Конспект урока: Случайные величины. Центральные тенденции. Меры разброса

Центральные тенденции

Основным методом статистики является выборочный метод. Суть его состоит в том, что в реальном опыте мы наблюдаем не всю совокупность явлений или объектов, которые хотели бы изучить, а лишь какую-то их часть. Например, при определении уровня заработной платы работающих граждан вместо выяснения зарплаты всех работающих граждан проводят выборочное исследование лишь малой их части.

Вся совокупность явлений или объектов, подлежащих статистическому исследованию, называется генеральной совокупностью.

В рассмотренном примере генеральная совокупность – все работающие граждане. Подвергать статистическому исследованию всю генеральную совокупность в некоторых случаях слишком трудоёмко или дорого, а в каких-то даже невозможно. Поэтому из всей генеральной совокупности для статистического исследования выбирают небольшое (по сравнению с генеральной совокупностью) конечное множество элементов, которые составляют случайную выборку. Эти элементы изучают, выявляют различные характеристики и закономерности, а затем переносят полученные результаты на всю генеральную совокупность. В этом и состоит суть выборочного метода – по результатам, полученным в выборке, попытаться сделать выводы обо всей генеральной совокупности.

Однако, такое обобщение не всегда возможно. Представьте себе ситуацию, что в рассмотренном примере мы выбрали для исследования работников какой-то одной сферы некоторого региона. Можно ли считать, что полученная в результате исследования средняя зарплата равна средней зарплате по всей России? Вряд ли. Хотя и такое возможно, но маловероятно. Чтобы такие выводы можно было сделать с большей уверенностью, следовало бы тщательно подойти к формированию случайной выборки, сделать её, как говорят, более репрезентативной (от фр. representative – представительный). Видимо, при выборке работающих граждан должны быть пропорционально представлены все регионы, сферы деятельности и т.д.

В статистических исследованиях выборку называют репрезентативной, если в ней присутствуют те и только те значения случайной величины, что и в генеральной совокупности, причём частоты имеющихся в ней данных находятся практически в тех же отношениях, что и в генеральной совокупности.

Например, пусть некоторая случайная величина X распределена следующим образом:

и совокупность всех значений этой величины представляет собой генеральную совокупность.

Тогда выборку из этой совокупности со следующим распределением

можно считать репрезентативной, так как 200:300:400:100=2:3:4:1 и в выборке присутствуют только те значения величины X, которые есть и в генеральной совокупности.

Совокупность числовых данных удобно характеризовать некоторым числом, которое называют мерой центральной тенденции числовых значений случайной величины. К таким характеристикам относятся среднее, мода и медиана.

Среднее (среднее арифметическое) выборки – это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству.

Если рассматривается совокупность значений случайной величины $X$, то её среднее обозначают $\overline{X}$.

В большинстве реальных исследований именно среднее арифметическое несёт наиболее важную информацию об изучаемом явлении. Достаточно вспомнить выражения «средний балл», «средняя зарплата», «средний доход», хорошо знакомые большинству людей.

Ученик получил в течение первой учебной четверти следующие отметки по алгебре: 5; 2; 4; 5; 5; 4; 4; 5; 5; 5.

Найти средний балл.

Решение

$\overline{X}=\frac{5+2+4+5+5+4+4+5+5+5}{10}=4,4$.

Ответ: 4,4.

Найдите среднее выборки значений случайной величины X, распределение которой по частотам представлено в таблице 

Решение

$\overline{X}=\frac{3·2+4·3+5·6+12·4+20·5}{2+3+6+4+5}=\frac{196}{20}=9,8$.

Ответ: 9,8.

Мода (Мо) – это значение случайной величины, имеющее наибольшую частоту в рассматриваемой выборке.

В примере 1 модой является 5, так как эта отметка встречается наиболее часто. В отличии от среднего арифметического, которое можно вычислять для любого числового ряда, моды у ряда может вообще не быть. Например, пусть тот же ученик получил по русскому языку следующие отметки:

4; 2; 3; 5.

Каждая отметка встречается в этом ряду только один раз, и среди них нет числа, встречающегося чаще других. Значит, у этого ряда чисел нет моды. Иногда используют в этой связи другую терминологию: выборка, имеющая единственную моду, называется унимодальной, а выборка, у которой моды нет (или мод несколько) – полимодальной.

Особенностью моды является ещё и то, что её можно использовать не только в числовых рядах. Если, например, опросить большую группу учеников, какой школьный предмет им нравится больше всего, то модой этого ряда окажется тот предмет, который будут называть чаще остальных.

Медиана выборки (Ме) – это значение из этой выборки (или полусумма двух значений), разделяющее упорядоченную выборку на две равные по количеству данных части.

Чтобы найти медиану выборки, нужно её сначала упорядочить – составить ранжированный ряд. Если ряд содержит нечётное число членов, то нужно взять число, которое находится ровно посередине. Если ряд содержит чётное число членов, то нужно взять два средних числа и найти их полусумму.

Найти среднее, моду и медиану выборки:

447; 444; 464; 432; 445; 432; 454; 458.

Решение

Найдём среднее арифметическое: 

$\overline{X}=\frac{447+444+464+432+445+432+454+458}{8}=447$.

Чаще других чисел встречается 432. Поэтому $Мо=432$.

Для нахождения медианы выборки построим ранжированный (упорядоченный) ряд: 432; 432; 444; 445; 447; 454; 458; 464.

Выборка содержит чётное число значений. Поэтому в качестве медианы возьмём полусумму двух средних значений 

$Ме=\frac{445+447}{2}=446$.

Ответ: $\overline{X}=447; Мо=432; Ме=446.$

1. Распределение в генеральной совокупности значений случайной величины X отражено в таблице:

Какая из выборок является репрезентативной для заданной генеральной совокупности:

1) 

2) 

3) 

4) 

2. Найти моду, медиану и среднее выборки:

2; 4; 3; 5; 7; 3; 2; 6; 8; 3.

3. Найти моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины X:

* Во всех заданиях $M$ — частота значения.