Конспект урока: Случайные величины. Центральные тенденции. Меры разброса

Меры разброса 

В предыдущем параграфе мы рассмотрели числовые характеристики, позволяющие оценить выборку «в среднем» (центральные тенденции). Это далеко не всегда даёт полное представление о поведении изучаемой величины. Например, на планете Меркурий средняя температура $+15°$. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от $-150°$ до $+350°$. Значит, чтобы получить представление о поведении случайной величины, помимо центральных тенденций надо знать характеристики разброса, показывающие, насколько значения выборки различаются между собой, как сильно они разбросаны, рассеяны вокруг средних. Простейшей такой характеристикой является размах.

Размах ($R$) – это разность наибольшего и наименьшего значений случайной величины выборки.

Для температуры на Меркурии, например, размах равен 

$R=350°-\left(-150°\right)=500°$. 

Очевидно, что такого перепада температур человек выдержать не может. Размах вычисляется очень просто, но не всегда несёт достоверную информацию, т.к. на его величину может сильно повлиять какое-то одно значение выборки. Поэтому в реальных статистических исследованиях чаще используют другую характеристику разброса – дисперсию, которая сложнее вычисляется, но зато меньше подвержена таким колебаниям. Прежде, чем дать определение этого понятия, рассмотрим следующую выборку некоторой случайной величины: 3; 4; 9; 7; 2. 

Найдём среднее арифметическое этих значений:

$\frac{3+4+9+7+2}{5}=5$.

Самым естественным кажется, на первый взгляд, посчитать отклонение от среднего для каждого значения выборки и затем найти их среднее арифметическое:

$\frac{(3-5)+(4-5)+(9-5)+(7- 5)+(2-5)}{5}=\frac{-2-1+4+2-3}{5}=0$.

Нуль получен не случайно: при вычислении «среднего разброса» часть отклонений входит со знаком «плюс», часть – со знаком «минус». В результате сложения получаем нуль. Можно доказать, что такой результат будет и при любом другом ряде чисел.

Поэтому полученный результат (нуль) не даёт никакого представления о том, как в среднем разбросаны значения выборки. Какой же выход? Можно находить среднее арифметическое, например, модулей отклонений. Но с модулем не всегда удобно работать. Поэтому в статистике решили находить среднее арифметическое не самих отклонений и не модулей отклонений, а квадратов отклонений от среднего.

Дисперсией ($D$) выборки называется среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего арифметического: 

$D=\frac{{\left(x_1-\overline{X}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{X}\right)}^2+...+{\left(x_N-\overline{X}\right)}^2}{N}$

Таким образом, для рассмотренной выше выборки (3; 4; 9; 7; 2) дисперсия равна:

$D=\frac{{(3-5)}^2+{(4-5)}^2+{(9-5)}^2+{(7- 5)}^2+{(2-5)}^2}{5}=$

$=\frac{4+1+16+4+9}{5}=\frac{34}{5}=6,8$.

У дисперсии есть один существенный недостаток: если исходные значения выборки измеряются в каких-то единицах (например, в рублях), то у дисперсии эти единицы возводятся в квадрат («квадратные» рубли). Избавиться от этого недостатка можно, если использовать другую характеристику разброса – среднее квадратичное отклонение. 

Средним квадратичным отклонением ($𝜎$) называют квадратный корень из дисперсии: 

$𝜎 = \sqrt{D}$.

В рассмотренном примере среднее квадратичное отклонение равно

$𝜎=\sqrt{6,8}\approx 2,608$.

Дисперсию и среднее квадратичное отклонение в статистике называют мерами рассеивания значений случайной величины около среднего значения.

Ученик получил в течение первой учебной четверти следующие отметки по алгебре: 5; 2; 4; 5; 5; 4; 4; 5; 5; 5. Найти размах, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. 

Решение 

1) Найдём размах выборки $R=5 -2=3$. 

2) Для вычисления дисперсии найдём сначала среднее выборки

$\overline{X}=\frac{5+2+4+5+5+4+4+5+5+5}{10}=4,4$.

Теперь найдём дисперсию

$D=\frac{6·(5-4,4){ }^2+ 3·{(4 -4,4)}^2+{(2-4,4)}^2}{10}=\frac{6·0,36+3·0,16+5,76}{10}= 0,84$.

3) Найдём среднее квадратичное отклонение $𝜎=\sqrt{0,84}\approx 0,92$.

Ответ: $R=3$; $D=0,84$; $𝜎\approx 0,92$.

Найдите среднее квадратичное отклонение значений случайной величины $X$, распределение которых по частотам представлено в таблице

Решение

$\sum M =2+3+6+4+5=20$

$\overline{X}=\frac{\sum \left(X·M\right)}{\sum M}=\frac{3·2+4·3+5·6+12·4+20·5}{20}=\frac{196}{20}=9,8$

Для удобства результаты последовательных вычислений занесём в таблицу.

$D=\frac{\sum \left(M·{\left(𝑋 - 𝑋\right)}^2\right)}{\sum M}=\frac{92,48+100,92+138,24+19,36+520,2}{20}=43,56$

$𝜎=\sqrt{43,56}=6,6$

Ответ: $𝜎=6,6$.

1. Найти размах, дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки: 

2; 4; 3; 5; 7; 3; 2; 6; 8; 3. 

2. Найдите среднее квадратичное отклонение значений случайной величины $X$, распределение которых по частотам представлено в таблице.