Конспект урока: Свойства волн. Волновой фронт. Принцип Гюйгенса

Волновой фронт

Из прошлых параграфов нам известно, что распространение всех видов волн в пространстве описываются одними и теми же уравнениями. Теперь же мы переходим к описанию свойств тех или иных волн, конкретизируя их природу. Для начала рассмотрим точечный источник колебаний, который в момент времени $t=0$ начинает создавать возмущения в окружающей его однородной среде 
(рис. 1). Пусть это будет, например, расположенный в воде маленький шарик, центр которого неподвижен, а радиус начинает изменяться (пульсировать) с течением времени по гармоническому закону. Если окружающая источник среда однородна и изотропна (все направления движения равновероятны), то возмущения будут распространяться от шарика во все стороны с одинаковой по модулю скоростью $v$. К моменту времени $t$ возмущения достигнут всех точек сферы, радиус которой равен $R=v·t$. Всех этих точек называют передним волновым фронтом (или передней волновой поверхностью). Сечение переднего волнового фронта плоскостью рисунка в момент времени $t$ показано синей окружностью.

Рис. 1. Возмущения в окружающей среде, вызванные точечным источником колебаний

Понятно, что все точки, которых волна достигает одновременно, в дальнейшем будут колебаться одинаково, т. е. синфазно. Поэтому в рассматриваемом случае синфазно друг с другом будут колебаться все точки любой сферы, которая расположена внутри переднего волнового фронта и концентрична ему. Любую из таких сфер называют волновой поверхностью или волновым фронтом. На рисунке 1 сечения двух таких волновых поверхностей показаны чёрным цветом. Ясно также, что колебания, происходящие в точках разных волновых поверхностей, в общем случае имеют разные фазы.

Изображённые на рисунке волновые поверхности имеют вид сфер. Поэтому такие волны называют сферическими. Известны волны с волновыми поверхностями и другой формы: плоские, цилиндрические и др.
 

Радиальные прямые, исходящие из точечного источника, в нашем случае совпадают с направлениями, в которых распространяются возмущения, т. е. переносится энергия от источника.
 

Если источник возмущения не является точечным, то фронт создаваемой им волны может отличаться от сферы.

Более того, в некоторых случаях форма фронта может изменяться в процессе распространения волны. Как же в таких случаях определять положение и вид волнового фронта? Например, как определить вид фронта в момент времени $t+∆t$, если известен волновой фронт в предшествующий момент времени $t$? Для решения этой задачи нидерландский физик Христиан Гюйгенс (1629–1695) в 1690 г. предложил способ, получивший название принцип Гюйгенса.

Рис. 2. Принцип Гюйгенса

Примеры таких построений для сферической и плоской волн, распространяющихся в однородной изотропной среде, показаны на рис. 2.

 

Принцип Гюйгенса позволяет объяснить законы отражения и преломления волн разной природы на границе раздела двух однородных изотропных сред.

Объяснение закона отражения света с помощью принципа Гюйгенса

Пусть волна с плоским волновым фронтом А₁В₁ падает на отражающую поверхность MN под углом $\alpha$ (рис. 3). Будем считать, что эта поверхность является зеркальной, т. е. её неровности пренебрежимо малы по сравнению с длиной $\lambda$ падающей волны.

Рис. 3. Отражение плоской световой волны от зеркальной поверхности

Рассмотрим момент времени $t$, в который возмущение вдоль луча А₁А достигает поверхности MN. Начиная с этого момента, точка А становится источником вторичной волны. Возмущение в точке С, принадлежащей тому же волновому фронту падающей волны, что и точка А, достигнет отражающей поверхности в точке В через время $∆t=\frac{\mathrm{CB}}{v}$, где $v$ — модуль скорости падающей волны. На это время вторичная волна из точки А распространится от поверхности во все стороны на расстояние  $\mathrm{AD}=v·∆t$. Следовательно, СВ = АD.

Огибающая DB всех вторичных волн, порождённых точками участка АВ, является фронтом отражённой волны в момент времени $t+∆t$. Перпендикуляр к этому фронту — луч AD — образует с перпендикуляром к поверхности угол $\gamma$. Следовательно, $\gamma$ — угол отражения. Поскольку $\sin \left(\alpha \right)=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AB}}$, $\sin \left(\gamma \right)=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}$, то $\alpha =\gamma$. Таким образом, применение принципа Гюйгенса позволяет сформулировать закон отражения для волн любой природы.

Отражение волн лежит в основе многих природных явлений (эхо, миражи, отражение радиоволн от ионосферы и др.), используется во многих технических устройствах и системах (уголковые отражатели, волноводы, гидролокаторы и радиолокаторы). В ряде случаев отражение волн приводит к вредным последствиям: повышению уровня шумов, многократным двоениям телевизионных изображений и т. п. Простейший способ борьбы с подобными вредными явлениями — нанесение на отражающие поверхности поглощающих покрытий. Этот же способ используют в военной технике для того, чтобы затруднить обнаружение противником своих самолётов, ракет и подводных лодок.

Объяснение закона преломления света с помощью принципа Гюйгенса

Пусть волна с плоским волновым фронтом А₁В₁ падает под углом $\alpha$ на плоскую границу MN раздела двух сред с разными показателями преломления (рис. 4). Будем считать, что неровности этой поверхности достаточно малы по сравнению с длиной $\lambda$ падающей волны.

Рис. 4. Преломление плоской световой волны на границе раздела двух сред с разными показателями преломления

Рассмотрим момент времени $t$, в который возмущение, распространяющееся вдоль луча А₁А, достигает границы MN. Начиная с этого момента, точка А становится источником вторичной волны. Возмущение в точке В₁, принадлежащей тому же волновому фронту, что и точка А, достигнет границы MN в точке В через время $∆t=\frac{\mathrm{CB}}{v_1}$, где $v_1$ — модуль скорости падающей волны, т. е. модуль скорости волны в первой среде. За это время вторичная волна из точки А распространяется во все стороны в первой среде на расстояние $v_1·∆t$, а во второй среде на расстояние $\mathrm{AD}=v_2·∆t$, где $v_2$ — модуль скорости вторичной волны во второй среде.

Огибающая DB всех вторичных волн во второй среде является фронтом преломлённой волны в момент времени $t+∆t$. Перпендикуляр к этому фронту — луч AD — образует с перпендикуляром к границе MN угол $\beta$. Следовательно, $\beta$ — угол преломления. Поскольку 

$\sin \left(\alpha \right)=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AB}}$, $\sin \left(\beta \right)=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}$,

то

$\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\sin \left(\beta \right)}=\frac{v_1}{v_2}$.

Таким образом, применение принципа Гюйгенса позволяет сформулировать закон преломления для волн любой природы при прохождении ими плоской границы раздела двух однородных прозрачных непоглощающих сред.

Из формулы $n_{21}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_1}{v_2}$ следует важный вывод. Так как скорость электромагнитной волны в вакууме является фундаментальной константой и равна $c\approx 3·{10}^8 \mathrm{м}/\mathrm{с}$, то скорость электромагнитной волны в среде с абсолютным показателем преломления $n$ равна 

$v=\frac{c}{n}$.

Соотношение выше позволяет утверждать, что явление дисперсии электромагнитных волн можно объяснить зависимостью показателя преломления среды от частоты колебаний в этих волнах.

На эффекте преломления волн основаны принципы действия большинства оптических приборов (микроскопы, телескопы), работа световодов, сверхдальняя радиосвязь и др. Преломлением волн объясняются многие природные явления (миражи, звуковые каналы в океане и атмосфере и т. д.).