Конспект урока: Конус

Рис. 1. Коническая поверхность

Построим поверхность аналогичную цилиндрической. 

Рассмотрим окружность $L$ с центром в точке $O$. Построим прямую $OF$ перпендикулярную этой окружности. Теперь проведем прямые, соединяющие точку $F$ с каждой точкой окружности. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью (рис. 1). Сами прямые называются образующими конической поверхности, точка $F$ - вершиной, а прямая $OF$ - осью конической поверхности. 

Рис. 2. Конус и элементы конуса

Любая из образующих конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого являются высотой и радиусом основания, например, на рисунке 2 образующая $FA$ - гипотенуза прямоугольного треугольника $FOA$, где $FO$ - высота конуса, $OA$ - радиус основания конуса. 

Рис. 3. Конус как фигура вращения

Еще один вывод: конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (рис. 3). При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не совмещенного с осью вращения.

Рис. 4. Осевое сечение конуса

Построим секущую плоскость, проходящую через ось конуса (рис. 4). Полученное сечение – это равнобедренный треугольник, основание которого – это диаметр основания, а боковые стороны – образующие конуса.

Это сечение называется осевым.

Рис. 5. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса

Теперь построим секущую плоскость перпендикулярно оси конуса $OF$ (рис. 5). Полученное сечение представляет собой круг с центром в точке $O_1$, расположенной на оси конуса.

Сечение конуса и его основание являются подобными фигурами, поэтому если $R$ - радиус основания, а $r$ - радиус сечения, то

$\frac{r}{R}=\frac{O_{1}F}{OF}$.

Рис. 6. Боковая поверхность конуса

Развернем боковую поверхность конуса на плоскость, разрезав её по образующей. Тогда поверхность представляет собой круговой сектор, радиус которой равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания.

В этом случае, площадь поверхности конуса равна площади кругового сектора. Площадь кругового сектора можно вычислить по формуле

$S_{сек}=\frac{\pi l^2}{360°}·\alpha$,

где $\alpha$ - градусная мера дуги сектора.

Выразим длину дуги равную $2\pi R$ через $\alpha$: $2\pi R=\frac{\pi l}{180°}·\alpha$. Тогда градусная мера дуги $\alpha =\frac{360°·R}{l}$.

Получим, что площадь боковой поверхности:

$S_{бок}=\pi Rl$.

Рис. 7. Конус

Отсеченный конус и исходный являются подобными фигурами, поэтому

$\frac{S_{отс}}{S_{исх}}=k^2$,

где $k$ - коэффициент подобия, $k=\frac{2}{5}$.

Тогда

$S_{отс}=k^2·S_{исх}={\left(\frac{2}{5}\right)}^2·15=2,4$.

Ответ: 2,4.

Рис. 5

Из треугольника $ABC$ ($\angle A=90°$, т.к. он опирается на диаметр): $\sin \alpha =\frac{AC}{BC}$, $BC=\frac{AC}{\sin \alpha }=\frac{a}{\sin \alpha }$ 

$CO=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2\sin \alpha }$. 

Из треугольника $SCO$: $SC=\frac{OC}{\cos \beta }=\frac{a}{2\sin \alpha \cos \beta }=SA$. 

Проведем $SE\perp AC$, $EC=\frac{a}{2}$ (свойство высоты в равнобедренном треугольнике). 

Из треугольника $SEC$, по теореме Пифагора, 

$SE=\sqrt{\frac{a^2}{4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\beta }-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2}{4}\left(\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\beta }-1\right)}=$

$=\frac{a}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\beta }-1\right)}$. 

$S_{SAC}=\frac{1}{2}a·\frac{a}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\beta }-1\right)}=\frac{a^2}{4}\sqrt{\left(\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\beta }-1\right)}$. 

Ответ: $\frac{a^2}{4}\sqrt{\left(\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\beta }-1\right)}$.