Уравнение и его корни. Линейное уравнение с одной переменной

Уравнение и его корни. Линейное уравнение с одной переменной. Формулы

План урока

Уравнение и корни уравнения
Решение уравнения
Равносильные уравнения
Свойства, используемые при решении уравнений
Определение линейного уравнения
Решение линейного уравнения
Использование формул в решении задач

Цели урока

Знать определение корня уравнения
Знать, что означает «решить уравнение»
Знать, что такое равносильные уравнения, свойства, используемые при решении уравнений
Знать формулу, задающую линейное уравнение
Уметь решать линейные уравнения
Уметь решать задачи с помощью формул

Разминка

Как вы думаете, что такое уравнение?
Как вы думаете, что такое корень уравнения и имеет ли он что-то общее с корнем дерева?

Уравнение и его корни

Представьте себе, что ваш друг задал вам задачку: «У меня в левом кармане лежит определенное количество конфет, а в правом кармане в $4$ раза больше конфет, чем в левом. Если угадаешь, сколько конфет в левом кармане, я тебе отдам все конфеты, которые у меня есть. В качестве мотивации могу сказать, что всего у меня их $65$ штук».

Как же получить все эти конфеты? Давайте попробуем решить эту задачу математически. Представим себе, что в левом кармане лежит $x$ конфет, тогда в правом кармане будет $4 x$ конфет. Всего конфет $65$ штук. Составим выражение с переменной.

$x + 4 x = 65$

Равенство, содержащее переменную, которое мы составили, называется уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

Чтобы найти решение уравнения (иначе говоря, найти корень уравнения), нужно найти такое значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Вернемся к решению задачи, которую задал ваш друг, и решим составленное нами уравнение.

$x + 4 x = 65$

$5 x = 65$

$x = 65 : 5$

$x = 13$

Получается, что в левом кармане у вашего друга лежит $13$ конфет. Путем нехитрых вычислений, мы получили все конфеты, что есть у друга, решив его задачу.

Получается, что у каждого уравнения с одной переменной будет всегда один корень? Давайте попробуем в этом разобраться. Решим следующее уравнение:

$(x - 3) (x + 5) (x - 2, 4) = 0$

Попробуем найти корни этого уравнения. Оно состоит из произведения трех скобок. Давайте подумаем, в каком случае произведение может быть равно нулю? В том случае, если хотя бы один из этих множителей равен нулю. Тогда уравнение будет равно нулю, если $x - 3 = 0$ или $x + 5 = 0$ или $x - 2, 4 = 0$ . Из одного уравнения получилось три, более простых внешне, следовательно, будет три решения: $x = 3, x = - 5, x = 2, 4$ . Получается, что у этого уравнения есть три корня.

Как вы думаете, может ли быть такое, чтобы уравнение не решалось, т. е. у него не было корней? Давайте попробуем составить такое уравнение: $x - 3 = x$ . Видим, что при любом значении $x$ левая часть уравнения будет меньше, чем правая.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Рассмотрим уравнение $x^{2} = 9$ . Корнями этого уравнения являются числа $3$ и $- 3$ . Такие же корни имеет уравнение $(x - 3) (x + 3) = 0$ . Такие уравнения называются равносильными.

Равносильные уравнения – уравнения, имеющие одни и те же корни.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Свойства, используемые при решении уравнений.

1. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую и изменении его знака, получается уравнение, равносильное данному.

2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, получается уравнение, равносильное данному.

Пример 1

Является ли число $5$ корнем уравнения $6 (3 x - 4) = 5$ ?

Решение

Чтобы понять, является ли число корнем уравнения, нужно подставить число в уравнение вместо переменной и проверить, получится ли равенство.

$6 (3 x - 4) = 5$

$6 (3 \cdot 5 - 4) = 5$

$6 (15 - 4) = 5$

$6 \cdot 11 = 5$

$66 \neq 5$

Ответ: не является.

Упражнение 1

1. Является ли число $- 24$ корнем уравнения $4 (x + 5) = 3 x - 4$ ?

2. Докажите, что числа $4, 6$ и $0$ являются корнями уравнения $x (x - 4) (x - 6) = 0$ .

Линейное уравнение с одной переменной

Рассмотрим несколько уравнений $5 x = 10$ , $6 x - 3 = 0$ , $- x = 5$ . Все представленные уравнения можно свести к общему виду $a x + b = 0$ . В первом уравнении $a = 5, b = - 10$ , во втором $a = 6, b = - 3$ , в третьем $a = - 1, b = - 5$ . Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Линейное уравнение с одной переменной – уравнение вида $a x + b = 0$ , где $x$ – переменная, $a$ и $b$ – некоторые числа.

Попробуем выяснить, зависит ли количество корней линейного уравнения от значений переменных $a$ и $b$ .

Если $a \neq 0, b$ — любое число, то уравнение имеет один корень $x = - \frac{b}{a}$ .

Если $a = 0, b \neq 0$ , то уравнение не имеет корней.

Если $a = 0, b = 0$ , то уравнение верно при всех значениях переменной.

Пример 2

Решите уравнение $3 x - 9, 6 = 0$ .

Решение

Перенесем слагаемое $- 9, 6$ в правую часть уравнения и разделим обе части на $3 .$

$3 x - 9, 6 = 0$

$3 x = 9, 6$

$x = 9, 6 : 3$

$x = 3, 2$

Ответ: $3, 2$ .

Пример 3

Найдите корень уравнения $2 (6 - x) = 8 - 4 x$ .

Решение

Раскроем скобки

$2 (6 - x) = 8 - 4 x$

$12 - 2 x = 8 - 4 x$

Перенесем слагаемое $- 4 x$ в левую часть уравнения, меняя его знак на противоположный.

$12 - 2 x + 4 x = 8$

Перенесем слагаемое $12$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.

$- 2 x + 4 x = 8 - 12$

Приведем подобные слагаемые.

$2 x = - 4$

Разделим обе части уравнения на $2$ .

$x = - 2$

Ответ: $- 2$ .

Пример 4

Докажите, что уравнение $4 (x + 5) = 12 + 4 x$ не имеет корней.

Решение

Раскроем скобки

$4 (x + 5) = 12 + 4 x$

$4 x + 20 = 12 + 4 x$

Перенесем слагаемое $4 x$ в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный.

$4 x + 20 - 4 x = 12$

Перенесем слагаемое 20 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.

$4 x - 4 x = 12 - 20$

Приведем подобные слагаемые.

$0 \neq - 8$

Получили неверное равенство, следовательно, уравнение не имеет корней.

Упражнение 2

1. Найдите корень уравнения $7 (3 x - 5) = 20 x + 4$ .

2. Решите уравнение

а) $7 x = 56$ ;

б) $8 (1 - 2 x) + 2 x = 1$ ;

в) $2 (3, 5 x - 2) = - (3, 6 - 2 x)$ .

Формулы

Часто читая художественную литературу прошлого века, мы встречаем непривычные для себя единицы измерения. Например, в книге Жюля Верна «Дети капитана Граната» можно найти описание гигантского журавля – эйбирда, рост которого составляет пять футов, рассказ о яхте «Дункан», скорость которой составляла около семнадцати морских миль в час, а также встречается информация о средней годовой температуре в провинции Виктория, которая достигала $+ 74 °$ по Фаренгейту.

Для того чтобы понимать размеры, скорость и температуру, надо знать как упомянутые выше единицы измерения, выражающие приближённые значения величин, соотносятся с привычными для нас единицами. Эти соотношения принято выражать следующими формулами:

$l = 30, 48 f$ , где $f$ – длина в футах, $l$ – соответствующая длина в см;

$p = 1, 853 m$ , где $m$ – расстояние в морских милях, $p$ – расстояние в км;

$C = \frac{5 (F - 32)}{9}$ , где $F$ – температура в градусах Фаренгейта, $C$ – температура в градусах Цельсия.

