Конспект урока: Дифракционная решётка

Дифракционная решётка

Рис. 1. Дифракционная решётка

На явлении дифракции основан принцип действия дифракционной решётки — прибора, широко применяемого для спектрального анализа света.
 

Простейшая дифракционная решётка представляет собой совокупность одинаковых параллельных друг другу щелей, разделённых равными непрозрачными промежутками (рис. 1).

Пусть на решётку перпендикулярно её плоскости падает плоская монохроматическая волна — параллельный пучок света с длиной волны $\lambda$ (рис. 2). Будем считать, что ширина каждой щели настолько мала, что порождаемая ею вторичная волна является цилиндрической. Поэтому сечения волновых фронтов вторичных волн представляют собой полуокружности. Расстояние между соседними щелями называют периодом решётки $d$.

Рис. 2. Пучок параллельных лучей падает перпендикулярно плоскости решётки

Простейшие дифракционные решётки изготавливают нанесением большого числа параллельных штрихов на поверхность стеклянной или металлической пластины. С помощью решёток, изготовленных на металлических пластинах, дифракцию наблюдают в отражённом свете. На стеклянных решётках дифракцию можно наблюдать в проходящем свете. В настоящее время используют решётки, имеющие до двух тысяч щелей на один миллиметр при общей длине решётки до 150 мм.

Принцип Гюйгенса – Френеля для описания дифракционной картины

Воспользуемся принципом Гюйгенса – Френеля для описания дифракционной картины на экране, который расположен в фокальной плоскости собирающей линзы (рис. 2). Фронт падающей на решётку волны совпадает с плоскостью решётки. Поэтому вторичные волны, порождаемые всеми щелями, синфазны и имеют равные амплитуды. Рассмотрим ход параллельных лучей вторичных волн от разных щелей. Пусть все лучи идут под углом $\phi$. Все такие лучи, собираясь в соответствующем побочном фокусе линзы на экране, интерферируют друг с другом. Результат интерференции зависит от разности хода между лучами.

Разность хода между лучами от двух соседних щелей равна $∆=d·\sin \left(\phi \right)$.
 

Если при некотором угле $\phi$ эта разность хода равна целому числу длин волн, то в соответствующем (главном или побочном) фокусе линзы все вторичные волны, складываясь, будут усиливать друг друга. Поэтому на экране будет наблюдаться интерференционный максимум — вертикальная полоса света, расположенная на некотором расстоянии от главной оптической оси линзы. 

С увеличением угла $\phi$ будет увеличиваться разность хода между лучами от соседних щелей. При увеличении разности хода на длину волны $\lambda$ вторичные волны, складываясь и усиливая друг друга, будут образовывать на экране следующий интерференционный максимум. Такие максимумы называют главными интерференционными максимумами. Условие главного интерференционного максимума в картине, получаемой от дифракционной решётки, имеет вид

$d·\sin \left(\phi \right)=k·\lambda$,

где $k$ — целое число, порядок главного интерференционного максимума. С учётом симметрии картины главные интерференционные максимумы будут располагаться симметрично главной оптической оси линзы — в виде вертикальных полос света определённой длины волны.

Отметим, что при $\phi =0$ разность хода между лучами от всех щелей равна нулю и не зависит от длины волны. Поэтому в главном фокусе линзы наблюдается центральный (нулевой) интерференционный максимум для света с любой длиной волны.
 

Свойство дифракционных решёток разделять в пространстве излучения волн разных длин позволяет использовать их при спектральном анализе.

Эффективность дифракционной решётки в зависимости от числа её щелей

Эффективность применения дифракционной решётки увеличивается при увеличении числа её щелей. Это обусловлено двумя причинами. Во-первых, с увеличением числа щелей ширина каждого главного интерференционного максимума уменьшается. Это позволяет увеличивать разрешающую способность решётки — способность различать излучения с близкими длинами волн. Во-вторых, в главном интерференционном максимуме все вторичные волны складываются в фазе. Поэтому амплитуда колебаний в главном максимуме пропорциональна числу $N$ щелей в решётке. Соответственно, интенсивность света, которая пропорциональна квадрату амплитуды, в этих максимумах пропорциональна квадрату числа щелей: $I~N^2$.

Почему же главные интерференционные максимумы сужаются при увеличении числа щелей в решётке? 

Это явление обусловлено образованием в интерференционной картине так называемых побочных максимумов и минимумов. Число расположенных между соседними главными максимумами побочных минимумов равно $N-1$, а максимумов — $N-2$, где $N$ — число щелей в решётке.

Рис. 3. Интерференционная картина, создаваемая дифракционной решёткой

Рассмотрим образование ближайшего к главному максимуму побочного минимума. Пусть параллельный пучок лучей вторичных волн распространяется от щелей решётки под углом ${\phi }_k+∆\phi$, где ${\phi }_k$ — направление на главный интерференционный максимум $k$-го порядка, а $∆\phi$ — такой малый угол, что $N·d·\sin (∆\phi )=\lambda$. В этом случае разность хода лучей от двух соседних щелей $∆=\frac{\lambda }{N}$. Следовательно, разность хода двух лучей от крайних щелей, расположенных на противоположных концах решётки, в точности равна $\lambda$. Поэтому совокупность всех щелей решётки может быть разбита на такие пары, что для каждой из них разность хода между лучами равна $\frac{\lambda }{2}$. Такие лучи гасят друг друга. В результате в рассматриваемом направлении наблюдается побочный минимум.

Отметим, что интенсивность света в побочных максимумах существенно меньше, чем в главных. В результате при достаточно большом числе щелей побочные максимумы становятся практически незаметными и не препятствуют проведению спектральных исследований.