Конспект урока: Уравнение и его корни. Линейное уравнение с одной переменной

Уравнение и его корни

Представьте себе, что ваш друг задал вам задачку: «У меня в левом кармане лежит определенное количество конфет, а в правом кармане в $4$ раза больше конфет, чем в левом. Если угадаешь, сколько конфет в левом кармане, я тебе отдам все конфеты, которые у меня есть. В качестве мотивации могу сказать, что всего у меня их $65$ штук».

Как же получить все эти конфеты? Давайте попробуем решить эту задачу математически. Представим себе, что в левом кармане лежит $x$ конфет, тогда в правом кармане будет $4x$ конфет. Всего конфет $65$ штук. Составим выражение с переменной.

$x+4x=65$

Равенство, содержащее переменную, которое мы составили, называется уравнением с одной переменной  или уравнением с одним неизвестным. 

Чтобы найти решение уравнения  (иначе говоря, найти корень уравнения ), нужно найти такое значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. 

Вернемся к решению задачи, которую задал ваш друг, и решим составленное нами уравнение. 

$x+4x=65$

$5x=65$

$x=65 : 5$

$x=13$

Получается, что в левом кармане у вашего друга лежит $13$ конфет. Путем нехитрых вычислений, мы получили все конфеты, что есть у друга, решив его задачу. 

Получается, что у каждого уравнения с одной переменной будет всегда один корень? Давайте попробуем в этом разобраться. Решим следующее уравнение: 

$\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x-2,4\right)=0$

Попробуем найти корни этого уравнения. Оно состоит из произведения трех скобок. Давайте подумаем, в каком случае произведение может быть равно нулю? В том случае, если хотя бы один из этих множителей равен нулю. Тогда уравнение будет равно нулю, если $x-3=0$ или $x+5=0$ или $x-2,4=0$. Из одного уравнения получилось три, более простых внешне, следовательно, будет три решения: $x=3, x=-5, x=2,4$. Получается, что у этого уравнения есть три корня. 

Как вы думаете, может ли быть такое, чтобы уравнение не решалось, т. е. у него не было корней? Давайте попробуем составить такое уравнение: $x-3=x$. Видим, что при любом значении $x$ левая часть уравнения будет меньше, чем правая. 

Рассмотрим уравнение $x^2=9$. Корнями этого уравнения являются числа $3$ и $-3$. Такие же корни имеет уравнение $\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0$. Такие уравнения называются равносильными. 

Является ли число $5$ корнем уравнения $6\left(3x-4\right)=5$?

Решение

Чтобы понять, является ли число корнем уравнения, нужно подставить число в уравнение вместо переменной и проверить, получится ли равенство. 

$6\left(3x-4\right)=5$

$6\left(3·5-4\right)=5$

$6\left(15-4\right)=5$

$6·11=5$

$66\ne 5$

Ответ: не является.

1. Является ли число $-24$ корнем уравнения $4\left(x+5\right)=3x-4$?

2. Докажите, что числа $4, 6$ и $0$ являются корнями уравнения $x\left(x-4\right)\left(x-6\right)=0$.

Линейное уравнение с одной переменной

Рассмотрим несколько уравнений $5x=10$, $6x-3=0$, $-x=5$. Все представленные уравнения можно свести к общему виду $ax+b=0$. В первом уравнении $a=5, b=-10$, во втором $a=6, b=-3$, в третьем $a=-1, b=-5$. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной .

Попробуем выяснить, зависит ли количество корней линейного уравнения от значений переменных $a$ и $b$.

Если $a\ne 0, b$ — любое число, то уравнение имеет один корень $x=-\frac{b}{a}$.

Если $a=0, b\ne 0$, то уравнение не имеет корней.

Если $a=0, b=0$, то уравнение верно при всех значениях переменной. 

Решите уравнение $3x-9,6=0$.

Решение

Перенесем слагаемое $-9,6$ в правую часть уравнения и разделим обе части на $3.$

$3x-9,6=0$

$3x=9,6$

$x=9,6 : 3$

$x=3,2$

Ответ: $3,2$.

Найдите корень уравнения $2\left(6-x\right)=8-4x$.

Решение

Раскроем скобки

$2\left(6-x\right)=8-4x$

$12-2x=8-4x$

Перенесем слагаемое $-4x$в левую часть уравнения, меняя его знак на противоположный. 

$12-2x+4x=8$

Перенесем слагаемое $12$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.

$-2x+4x=8-12$

Приведем подобные слагаемые.

$2x=-4$

Разделим обе части уравнения на $2$.

$x=-2$

Ответ: $-2$.

Докажите, что уравнение $4\left(x+5\right)=12+4x$ не имеет корней.

Решение

Раскроем скобки

$4(x+5)=12+4x$

$4x+20=12+4x$

Перенесем слагаемое $4x$ в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный.

$4x+20-4x=12$

Перенесем слагаемое 20 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.

$4x-4x=12-20$

Приведем подобные слагаемые.

$0\ne -8$

Получили неверное равенство, следовательно, уравнение не имеет корней.

1. Найдите корень уравнения $7(3x-5)=20x+4$.

2. Решите уравнение

 а) $7x=56$;

 б) $8(1-2x)+2x=1$;

 в) $2(3,5x-2)=-(3,6-2x)$.