Выполним расчёты:

$l = 30, 48 f = 30, 48 \cdot 5 \approx 152$ (см);

$p = 1, 853 m = 1, 853 \cdot 17 \approx 32$ (км);

$C = \frac{5 (F - 32)}{9} = \frac{5 (74 - 32)}{9} = 23 °$ .

Таким образом, внимательно читая книгу и используя приведенные выше формулы, мы можем сделать вывод, что рост журавля эйбирда составляет примерно $152$ см, или $1, 5$ м, яхта «Дункан» шла со скоростью $32$ км/ч, а средняя температура в провинции Виктория была не так уж и высока и составила примерно $23 °$ Цельсия.

Формулы в математике помогают не только находить значения непривычных для нас единиц измерения, но и решать другие задачи с целью ответа на определенный вопрос.

Формула – это математическое буквенное равенство, которое задаёт правило зависимости одной величины от другой или нескольких других

Вспомним известные нам формулы:

$P = 2 (a + b)$ – формула периметра прямоугольника;

$S = a \cdot b$ – формула площади прямоугольника;

$S = v \cdot t$ – формула для нахождения пути;

$P = 4 a$ – формула периметра квадрата;

$V = a b c$ – формула объёма прямоугольного параллелепипеда.

Приведём пример использования формул в задаче на проценты.

Пример 5

Найдём, на сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его длину и ширину увеличить на $20 %$ .

Решение

Пусть длина прямоугольника равна $a$ см, ширина – $b$ см, а площадь – $S$ см².

По формуле площади прямоугольника находим, что $S = a b$ . После увеличения длины и ширины прямоугольника на $20 %$ длина будет равна: $a + 0, 2 a = 1, 2 a$ см, а ширина $b + 0, 2 b = 1, 2 b$ см.

Тогда площадь будет равна $1, 2 a \cdot 1, 2 b = 1, 44 a b$ см², т. е. увеличится на

$1, 44 a b - a b = 0, 44 a b$ см².

Имеем $\frac{0, 44 a b}{a b} \cdot 100 % = 44 %$ . Значит, площадь увеличится на $44 %$

Ответ: $44 %$ .

Свойства равенств позволяют из одной формулы, связывающей две или более переменные, получать новые формулы.

Пример 6

Выразите из формулы:

1) $s = a t$ переменную $t$ ;

2) $v = v_{0} + a t$ переменную $a$ .

Решение

1) $s = a t$ ;

$t = s : a$ .

2) $v = v_{0} + a t$ ;

$a t = v - v_{0}$ ;

$a = \frac{v - v_{0}}{t}$ .

Ответ: 1) $t = s : a$ ; 2) $a = \frac{(v - v_{0})}{t}$ .

Упражнение 3

1. Пользуясь формулой $b = 1, 067 a$ , где $a$ – расстояние в вёрстах, $b$ – расстояние в километрах, выразите в километрах расстояние, равное:

1) $6$ верстам; 2) $12, 5$ версты.

Ответ округлите до целых.

Контрольные вопросы

1. Что называется уравнением?

2. Что называется корнем уравнения?

3. Что значит решить уравнение?

4. Какие уравнения называются равносильными?

5. Какие свойства используются при решении уравнений?

6. Какое равенство называется линейным?

7. Что такое формула?

Ответы

Упражнение 1

1. Да.

Упражнение 2

1. $39$ .

2. а) $8$ ;

б) $0, 5$ ;

в) $0, 08$ .

Упражнение 3

1. 1) $6, 402$ км $\approx$ $6$ км; 2) $13, 3375$ км $\approx$ $13$ км.

Конспект урока: Уравнение и его корни. Линейное уравнение с одной переменной

Решение уравнений и неравенств

Уравнение и его корни

Линейное уравнение с одной переменной

Формулы