Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

  • Векторы на плоскости и в пространстве

  • Окружность

  • Цилиндр

  • Сфера и шар

  • Конус

  • Преобразования на плоскости и в пространстве

  • Треугольники

  • Комбинации тел

  • Объем

  • Другие разделы

Конспект урока: Движения

Преобразования на плоскости и в пространстве

10.12.2024
2298
0

Движения

План урока

  • Центральная симметрия;
  • Осевая симметрия;
  • Зеркальная симметрия;
  • Параллельный перенос.

Цели урока

  • Знать определение движения;
  • Знать основные виды движений.

Разминка

  • Как вычислить расстояние между точками?
  • Какие фигуры называются равными?
  • Какие прямые называются параллельными?

Центральная симметрия


Определение 1

 

Движением называется преобразование, при котором сохраняется расстояние между точками.


При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, плоскость – в плоскость. Можно доказать, что при движении сохраняются и углы между прямыми. 


Определение 2

 

Центральная симметрия – это преобразование, при котором любая точка M переходит в симметричную ей точку M1 относительно данной точки O. Точка O при этом называется центром симметрии.


Докажем, что центральная симметрия является движением.

Пусть точка O является центром симметрии. Введём прямоугольную систему координат Oxyz с началом в точке O. При центральной симметрии с центром O (0;0;0), точка M (x;y;z) перейдёт в симметричную ей точку M1 (x1;y1;z1). Если точки M и O не совпадают, то точка O является срединой отрезка MM1.

По формулам координат середины отрезка, получаем

 

x+x12=0y+y12=0z+z12=0.

 

Отсюда следует, что x1=-xy1=-yz1=-z

Эти формулы верны и в случае, когда точки M и O совпадают (объясните самостоятельно почему). Таким образом, при центральной симметрии соответствующие координаты симметричных точек противоположны.

Рассмотрим теперь две произвольные точки A (x1;y1;z1) и B (x2;y2;z2).

При центральной симметрии они перейдут соответственно в A1 (-x1;-y1;-z1) и B1 (-x2;-y2;-z2). Докажем, что AB=A1B1.

Найдем расстояния AB и A1B1.

 

AB=x2-x12+y2-y12+z2-z12

A1B1=-x2--x12+-y2--y12+-z2--z12=

=-x2+x12+-y2+y12+-z2+z12=AB.

 

Таким образом, центральная симметрия является движением. Что и требовалось доказать.


Упражнение 1

 

1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки A (0;3;4)B (4;-2;5)C (2;0;-3) при центральной симметрии относительно начала координат.

2. Докажите, что при центральной симметрии:

а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;

б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

3. Докажите, что при центральной симметрии:

а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость;

б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.


Осевая симметрия


Определение 3

 

Осевая симметрия с осью a – это преобразование, при котором любая точка M переходит в симметричную ей точку M1 относительно оси a.


Докажем, что осевая симметрия является движением.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz ось Oz является осью симметрии. Тогда некоторая точка M (x;y;z) перейдёт в симметричную относительно оси Oz точку M1 (x1;y1;z1). Если точка M не лежит на оси Oz, то ось Oz проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна к нему. Из этого следует

 

x+x12=0, y+y12=0, z1=zx1=-x, y1=-y, z1=z.

 

Эти формулы верны и в случае, когда точка M лежит на оси Oz (объясните самостоятельно почему).

Рассмотрим теперь две произвольные точки A (x1;y1;z1) и B (x2;y2;z2).

При осевой симметрии они перейдут соответственно в 

A1 (-x1;-y1; z1) и B1 (-x2;-y2; z2). Найдем расстояния AB и A1B1.

 

AB=x2-x12+y2-y12+z2-z12

A1B1=-x2--x12+-y2--y12+z2-z12=

=-x2+x12+-y2+y12+z2-z12.

 

Видим, что AB=A1B1. Значит, осевая симметрия является движением. Что и требовалось доказать.


Упражнение 2

 

  1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки A (0;5;2)B (7;-4;3)C (-3;0;-2) при осевой симметрии относительно оси Ox.
  2. Докажите, что при осевой симметрии прямая, параллельная оси симметрии, отображается на параллельную ей прямую.


Зеркальная симметрия


Определение 4

 

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости α) называется такое преобразование, при котором любая точка M переходит в симметричную ей относительно плоскости α точку M1.


Докажем, что зеркальная симметрия является движением.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость Oxy является плоскостью симметрии. Тогда некоторая точка M (x;y;z) перейдёт в симметричную относительно плоскости Oxy точку M1 (x1;y1;z1). Если точка М не лежит в плоскости Oxy, то плоскость Oxy проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна к нему (MM1 параллелен оси Oz). Из этого следует

 

x1=x, y1=y, z+z12=0x1=x, y1=y, z1=-z.

 

Полученные формулы верны и в случае, когда точка М лежит в плоскости Oxy (объясните самостоятельно почему). 

Рассмотрим теперь две произвольные точки A (x1;y1;z1) и B (x2;y2;z2).

При зеркальной симметрии они перейдут соответственно в A1 (x1;y1;-z1)

и B1 (x2;y2;-z2). Найдем расстояния AB и A1B1.

 

AB=x2-x12+y2-y12+z2-z12

A1B1=x2-x12+y2-y12+-z2--z12=

=x2-x12+y2-y12+-z2+z12.

 

Получили, что AB=A1B1. Значит, зеркальная симметрия является движением. Что и требовалось доказать.


Упражнение 3

 

  1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки A (0;-3;5)B (-7;2;8)C (4;0;-3) при зеркальной симметрии относительно плоскости Oyz.
  2. Докажите, что при зеркальной симметрии прямая переходит в параллельную ей прямую.


Параллельный перенос


Определение 5

Рис. 1.

Параллельным переносом на вектор p называется такое преобразование, при котором любая точка М переходит в точку M1 такую, что MM1=p (Рис. 1). 


Рис. 2.

Докажем, что параллельный перенос является движением.

Рассмотрим две произвольные точки A и B. При параллельном переносе на вектор p эти точки перейдут в точки A1 и B1 такие, что AA1=pBB1=p (рис. 2).

 

По правилу треугольника AB1=AA1+A1B1 и AB1=AB+BB1.

При этом AA1=BB1A1B1=ABA1B1=AB. Таким образом, при параллельном переносе сохраняется между точками. Следовательно, параллельный перенос является движением. Что и требовалось доказать.


Упражнение 4

 

Найдите координаты точек, в которые переходят точки A (0;-3;5)B (-7;2;8)C (4;0;-3) при параллельном переносе на вектор p 3;4;-2.


Контрольные вопросы

 

  1. Сформулируйте определение движения.
  2. Перечислите основные виды движений и дайте определения этих преобразований.


Ответы

Упражнение 1

 

1. A1 (0;-3;-4)B1 (-4;2;-5)C1 (-2;0;3).

 

Упражнение 2

 

1. A1 (0;-5;-2)B1 (7;4;-3)C1 (-3;0;2).

 

Упражнение 3

 

1. A1 (0;-3;5)B1 (7;2;8)C1 (-4;0;-3).

 

Упражнение 4

 

A1 (3;1;3)B1 (-4;6;6)C1 (7;4;-5).

Предыдущий урок
Движения
Преобразования на плоскости и в пространстве
Следующий урок
Теорема о биссектрисе треугольника
Треугольники
Поделиться:
  • Вводные слова и конструкции. Часть 2

    Русский язык

  • Российская Федерация в 1991—2020 гг. Российская экономика на пути к рынку. Конституция России 1993 г.

    История

  • Понятие объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке