Решение треугольников. Теорема о медиане треугольника

Теорема о медиане треугольника

План урока

Теорема о медиане треугольника;
Следствие о диагоналях параллелограмма;
Примеры.

Цели урока

Знать формулу нахождения длины медианы треугольника;
Знать формулу связи длин диагоналей и сторон параллелограмма;
Уметь применять указанные формулы при решении задач.

Разминка

Что называют медианой треугольника?
Какими свойствами обладает медиана треугольника?
Диагонали какого четырехугольника точкой пересечения делятся пополам?

Теорема о медиане треугольника

Из курса планиметрии известно, что по известным трем элементам треугольника можно найти другие его элементы. Вспомним некоторые определения и теоремы.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Рис. 1. Теорема косинусов

Для доказательства следующей теоремы понадобится теорема косинусов (рис. 1):

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot c o s A$ .

Длину медианы любого треугольника можно найти, зная длины его сторон.

Теорема

Квадрат медианы $A M$ треугольника $A B C$ выражается формулой

$A M^{2} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}$ .

Рис. 2. Теорема о медиане треугольника

Рассмотрим треугольник $A B C$ , где $A M$ - медиана (рис. 2).

Длину этой медианы можно найти по теореме косинусов в треугольнике $A C M$ , тогда

$A M^{2} = A C^{2} + M C^{2} - 2 \cdot A C \cdot M C \cdot c o s C$ .

Используя теорему косинусов для треугольника $A B C,$ выразим косинус угла $C$ :

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A C \cdot B C \cdot c o s C$ ,

тогда

$c o s C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2 \cdot A C \cdot B C}$ .

Так как $A M$ - медиана треугольника, то $M C = M B = \frac{1}{2} B C$ . Подставим полученные соотношения в выражения для $A M$ :

$A M^{2} = A C^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - 2 \cdot A C \cdot \frac{B C}{2} \cdot \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2 \cdot A C \cdot B C} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A C^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}$ .

Теорема доказана.

Пример 1

В прямоугольном треугольнике $A B C$ $∠ C = 90 °$ , $A C = 4$ , $B C = 6$ . Найти длину медианы $A M$ .

Решение

Рис. 3. Прямоугольный треугольник ABC

Сначала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора:

$A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = 2 \sqrt{13}$ .

Воспользуемся теоремой о медиане треугольника:

$A M^{2} = \frac{A C^{2}}{2} + \frac{A B^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}$ .

т.е.

$A M = \sqrt{\frac{A C^{2}}{2} + \frac{A B^{2}}{2} - \frac{B C^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{4^{2}}{2} + \frac{{(2 \sqrt{13})}^{2}}{2} - \frac{6^{2}}{4}} = 5$ .

Ответ: 5.

Упражнение 1

1. Стороны треугольника равны 4, 6, 8. Найдите длину медианы, проведенную к меньшей стороне.

2. Найди длину основания равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 2, а медиана, проведенная к боковой стороне, равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Следствие о диагоналях параллелограмма

Доказанная выше теорема имеет следствие. Но сначала вспомним, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следствие

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Рис. 4. Следствие о диагоналях параллелограмма

Рассмотрим параллелограмм $A B C D$ (рис. 4).

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то $A O = \frac{1}{2} A C$ - медиана треугольника $A B D$ . Тогда, используя, предыдущую теорему, получаем

$A O^{2} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A D^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4}$ ,

или

$\frac{A C^{2}}{4} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A D^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4}$ .

Умножим обе части выражения на 4 и перенесём квадрат диагонали $B D$ в левую часть. Получили

$A C^{2} + B D^{2} = 2 A B^{2} + 2 A D^{2}$ .

Значит, $2 A B^{2} + 2 A D^{2} = A B^{2} + C D^{2} + A D^{2} + B C^{2}$ .

Следствие доказано.

Пример 2

Диагонали ромба равны 5 и 12. Найти длину стороны ромба.

Решение

Ромб – это параллелограмм, стороны которого равны. Значит, сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

Пусть сторона равна $a$ , а диагонали равны $d_{1}$ и $d_{2}$ . Тогда

$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$ .

или

$a = \frac{\sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}{2} = \frac{13}{2} = 6, 5$ .

Ответ: 6,5.

Упражнение 2

Стороны параллелограмма равны 4 и 5, а одна из его диагоналей равна 7. Найти длину другой диагонали параллелограмма.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте теорему о медиане треугольника.

2. Может ли быть медиана больше каждой из сторон треугольника? Почему?

Ответы

Упражнение 1

1. $\sqrt{46}$ ;

2. 1.

Упражнение 2

$\sqrt{33}$ .

Конспект урока: Решение треугольников. Теорема о медиане треугольника

Треугольники

Теорема о медиане треугольника

Следствие о диагоналях параллелограмма