Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Решение задач о движении взаимодействующих тел

Динамика

Решение задач о движении взаимодействующих тел

План урока

  • Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити
  • Примеры решения задач

Цели урока

  • Знать: алгоритм решения задач на движение взаимодействующих тел
  • Уметь: решать задачи на движение взаимодействующих тел

Разминка

  • Сформулируйте второй и третий законы Ньютона
  • Как направлена сила трения?
  • Как направлена сила натяжения нити?

Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити

 

Решение задач о движении взаимодействующих тел схоже с решением задач о движении под действием нескольких сил, рассмотренным в предыдущем параграфе.


Но в данном случае второй закон Ньютона необходимо записывать для каждого тела, участвующего во взаимодействии.


Помимо этого, добавляется новый пункт, в котором следует записать третий закон Ньютона для рассматриваемых в задаче тел.


Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел выглядит следующим образом:

 

1. Определить, является ли движение рассматриваемых тел поступательным, ответить на вопрос: можно ли принять их за материальные точки?
2. Выбрать инерциальную систему отсчета. Сделать чертеж с изображением всех сил, действующих на тела, участвующие во взаимодействии.
3. Записать второй закон Ньютона в векторной форме для каждого тела.
4. Записать второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси для каждого тела.
5. Записать третий закон Ньютона. Решение системы уравнений.

 

Решение задач о движении связанных тел осуществляется по уже изученному нами алгоритму.


В данном блоке задач особое внимание следует уделить силам упругости, возникающим в нити при движении связанных тел. Вспомним, что сила упругости, возникающая в нерастяжимой нити, называется сила натяжения нити и обозначается T.

 

Рис. 1. Силы, возникающие в системе из двух брусков, связанных нитью, в результате действия силы F Рис. 1. Силы, возникающие в системе из двух брусков, связанных нитью, в результате действия силы F

Рассмотрим, какие силы возникают в системе из двух брусков, связанных невесомой нитью, если на один из них подействовать с некоторой силой F (рис. 1).


В результате действия силы F брусок 2 приходит в движение, нить, связывающая бруски, начинает действовать на брусок 1 с силой T1. По третьему закону Ньютона брусок действует на нить с силой T такой, что T=-T1.

Аналогичные рассуждения применимы ко второму бруску: нить действует на него с силой T2, брусок действует на нить с силой T' такой, что T'=-T2.


Таким образом, силы T и T' действуют на нить, а силы T1 и T2 – на связанные бруски.

 

Если натянутая нить невесома, силы упругости, возникающие в различных частях нити, равны по модулю:

 

T=T'

 

Так как T=-T1 и T'=-T2, справедливо будет записать следующее равенство:
 

T=-T1=T'=-T2.
 

При решении задач может быть нецелесообразно рисовать силы T и T', возникающие в нити, за исключением случая, когда нить обладает массой и данные силы не равны друг другу (решение подобной задачи рассмотрено в примере 3).

 

Примеры решения задач


Пример 1

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1 Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

На гладкой горизонтальной поверхности друг на друге лежат два бруска (рис. 2). Коэффициент трения между брусками равен 0,6. Определите, с какой минимальной силой F надо подействовать на брусок массой m1, чтобы брусок массой m2 начал по нему скользить. Массы брусков равны m1 = 10 кг и m2 = 4 кг.


Решение
 

1. Пусть бруски двигаются поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

Рис. 3. Силы, действующие на бруски Рис. 3. Силы, действующие на бруски

2. В качестве тела отсчета выберем неподвижную плоскость, на которой лежит бруски. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков вдоль поверхности (рис. 3), ось OY – перпендикулярно оси ОХ. Вектор ускорения направлен в сторону движения брусков.

 

В месте соприкосновения брусков возникают силы трения, препятствующие взаимному движению Fтр1 и Fтр2.
На брусок массой m1 действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила F, а также сила трения и вес, создаваемый бруском массой m2.

На брусок массой m2 действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, возникающая в процессе взаимного движения.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:

Fтр1+m1·g+N1+F+P=m1·a;

Fтр2+m2·g+N2=m2·a.
 

