Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Теорема о биссектрисе треугольника

Треугольники

Теорема о биссектрисе треугольника

План урока

  • Теорема о биссектрисе треугольника;
  • Следствие о длине отрезков, на которые биссектриса делит сторону;
  • Длина биссектрисы.

Цели урока

  • Знать свойство биссектрисы треугольника;
  • Уметь находить длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону;
  • Уметь находить длину биссектрисы.

Разминка

  • Что такое биссектриса?
  • На какие отрезки делит основание биссектриса равнобедренного треугольника?
  • Как найти длину биссектрисы равностороннего треугольника?

Теорема о биссектрисе треугольника

Рис. 1. Теорема синусов Рис. 1. Теорема синусов

Вспомним, что биссектрисой треугольника  называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

 

Также вспомним теорему синусов : стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 1), т.е. 

 

asin A=bsin B =csin C .

 

Следующая теорема является свойством биссектрисы треугольника.


Теорема

 

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.


Рис. 2. Теорема о биссектрисе треугольника Рис. 2. Теорема о биссектрисе треугольника

Рассмотрим треугольник ABC, где BB1 - биссектриса (рис. 2).

 

Введем обозначения. Так как BB1 - биссектриса, то ABB1=CBB1. Обозначим их градусные меры α. Углы AB1B и CB1B смежные, тогда пусть AB1B=βCB1B=180°-β.

 

По теореме синусов в треугольнике ABB1

 

AB1sin α=ABsin βAB1AB=sin αsin β.

 

Аналогично, в треугольнике CBB1 получим

 

CB1sin α=CBsin 180°-βCB1CB=sin αsin (180°-β).

 

Так как синусы смежных углов равны, то имеем, что sin β=sin (180°-β).

 Тогда можем приравнять левые части полученных соотношений для треугольников ABB1 и CBB1:

 

AB1AB=CB1CB,

 

откуда

 

AB1CB1=ABCB.

 

Получили, что отношение длин отрезков, на которые биссектриса делит сторону, равно отношению сторон, которые образуют угол.


Пример 1

 

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD (рис. 3). Найдите периметр треугольника ABC, если АС = 4DC = 2BD = 3.


Решение

Рис. 3. Треугольник ABC Рис. 3. Треугольник ABC

Периметр – это сумма длин всех сторон.

Используя соотношение из теоремы о биссектрисе треугольника, найдем длину стороны AB:

 

DCDB=ACAB,

AB=AC·DBDC=4·32=6.

 

Тогда

 

PABC=4+6+(2+3)=15.

 

Ответ: 15.


Упражнение 1

 

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите периметр треугольника ABC, если  АС = 6DC = 3BD = 4.


Следствие из теоремы

 

Раз биссектриса делит сторону на части, пропорциональные другим сторонам, то длины этих частей можно найти, зная стороны треугольника.

Вернемся к треугольнику ABC (рис. 2). Нам известно, что

 

AB1CB1=ABCB

 

или

 

AB1·CB=AB·CB1.

 

С другой стороны, AB1+CB1=AC. Выразим из этого соотношения AB1 (AB1=AC-CB1) и подставим в предыдущее равенство, получим

 

AC-CB1·CB=AB·CB1,

 

CB1=AC·CBAB+CB.

 

 

Аналогично можно получить, что

 

AB1=AC·ABAB+CB.

 

Таким образом, мы выразили длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону, через длины сторон треугольника.


Следствие

 

В треугольнике ABC со сторонами AB=c, AC=b, BC=a и биссектрисой BB1 имеют место равенства:

 

CB1=aba+cAB1=bca+c.


Формула длины биссектрисы

 

Биссектриса является отрезком треугольника, значит, её длину можно найти, зная длины сторон треугольника. 

 

На самом деле длина биссектрисы выражается через стороны, образующие угол, и через длины отрезков, на которые биссектриса делит оставшуюся сторону.


В треугольнике ABC со сторонами AB=c, BC=a длину биссектрисы BB1 можно вычислить по формуле:

 

BB12=ac-AB1·CB1.


Пример 2

 

Стороны треугольника равны 5, 7 и 10. Найдите длину биссектрисы, проведенную к большей стороне.


Решение

Рис. 4. Треугольник ABC Рис. 4. Треугольник ABC

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 4). Пусть B=5BC=7,  и AC=10.

Найдем длины отрезков AB1 и B1C:

 

AB1=AC·ABAB+BC=10·55+7=256,

 

B1C=AC-AB1=356.

 

Найдем длину биссектрисы:

 

BB1=AB·BC-AB1·CB1=5·7-256·356=3856.

 

Ответ: 3856.


Упражнение 2

 

Стороны треугольника равны 4, 7, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к меньшей стороне.


Контрольные вопросы

 

1. В каком соотношении биссектриса делит сторону?

2. Как найти длину биссектрисы?


Ответы

Упражнение 1

 

21.

 

Упражнение 2

 

71054.

Предыдущий урок
Формулы площади треугольника. Формула Герона
Треугольники
Следующий урок
Решение треугольников. Теорема о медиане треугольника
Треугольники
  • О.Э. Мандельштам. Жизнь и творчество

    Литература

  • Вычисление интегралов

    Алгебра

  • Глаз и зрение. Оптические приборы

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке