Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Формулы площади треугольника. Формула Герона

Треугольники

26.03.2024
1272
0

Формулы площади треугольника

План урока

  • Теорема о площади треугольника, описанного около окружности;
  • Уточняющая теорема синусов и следствие из нее
  • Формула Герона.

Цели урока

  • Знать формулу площади треугольника, описанного около окружности;
  • Уметь применять формулу площади треугольника, описанного около окружности;
  • Уметь применять уточняющую теорему синусов и следствия из нее;
  • Знать формулу Герона;
  • Уметь применять формулу Герона при решении задач.

Разминка

  • Назовите известные вам формулы площади треугольника.
  • Сформулируйте теорему синусов.
  • Где лежит центр вписанной в треугольник окружности?

Теорема о площади треугольника, описанного около окружности

 

Площадь произвольного треугольника равна половине произведения стороны и высоты, опущенной на эту сторону, или S=12a·ha. Это основная формула площади треугольника. Также площадь можно найти как половину произведения сторон и синуса угла между ними, или S=12ab·sin α.

 

Треугольник имеет уникальную способность. В любой треугольник можно вписать окружность и любой треугольник можно вписать в окружность. Значит, можно предположить, что площадь треугольника можно выразить через радиусы описанной и вписанной окружностей.

 

Первая теорема связывает площадь треугольника и радиус вписанной окружности. 


Теорема

 

Площадь S треугольника выражается формулой 

 

S=p·r,

 

где p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной в него окружности.


Рис. 1. Треугольник, описанный около окружности

Доказательство этой теоремы очень простое.

 

Рассмотрим треугольник ABC и вписанную в него окружность с центром в точке O (рис. 1). 

 

Так как окружность вписана, то все стороны треугольника являются касательными и радиусы, проведенные в точки касания, будут перпендикулярны сторонам. 

 

Рассмотрим треугольники AOBAOC и BOC. Площадь каждого из них можно вычислить по основной формуле площади треугольника S=12a·ha,  где высотой каждого треугольника будет радиус вписанной окружности.

 

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOBAOC и BOC. Тогда получим

 

SABC=SAOB+SAOC+SBOC=12AB·r+12AC·r+12BC·r=

=12·(AB+AC+BC)·r=p·r,

 

где p=12·(AB+AC+BC).

 

Теорема доказана.


Пример 1

 

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25, а высота, опущенная на гипотенузу равна 6,72. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3. Найдите периметр треугольника.


Решение

 

Из формулы S=p·r выразим полупериметр:

 

p=Sr.

 

Площадь треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, т.е.

 

S=12·25·6,72=84.

 

Тогда периметр треугольника равен

 

P=2p=2Sr=2·843=56.

 

Ответ: 56.


Упражнение 1

 

1. Площадь треугольника равна 231, а радиус вписанной окружности равен 7. Найдите периметр этого треугольника.

2. Периметр треугольника равен 88, а радиус вписанной окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.


Уточняющая теорема синусов

 

Теорема синусов говорит о том, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Это утверждение можно уточнить.


Теорема

 

В треугольнике ABC имеют место равенства

 

BCsin A =ACsin B =ABsin C =2R,

 

где R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC.


Рис. 2. Треугольник, вписанный в окружность

Рассмотрим треугольник ABC и описанную около этого треугольника окружность с центром в точке O (рис. 2). 

 

Пусть угол A - острый (в треугольнике есть хотя бы один острый угол). Проведем диаметр BD и хорду DC

 

Углы BAC и BDC равны, так как являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу BCBCD=90°, так как опирается на диаметр.

 

Тогда применим теорему синусов для треугольника BDC. Получим

 

BCsin BDC=BDsin BCD=2Rsin 90°=2R.

 

Так как углы BAC и BDC равны, то

 

BCsin BDC=BCsin BAC=2R.

 

Последнее равенство описывает отношение стороны к синусу противолежащего угла в треугольнике ABC. Следовательно, теорема доказана.

Данная теорема имеет два следствия, которые связывают площадь треугольника и радиус описанной окружности.


Следствие 1

 

Площадь S треугольника со сторонами a, b, и c выражается формулой

 

S=abc4R,

 

где R - радиус описанной около него окружности.

 

Следствие 2

 

Площадь S треугольника ABC выражается формулой 

 

S=2R2·sin A·sin B·sin C,

 

где R - радиус описанной около него окружности.


Следствия можно доказать, используя формулу S=12ab·sin α, выразив синус угла через теорему синусов.

 

Формула Герона

 

Следующая формула площади треугольника одна из самых удобных. С помощью неё можно вычислить площадь треугольника, зная длины всех его сторон.


Формула Герона

 

Площадь S треугольника со сторонами a, b и c можно вычислить по формуле

 

S=pp-ap-bp-c,

 

где p - полупериметр треугольника.


Формулу можно доказать с помощью формулы S=12ab·sin α. Для этого необходимо выразить sin α через стороны треугольника, воспользовавшись теоремой косинусов и основным тригонометрическим тожеством.


Пример 2

 

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 8. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.


Решение

 

С одной стороны, площадь треугольника можно вычислить по формуле S=abc4R. Отсюда можно найти радиус описанной окружности:

 

R=abc4S.

 

С другой стороны, можно воспользоваться формулой Герона: 

 

S=pp-ap-bp-c,

 

где p=5+5+82=182=9.

 

Вычислим радиус

 

R=abc4pp-ap-bp-c=5·5·849·4·4·1=256.

 

Ответ: 256.


Упражнение 2

 

1. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 13, основание равно 24. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

2. Сторона AB треугольника ABC равна 28. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.


Контрольные вопросы

 

1. Как выразить площадь треугольника через радиус окружности, вписанной в этот треугольник?

2. Что нужно знать, чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 66. 

2. 440.

 

Упражнение 2

 

1. 16,9. 

2. 28.

Предыдущий урок
Понятие объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда
Объем
Следующий урок
Формулы площади треугольника. Формула Герона
Треугольники
Поделиться:
  • Тире между подлежащим и сказуемым

    Русский язык

  • Комбинации тел: многогранники, цилиндр, конус, шар

    Геометрия

  • Электромагнитные волны. Принципы радиосвязи и телевидения

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке