Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Статистическая вероятность

Статистика

30.05.2024
1939
0

Статистическая вероятность

План урока

  • Статистическая вероятность

Цели урока

  • Знать определения абсолютной частоты, относительной частоты и статистической вероятности
  • Уметь вычислять относительную частоту события на основе статистических данных

Разминка

  1. Какое событие называют случайным?
  2. Как называется событие, вероятность которого равна 1?
  3. Как называется событие, вероятность которого равна 0?
  4. Вероятность появления события A при некотором испытании равна 0,3. Чему равна вероятность того, что при этом испытании событие A не произойдёт?

Статистическая вероятность 

 

Вам уже знакомо классическое определение вероятности. Однако, оно применимо лишь в тех случаях, когда можно теоретически выявить все равновозможные исходы испытания. На практике часто встречаются такие испытания (явления), в которых число исходов необозримо велико. Кроме того, не все исходы могут быть равновозможными или установить их равновозможность проблематично. Поэтому существует другой подход к определению понятия вероятности. Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается более вероятным, чем чаще оно происходит. Значит, вероятность события должна быть каким-то образом связана с частотой появления этого события.


Определение 1 

Абсолютной частотой случайного события A в серии из N случайных опытов называется число M, которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие A.


Абсолютная частота всегда выражается целым числом 0𝑀𝑁. При этом: 

  • для невозможного события 𝑀=0;
  • для достоверного события 𝑀=𝑁.


Определение 2 

Относительной частотой случайного события A в серии из N случайных опытов называется число WA, которое показывает, какая доля опытов в этой серии завершилась наступлением события A

 

𝑊(𝐴)=𝑀N.


Относительная частота выражается числом от 0 до 1. При этом: 

  • для невозможного события 𝑊(𝐴)=0;
  • для достоверного события 𝑊(𝐴)=1.


Пример 1 

При стократном бросании монеты «орёл» выпал 48 раз. Какова относительная частота выпадения «орла» в данной серии бросания монеты?


Решение

 

Событие A – выпадение «орла», произошло в 48 случаях, т.е. M=48. Общее число испытаний (бросаний монеты) N=100. Следовательно, относительная частота выпадения «орла» в данной серии равна 𝑊(𝐴) =48100=0,48

 

Ответ: 0,48


Пример 2 

Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные - к первому. Найти относительную частоту изделий первого сорта, относительную частоту изделий второго сорта.


Решение 

 

Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: 400-20=380. Поскольку N=400M1=380, то частота изделий первого сорта: 

 

W1=380400=0,95

 

Аналогично, находим частоту изделий второго сорта: 

 

W2=20400=0,05

 

Ответ: 0,950,05


Если проводить реальные испытания с подбрасыванием монеты и фиксировать количество появлений «орла» в разных сериях испытаний, то можно заметить: чем больше проводится испытаний, тем меньше относительная частота появления «орла» отличается от значения 0,5. То есть можно сказать, что относительная частота появления орла стремится к вероятности этого события в классическом понимании. Такие эксперименты проводили различные учёные прошлого. Так французский математик и естествоиспытатель XVIII века Жорж-Луи Леклерк де Бюффон, выполнив 4040 подбрасываний монеты, наблюдал появление «орла» 2048 раз и, следовательно, получил относительную частоту появления «орла», равную 204840400,5069. Английский учёный Карл Пирсон со своими учениками выполнил 24000 подбрасываний монеты. «Орёл» выпал в 12012 случаях. Таким образом, у Пирсона частота появления «орла» оказалась равной 12012240000,5005.


Определение 3 

Статистической вероятностью случайного события A называется число P(A), к которому приближается относительная частота W(A) в длинной серии экспериментов.


С математической точки зрения данную формулировку нельзя назвать определением. Во-первых, где гарантия, что относительная частота вообще будет к чему-то «приближаться»? Во-вторых, насколько длинной должна быть сама серия, чтобы полученная в ней частота достаточно хорошо приближала вероятность? И так далее. Получается, что точно найти вероятность с помощью этого определения нельзя. Тем не менее оно даёт возможность приближённо оценить вероятность по частоте – причём тем точнее, чем длиннее серия проведённых экспериментов.


Пример 3 

Из 1000 произвольно выбранных деталей примерно 4 бракуются. Сколько примерно бракованных окажется среди 2400 деталей?


Решение 

 

Обозначим событие A – наугад выбранная деталь бракованная. Тогда статистическая вероятность примерно равна 𝑃(𝐴)𝑊(𝐴)=0,004

Пусть среди 2400 деталей x бракованных. Тогда 

 

𝑥24000,004𝑥10

 

Ответ: 10.


Пример 4 

При стрельбе по мишени относительная частота попаданий W=0,75. Найти примерное число попаданий при 40 выстрелах.


Решение 

 

𝑃(𝐴)𝑊(𝐴)=0,75. Пусть при 40 выстрелах x попаданий. Тогда 

 

𝑥40 0,75𝑥30

 

Ответ: 30


Упражнение 1

  1. Отдел технического контроля обнаружил 10 нестандартных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите относительную частоту изготовления бракован­ных изделий.
  2. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабо­раторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный всход. Какова относительная частота нормального всхода семян?
  3. Найдите относительную частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
  4. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

Цвет волос

Брюнеты 

Шатены

Рыжие 

Блондины

Всего

Число людей

198

372 

83

212

865 

 

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет: 

 

а) шатеном; 

б) рыжим; 

в) не рыжим.


Контрольные вопросы 

 

  1. Что такое абсолютная частота события?
  2. Что такое относительная частота события?
  3. В каких пределах заключена относительная частота случайного события?
  4. Сформулируйте статистическое определение вероятности.


Ответы

Упражнение 1

  1. 0,01;
  2. 0,95 и 0,05;
  3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2;
  4. а) ≈0,43; б) ≈0,096; в) ≈0,904.

Предыдущий урок
Свойства функции y=cos x и ее график. Свойства функции y=sin x и ее график. Свойства функции y=tg x и ее график
Тригонометрия
Следующий урок
Случайные величины. Центральные тенденции. Меры разброса
Статистика
Поделиться:
  • Обособленные и необособленные определения

    Русский язык

  • Знаки препинания в бессоюзном сложном предложении. Двоеточие

    Русский язык

  • Сложное синтаксическое целое. Абзац. Средства связи

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке