Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

  • Векторы на плоскости и в пространстве

  • Комбинации тел

  • Преобразования на плоскости и в пространстве

  • Объем

  • Окружность

  • Треугольники

  • Сфера и шар

  • Конус

  • Цилиндр

Конспект урока: Конус

Конус

23.07.2024
2334
0

Конус

План урока

  • Коническая поверхность;
  • Конус;
  • Сечения конуса;
  • Площадь поверхности конуса.

Цели урока

  • Знать определение конуса;
  • Знать элементы конуса;
  • Уметь находить площадь поверхности конуса.

Разминка

  • Что понимают под фигурами вращения?
  • Что такое цилиндр?
  • Чему равна площадь поверхности цилиндра с радиусом основания, равным 3, и высотой, равной 6?

Коническая поверхность

Рис. 1. Коническая поверхность

Построим поверхность аналогичную цилиндрической. 

 

Рассмотрим окружность L с центром в точке O. Построим прямую OF перпендикулярную этой окружности. Теперь проведем прямые, соединяющие точку F с каждой точкой окружности. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью (рис. 1). Сами прямые называются образующими конической поверхности , точка F - вершиной , а прямая OF - осью конической поверхности

Конус

 

Коническая поверхность и круг с границей  ограничивают в пространстве тело. Это тело называется конусом (рис. 2). 

 

Основанием конуса является круг, вершиной конуса – вершина конической поверхности. Образующими конуса называют отрезки образующих конической поверхности, заключенные между вершиной и основанием, а боковой поверхностью конуса – образованную ими часть конической поверхности. Ось конической поверхности является также и осью конуса , а отрезок OF называется высотой конуса .

Рис. 2. Конус и элементы конуса

Любая из образующих конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого являются высотой и радиусом основания, например, на рисунке 2 образующая FA - гипотенуза прямоугольного треугольника FOA, где FO - высота конуса, OA - радиус основания конуса. 

Можно сделать вывод, что длины всех образующих равны друг другу.

Рис. 3. Конус как фигура вращения

Еще один вывод: конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (рис. 3). При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не совмещенного с осью вращения.


Пример 1

 

Высота конуса равна 16, а образующая - 20. Найдите диаметр основания.


Решение

 

Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

 

Введем обозначения: катет, вокруг которого вращают прямоугольный треугольник – высота h, второй катет – радиус основания R, а гипотенуза – образующая конуса l.

 

Тогда по теореме Пифагора:

 

R=l2-h2=202-162=12,

D=2R=24.

 

Ответ: 24.


Упражнение 1

 

1. Какую фигуру можно получить, если вращать прямоугольный треугольник вокруг гипотенузы?

2. Образующая конуса равна 25, а высота - 7. Найдите диаметр основания.


Сечение конуса

Рис. 4. Осевое сечение конуса

Построим секущую плоскость, проходящую через ось конуса (рис. 4). Полученное сечение – это равнобедренный треугольник, основание которого – это диаметр основания, а боковые стороны – образующие конуса.

 

Это сечение называется осевым .

Рис. 5. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса

Теперь построим секущую плоскость перпендикулярно оси конуса OF (рис. 5). Полученное сечение представляет собой круг с центром в точке O1, расположенной на оси конуса.

 

Сечение конуса и его основание являются подобными фигурами, поэтому если R - радиус основания, а r - радиус сечения, то

 

rR=O1FOF.


Пример 2

 

Найдите площадь осевого сечения конуса, радиус основания которого равен 6, а образующая – 10.


Решение

 

По теореме Пифагора найдем высоту конуса, она же будет высотой осевого сечения:

 

h=l2-R2=102-62=8.

 

Найдем площадь треугольника:

 

S=12·(2R)·h=Rh=6·8=48.

 

Ответ: 48.


Упражнение 2

 

1. Найдите площадь осевого сечения конуса, если образующая конуса равна 8 и осевое сечение является прямоугольным треугольником.

2. Найди площадь сечения, полученного плоскостью перпендикулярной оси конуса, если образующая конуса равна 9, а плоскость делит высоту на отрезки 2 и 5, считая от вершины.


Площадь поверхности конуса

Рис. 6. Боковая поверхность конуса

Развернем боковую поверхность конуса на плоскость, разрезав её по образующей. Тогда поверхность представляет собой круговой сектор, радиус которой равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания.

 

В этом случае, площадь поверхности конуса равна площади кругового сектора. Площадь кругового сектора можно вычислить по формуле

 

Sсек=πl2360°·α,

 

где α - градусная мера дуги сектора.

 

Выразим длину дуги равную 2πR через α2πR=πl180°·α. Тогда градусная мера дуги α=360°·Rl.

 

Получим, что площадь боковой поверхности:

 

Sбок=πRl.


Площадь боковой поверхности конуса  равна произведению половины длины окружности основания на образующую.


Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания. Тогда для вычисления площади полной поверхности Sпов можно воспользоваться формулой:

 

Sпов=πR(l+R).


Пример 3

 

Площадь полной поверхности конуса равна 15. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 2:3, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.


Решение

Рис. 7. Конус

Отсеченный конус и исходный являются подобными фигурами, поэтому

 

SотсSисх=k2,

 

где k - коэффициент подобия, k=25.

Тогда

 

Sотс=k2·Sисх=252·15=2,4.

 

Ответ: 2,4.


Пример 4 

 

На основании конуса с вершиной S и диаметром основания CB взята точка A так, что CBA=αAC=a, образующая SC образует с основанием угол β. Найдите площадь треугольника SAC.


Решение

Рис. 5

Из треугольника ABC (A=90°, т.к. он опирается на диаметр): sinα=ACBCBC=ACsinα=asinα 

 

CO=12BC=a2sinα

 

Из треугольника SCOSC=OCcosβ=a2sinαcosβ=SA

 

Проведем SEACEC=a2 (свойство высоты в равнобедренном треугольнике). 

 

Из треугольника SEC, по теореме Пифагора, 

 

SE=a24sin2αcos2β-a24=a241sin2αcos2β-1=

 

=a21sin2αcos2β-1

 

SSAC=12a·a21sin2αcos2β-1=a241sin2αcos2β-1

 

Ответ: a241sin2αcos2β-1


Упражнение 3

 

Площадь полной поверхности конуса равна 32,5. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 4:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.


Контрольные вопросы

 

1. Что такое конус?

2. Какие элементы есть у конуса?

3. Что представляет собой боковая поверхность конуса?


Ответы

Упражнение 1

 

1. два конуса, совмещенные основаниями. 

2. 48. 

 

Упражнение 2

 

1. 32. 

2. 128π49

 

Упражнение 3

 

20,8

Предыдущий урок
Сфера и шар
Сфера и шар
Следующий урок
Цилиндр
Цилиндр
Поделиться:
  • Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Углы с вершинами внутри и вне круга

    Геометрия

  • Знаки препинания в сложноподчиненном предложении с несколькими придаточными

    Русский язык

  • Комбинации тел: многогранники, цилиндр, конус, шар. Задачи на объёмы тел

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке