Конспект урока: Дифракция света

Определение дифракции света

Звуковые волны, распространяясь в пространстве, могут огибать препятствия (мы не перестаём слышать звук, завернув за угол здания), морские волны свободно огибают выступающий из воды камень, радиоволна без отражения от ионосферы может проникать за горизонт, если размеры волн соизмеримы с размерами препятствий.
 

Могут ли световые волны проникать в область геометрической тени, которая образуется за освещаемым непрозрачным предметом (обнаруживать дифракцию)?

Рис. 1. Дифракция Френеля на полуплоскость

Возьмём монохроматический источник света и поместим его в фокус собирающей линзы. В результате за линзой получим плоскую световую волну — параллельный пучок света. Поставим на пути этого пучка препятствие — непрозрачную полуплоскость. Если расстояние до экрана невелико, то контуры тени получаются чёткими, что подтверждает закон прямолинейного распространения света. Но при увеличении расстояния от источника до экрана вид тени меняется: интенсивность в области геометрической тени спадает постепенно до нуля, а перед границей тени наблюдаются чередующиеся светлые и тёмные полосы, и лишь на некотором расстоянии от границы интенсивность становится такой же, как и при отсутствии экрана (рис. 1).

Удивительными получаются тени на экране, когда параллельным пучком монохроматического света освещается диск. По мере удаления экрана от диска границы тени становятся всё более размытыми, а в центре появляется светлое пятно — пятно Пуассона (рис. 2), в честь французского математика Симеона Дени Пуассона (1781–1840), предсказавшего это явление.

Рис. 2. Пятно Пуассона. Дифракция на дисках разного диаметра

Дифракция свойственна волнам любой природы.

Основные положения теории дифракции

Френель в 1816 г. дополнил известный принцип Гюйгенса идеей о когерентности вторичных волн, порождаемых в точках волнового фронта первичной волны. В результате был получен принцип, позволяющий рассчитывать интенсивность результирующей волны в любой точке пространства — принцип Гюйгенса – Френеля.

Точка, в которой с помощью оптической системы получается изображение точечного монохроматического источника, соответствует интерференционному максимуму вторичных волн, порождённых первичной волной от этого источника.

Если точечный источник расположен в фокусе собирающей линзы, то образующаяся за линзой плоская волна есть результат интерференции вторичных волн. Если на собирающую линзу падает плоская волна, то точка, соответствующая интерференционному максимуму прошедших через линзу вторичных волн, будет представлять собой соответствующий фокус этой линзы, т. е. будет располагаться в фокальной плоскости.

Метод Френеля для объяснения дифракционной картины

На рисунке 3 приведён эксперимент по получению дифракционной картины при падении параллельного пучка света с длиной $\lambda$ на щель в непрозрачном экране. Дифракционная картина представляет собой систему полос на экране, который находится в фокальной плоскости линзы.

Рис. 3. Дифракция на одной щели

На рис. 3 видно, что фронт падающей волны на щель совпадает с плоскостью, в которой расположена щель. Поэтому вторичные волны, порождённые всеми точками щели, синфазны и имеют равные амплитуды. Мысленно разделим щель шириной на вторичные источники — узкие полосы света, параллельные краям щели. Источники будут когерентны. Разность хода между двумя параллельными лучами от двух разных точечных источников определяется углом $\phi$. Оптическая разность хода для параллельных лучей, идущих перпендикулярно экрану, равна нулю, следовательно, в главном фокусе линзы, где соберутся такие лучи вторичных волн, будет наблюдаться центральный (нулевой) дифракционный максимум. На экране ему будет соответствовать светлая полоса, параллельная оси щели.

 

По мере увеличения угла $\phi$ разность хода между лучами ($∆=b·\sin \left(\phi \right)$) увеличивается. Если разность хода лучей станет равна $\frac{\lambda }{2}$, то эти лучи будут приходить в одну точку экрана в противофазе и погасят друг друга. Рассмотрим лучи, идущие под таким углом: $∆=b·\sin \left({\phi }_1\right)=\lambda$. Все точечные источники на ширине щели можно разбить на пары с расстоянием между источниками $\frac{b}{2}$, тогда разность хода для каждой пары таких лучей будет равна $\frac{\lambda }{2}$ и волны погасят друг друга. Эта точка будет первым дифракционным минимумом.

Понятно, что на экране симметрично нулевому максимуму будет ещё один дифракционный минимум. Координаты точек дифракционных минимумов первого порядка равны

$x_{\pm 1}^{min}=F·\mathrm{tg}\left({\phi }_{\pm 1}^{min}\right)=\pm F·\frac{\lambda }{\sqrt{b^2-{\lambda }^2}}$,

где $F$ — фокусное расстояние линзы.

Дифракционную картину можно получить без линзы. Для этого экран следует расположить на достаточно большом расстоянии от щели. Тогда вторичные волны будут приходить к нему практически параллельно. В результате условия дифракционных максимумов и минимумов будут такими же, как и при наличии линзы.

Из анализа формулы $b·\sin \left({\phi }_{\pm k}^{min}\right)=\pm k·\lambda$ для дифракционного минимума первого порядка следует, что ширина нулевого дифракционного максимума будет практически равна ширине щели, если $L<\frac{b^2}{\lambda }$. Таким образом, при выполнении этого условия можно считать, что выполняется закон прямолинейного распространения света. Если же щель является достаточно узкой — $b\ll \sqrt{\lambda ·L}$, то ширина нулевого дифракционного максимума будет во много раз превосходить ширину щели.

Рис. 4. Дифракционная картина, получаемая при нормальном падении параллельного пучка света на непрозрачный экран с отверстием

Если свет падает на непрозрачный экран с отверстием, то дифракционная картина тоже будет наблюдаться и будет похожа на дифракционную картину от щели (рис. 4).

 

В центре наблюдается дифракционный максимум, а по мере удаления от центра расположены чередующиеся дифракционные максимумы и минимумы в виде концентрических колец (рис. 4), при этом интенсивность света резко падает с ростом порядка дифракционного максимума.

 

Используя принцип Гюйгенса – Френеля, можно показать, что радиус первого дифракционного минимума равен

 

$r\approx \frac{\lambda ·L}{R}$.

Аналогичные дифракционные картины (светлое пятно, окружённое системой концентрических колец) наблюдаются и при получении изображения точечного источника с помощью линзы. Это приводит к тому, что изображения двух близко расположенных точечных источников могут слиться и стать неразличимыми. Если угловое расстояние между двумя звёздами, наблюдаемыми в телескоп, будут меньше некоторого значения, которое называется пределом разрешения, то их изображения не будут восприниматься раздельно.

Разрешающая способность оптической системы:
 

$\alpha \approx 1,22·\frac{\lambda }{D}$,
 

где $D$ — минимальный диаметр пучка света, проходящего через оптическую систему.
 

Минимальное расстояние, между двумя святящимися точками, которые могут быть разрешены при наблюдении в микроскоп: 

$∆\approx \alpha ·d\approx \lambda ·\frac{d}{D}$,
 

где $∆$ — расстояние между светящимися точками, $d$ — расстояние от предмета до объектива. Поскольку объектив микроскопа должен давать действительное изображение, то $d>F$, где $F$ — фокусное расстояние объектива.