Конспект урока: Формулы площади треугольника. Формула Герона

Теорема о площади треугольника, описанного около окружности

Площадь произвольного треугольника равна половине произведения стороны и высоты, опущенной на эту сторону, или $S_{∆}=\frac{1}{2}a·h_a$. Это основная формула площади треугольника. Также площадь можно найти как половину произведения сторон и синуса угла между ними, или $S_{∆}=\frac{1}{2}ab·sin \alpha$.

Треугольник имеет уникальную способность. В любой треугольник можно вписать окружность и любой треугольник можно вписать в окружность. Значит, можно предположить, что площадь треугольника можно выразить через радиусы описанной и вписанной окружностей.

Первая теорема связывает площадь треугольника и радиус вписанной окружности. 

Рис. 1. Треугольник, описанный около окружности

Доказательство этой теоремы очень простое.

 

Рассмотрим треугольник $ABC$ и вписанную в него окружность с центром в точке $O$ (рис. 1). 

 

Так как окружность вписана, то все стороны треугольника являются касательными и радиусы, проведенные в точки касания, будут перпендикулярны сторонам. 

 

Рассмотрим треугольники $AOB$, $AOC$ и $BOC$. Площадь каждого из них можно вычислить по основной формуле площади треугольника $S_{∆}=\frac{1}{2}a·h_a$,  где высотой каждого треугольника будет радиус вписанной окружности.

 

Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $AOB$, $AOC$ и $BOC$. Тогда получим

 

$S_{ABC}=S_{AOB}+S_{AOC}+S_{BOC}=\frac{1}{2}AB·r+\frac{1}{2}AC·r+\frac{1}{2}BC·r=$

$=\frac{1}{2}·(AB+AC+BC)·r=p·r$,

 

где $p=\frac{1}{2}·(AB+AC+BC)$.

 

Теорема доказана.

Решение

Из формулы $S=p·r$ выразим полупериметр:

$p=\frac{S}{r}$.

Площадь треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, т.е.

$S=\frac{1}{2}·25·6,72=84$.

Тогда периметр треугольника равен

$P=2p=\frac{2S}{r}=\frac{2·84}{3}=56$.

Ответ: 56.

Уточняющая теорема синусов

Теорема синусов говорит о том, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Это утверждение можно уточнить.

Рис. 2. Треугольник, вписанный в окружность

Рассмотрим треугольник $ABC$ и описанную около этого треугольника окружность с центром в точке $O$ (рис. 2). 

 

Пусть угол $A$ - острый (в треугольнике есть хотя бы один острый угол). Проведем диаметр $BD$ и хорду $DC$. 

 

Углы $BAC$ и $BDC$ равны, так как являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $BC$. $\angle BCD=90°$, так как опирается на диаметр.

 

Тогда применим теорему синусов для треугольника $BDC$. Получим

 

$\frac{BC}{\sin BDC}=\frac{BD}{\sin BCD}=\frac{2R}{\sin 90°}=2R$.

 

Так как углы $BAC$ и $BDC$ равны, то

 

$\frac{BC}{\sin BDC}=\frac{BC}{\sin BAC}=2R$.

 

Последнее равенство описывает отношение стороны к синусу противолежащего угла в треугольнике $ABC$. Следовательно, теорема доказана.

Данная теорема имеет два следствия, которые связывают площадь треугольника и радиус описанной окружности.

Следствия можно доказать, используя формулу $S_{∆}=\frac{1}{2}ab·sin \alpha$, выразив синус угла через теорему синусов.

Формула Герона

Следующая формула площади треугольника одна из самых удобных. С помощью неё можно вычислить площадь треугольника, зная длины всех его сторон.

Формулу можно доказать с помощью формулы $S_{∆}=\frac{1}{2}ab·sin \alpha$. Для этого необходимо выразить $sin \alpha$ через стороны треугольника, воспользовавшись теоремой косинусов и основным тригонометрическим тожеством.

Решение

С одной стороны, площадь треугольника можно вычислить по формуле $S=\frac{abc}{4R}.$ Отсюда можно найти радиус описанной окружности:

$R=\frac{abc}{4S}$.

С другой стороны, можно воспользоваться формулой Герона: 

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$,

где $p=\frac{5+5+8}{2}=\frac{18}{2}=9$.

Вычислим радиус

$R=\frac{abc}{4\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}=\frac{5·5·8}{4\sqrt{9·4·4·1}}=\frac{25}{6}$.

Ответ: $\frac{25}{6}$.