- Понятие усеченного конуса;
- Элементы усеченного конуса;
- Площадь поверхности усеченного конуса.
- Знать определение усеченного конуса;
- Знать элементы усеченного конуса;
- Уметь находить площадь поверхности усеченного конуса.
- В результате вращения какой фигуры можно получить конус?
- Как найти площадь поверхности конуса?
- Что такое осевое сечение конуса?
Усеченный конус
Рис. 1. Усеченный конус
Вспомним, что если провести плоскость перпендикулярную оси конуса, то сечение, полученное в результате, будет кругом. В таком случае плоскость делит конус на два тела. Первое из них (верхнее, рис. 1) является конусом. Второе называется усеченным конусом.
Усеченный конус имеет те же элементы, что и исходный конус.
Основания усеченного конуса – это основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью.
Высотой усеченного конуса называют отрезок, соединяющий центры оснований. Боковая поверхность усеченного конуса – это часть боковой поверхности исходного конуса, ограничивающего его, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Аналогично исходному конусу, образующие усеченного конуса равны друг другу.
Рис. 2. Усеченная трапеция
Также можно сделать вывод, что усеченный конус можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям (рис. 2 – трапеция ). При этом боковая поверхность конуса образуется вращением другой боковой стороны, а основания – вращением оснований трапеции.
Площадь поверхности усеченного конуса
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей исходного конуса и отсеченного конуса. Используя соотношение подобия для двух этих конусов, можно получить формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса
,
где и радиусы оснований, образующая усеченного конуса.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
Пример 1
Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найти площадь поверхности усеченного конуса, если площадь боковой поверхности исходного конуса равна 20.
Решение
Так как плоскость делит высоту пополам, то площади исходного и отсеченного конуса относятся как коэффициент подобия в квадрате, а коэффициент подобия равен 2, т.е.
, .
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности , т.е.
.
Ответ: 15.
Упражнение 1
Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении , считая от вершины конуса. Найти площадь поверхности усеченного конуса, если площадь боковой поверхности исходного конуса равна 40.
Контрольные вопросы
1. Чем усеченный конус отличается от обычного конуса?
2. Как найти площадь боковой поверхности усеченного конуса?
Упражнение 1
37,5.
- Понятие усеченного конуса;
- Элементы усеченного конуса;
- Площадь поверхности усеченного конуса.
- Знать определение усеченного конуса;
- Знать элементы усеченного конуса;
- Уметь находить площадь поверхности усеченного конуса.
- В результате вращения какой фигуры можно получить конус?
- Как найти площадь поверхности конуса?
- Что такое осевое сечение конуса?
Усеченный конус
Рис. 1. Усеченный конус
Вспомним, что если провести плоскость перпендикулярную оси конуса, то сечение, полученное в результате, будет кругом. В таком случае плоскость делит конус на два тела. Первое из них (верхнее, рис. 1) является конусом. Второе называется усеченным конусом.
Усеченный конус имеет те же элементы, что и исходный конус.
Основания усеченного конуса – это основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью.
Высотой усеченного конуса называют отрезок, соединяющий центры оснований. Боковая поверхность усеченного конуса – это часть боковой поверхности исходного конуса, ограничивающего его, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Аналогично исходному конусу, образующие усеченного конуса равны друг другу.
Рис. 2. Усеченная трапеция
Также можно сделать вывод, что усеченный конус можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям (рис. 2 – трапеция ). При этом боковая поверхность конуса образуется вращением другой боковой стороны, а основания – вращением оснований трапеции.
Площадь поверхности усеченного конуса
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей исходного конуса и отсеченного конуса. Используя соотношение подобия для двух этих конусов, можно получить формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса
,
где и радиусы оснований, образующая усеченного конуса.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
Пример 1
Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найти площадь поверхности усеченного конуса, если площадь боковой поверхности исходного конуса равна 20.
Решение
Так как плоскость делит высоту пополам, то площади исходного и отсеченного конуса относятся как коэффициент подобия в квадрате, а коэффициент подобия равен 2, т.е.
, .
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности , т.е.
.
Ответ: 15.
Упражнение 1
Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении , считая от вершины конуса. Найти площадь поверхности усеченного конуса, если площадь боковой поверхности исходного конуса равна 40.
Контрольные вопросы
1. Чем усеченный конус отличается от обычного конуса?
2. Как найти площадь боковой поверхности усеченного конуса?
Упражнение 1
37,5.