в неправильной дроби?

3. Как найти числитель при переводе смешанного числа в неправильную дробь?

4. Сформулируйте правила сложения и вычитания смешанных чисел.