Конспект урока: Дифракционная решётка

Дифракционная решетка

Рис. 1. Дифракционная решетка

На явлении дифракции основан принцип действия дифракционной решетки – прибора, широко применяемого для спектрального анализа света.
 

Простейшая дифракционная решетка представляет собой совокупность одинаковых параллельных друг другу щелей, разделенных равными непрозрачными промежутками (рис. 1).

Пусть на решетку перпендикулярно ее плоскости падает плоская монохроматическая волна – параллельный пучок света с длиной волны $\lambda$ (рис. 2). Будем считать, что ширина каждой щели настолько мала, что порождаемая ею вторичная волна является цилиндрической. Поэтому сечения волновых фронтов вторичных волн представляют собой полуокружности. Расстояние между соседними щелями называют периодом решетки $d$.

Рис. 2. Пучок параллельных лучей падает перпендикулярно плоскости решетки

Простейшие дифракционные решетки изготавливают, нанося большое число параллельных штрихов на поверхность стеклянной или металлической пластины. С помощью решеток, изготовленных на металлических пластинах, дифракцию наблюдают в отраженном свете. На стеклянных решетках дифракцию можно наблюдать в проходящем свете. В настоящее время используют решетки имеющие до двух тысяч щелей на один миллиметр при общей длине решетки до 150 мм.

Принцип Гюйгенса – Френеля для описания дифракционной картины

Воспользуемся принципом Гюйгенса – Френеля для описания дифракционной картины на экране, который расположен в фокальной плоскости собирающей линзы (рис. 2). Фронт падающей на решетку волны совпадает с плоскостью решетки. Поэтому вторичные волны, порождаемые всеми щелями, синфазны и имеют равные амплитуды. Рассмотрим ход параллельных лучей вторичных волн от разных щелей. Пусть все лучи идут под углом $\phi$. Все такие лучи, собираясь в соответствующем побочном фокусе линзы на экране интерферируют друг с другом. Результат интерференции зависит от разности хода между лучами.

Разность хода между лучами от двух соседних щелей равна: $∆=d·\sin \left(\phi \right)$.
 

Если при некотором угле $\phi$ эта разность хода равна целому числу длин волн, то в соответствующем (главном или побочном) фокусе линзы все вторичные волны, складываясь, будут усиливать друг друга. Поэтому на экране будет наблюдаться интерференционный максимум – вертикальная полоса света, расположенная на некотором расстоянии от главной оптической оси линзы. 

С увеличением угла $\phi$ будет увеличиваться разность хода между лучами от соседних щелей. При увеличении разности хода на длину волны $\lambda$ вторичные волны, складываясь и усиливая друг друга, будут образовывать на экране следующий интерференционный максимум. Такие максимумы называют главными интерференционными максимумами. Условие главного интерференционного максимума в картине, получаемой от дифракционной решетки имеет вид:

$d·\sin \left(\phi \right)=k·\lambda$,

где $k$ – целое число, порядок главного интерференционного максимума. С учетом симметрии картины главные интерференционные максимумы будут располагаться симметрично главной оптической оси линзы – в виде вертикальных полос света определенной длины волны.

Отметим, что при $\phi =0$ разность хода между лучами от всех щелей равна нулю и не зависит от длины волны. Поэтому в главном фокусе линзы наблюдается центральный (нулевой) интерференционный максимум для света с любой длиной волны.
 

Свойство дифракционных решеток разделять в пространстве излучения разных длин волн позволяет использовать их при спектральном анализе.

Эффективность дифракционной решетки в зависимости от числа ее щелей

Эффективность применения дифракционной решетки увеличивается при увеличении числа ее щелей. Это обусловлено двумя причинами. Во-первых, с увеличением числа щелей ширина каждого главного интерференционного максимума уменьшается. Это позволяет увеличивать разрешающую способность решетки – способность различать излучения с близкими длинами волн. Во – вторых, в главном интерференционном максимуме все вторичные волны складываются в фазе. Поэтому амплитуда колебаний в главном максимуме пропорциональна числу $N$ щелей в решетке. Соответственно, интенсивность света, которая пропорциональна квадрату амплитуды, в этих максимумах пропорциональна квадрату числа щелей: $I~N^2$.

Почему же главные интерференционные максимумы сужаются при увеличении числа щелей в решетке? 

Это явление обусловлено образованием в интерференционной картине так называемых побочных максимумов и минимумов. Число расположенных между соседними главными максимумами побочных минимумов равно $N-1$, а максимумов – $N-2$, где $N$ – число щелей в решетке.

Рис. 3. Интерференционная картина, создаваемая дифракционной решеткой

Рассмотрим образование ближайшего к главному максимуму побочного минимума. Пусть параллельный пучок лучей вторичных волн распространяется от щелей решетки под углом ${\phi }_k+∆\phi$, где ${\phi }_k$ – направление на главный интерференционный максимум $k$ – го порядка, а $∆\phi$ – такой малый угол, что $N·d·\sin (∆\phi )=\lambda$. В этом случае разность хода лучей от двух соседних щелей $∆=\frac{\lambda }{N}$. Следовательно, разность хода двух лучей от крайних щелей, расположенных на противоположных концах решетки, в точности равна $\lambda$. Поэтому совокупность всех щелей решетки может быть разбита на такие пары, что для каждой из них разность хода между лучами равна $\frac{\lambda }{2}$. Такие лучи гасят друг друга. В результате в рассматриваемом направлении наблюдается побочный минимум.

Отметим, что интенсивность света в побочных максимумах существенно меньше, чем в главных. В результате при достаточно большом числе щелей побочные максимумы становятся практически незаметными и не препятствуют проведению спектральных исследований.