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтем, что в выбранной системе отсчета проекция ускорения на ось ординат равна нулю.
 

OX: F-Fтр=m1·a;

OY: N1-P-m1·g=0;

OX: Fтр2=m2·a;

OY: N2-m2·g=0.

 

5. Согласно третьему закону Ньютона, силы Fтр1 и Fтр2 направлены в противоположные стороны и равны по модулю:

 

Fтр1=Fтр2=Fтр.

 

Следует понимать, что в данном случае Fтр1 не зависит от N1, так как данная сила возникает не из-за трения тела m1 о поверхность, а является следствием трения брусков друг о друга, поэтому Fтр1 определяется силой реакции опоры, действующей на верхний брусок N2.

 

Аналогичные рассуждения применимы к паре сил P и N2, по третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю:
 

P=N2.


6. Запишем формулу силы трения:
 

Fтр=μ·N2.
 

Сведем все полученные соотношения в следующую систему уравнений:
 

F-μ·N2=m1·aN1-P-m1·g=0μ·N2=m2·aN2-m2·g=0P=N2
 

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:

 

F=μ·g·(m1+m2)=0,6·10·(10+4)=84 Н.

 

Ответ: F=84 Н.


Пример 2

 

Через неподвижный невесомый блок перекинута легкая нерастяжимая нить. К концам нити прикрепляют грузы массами m1 = 2 кг и m2 = 8 кг, затем их одновременно отпускают. Найти ускорение системы грузов.


Решение

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2 Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2

1. После того, как грузы отпускают, они начинают двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

 

2. В качестве тела отсчета выберем неподвижную плоскость, к которой прикреплен блок. Пусть ось ОY направлена в сторону движения брусков: так как брусок массой m2 тяжелее, система будет двигаться в направлении силы m2·g (рис. 4). Ось OХ направлена перпендикулярно оси ОY.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:

m1·g+T1=m1·a;

m2·g+T2=m2·a.
 

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтем, что в выбранной системе отсчета проекции ускорения и сил на ось абсцисс равны нулю, поэтому проекции на данную ось можно не рассматривать.

 

Так как первое тело движется вверх, проекция ускорения данного тела на ось ординат будет отрицательна.
 

OY: m1·g-T1=-m1·a;

OY: m2·g-T2=m2·a.

 

5. Как мы уже знаем, при движении связанных тел силы натяжения нити Т1 и Т2, приложенные к телам, равны по модулю:

 

T1=T2=T.
 

6. Решаем полученную систему относительно неизвестного ускорения методом сложения:
 

m1·g-T=-m1·am2·g-T=m2·a

 

a=m1·g-m2·g-m1-m2=2·10-8·10-2-8=6 м/с2.

 

Ответ: a=6 м/с2.


Пример 3

 

К одному концу нерастяжимой веревки массой 0,2 кг привязывают груз массой 3 кг. Веревку вместе с грузом поднимают вертикально вверх, прикладывая силу, равную 60 Н. Найти ускорение системы, а также модули сил упругости, действующие на противоположные концы веревки.


Решение

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3 Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3

1. Веревка по условию задачи нерастяжима, примем, что груз и веревка движутся поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.
 

2. В качестве тела отсчета выберем поверхность Земли. Ось ОY направим в сторону движения системы – в направлении действия силы F (рис. 5). Обозначим массу груза m2, массу веревки m1.

К верхнему концу веревки, к точке А, по условию приложена сила F, в этой точке возникает сила упругости T1, действующая на источник силы F (например, на руку человека, который тянет веревку).

 

В месте крепления груза, в точке В, на веревку действует вес груза P, в результате в этой точке возникает сила упругости T2, действующая на груз.

 

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для веревки и для груза:

F+m1·g+P=m1·a;

m2·g+T2=m2·a.
 

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на ось ординат:
 

OY: F-m1·g-P=m1·a;

OY: T2-m2·g=m2·a.

 

5. По третьему закону Ньютона силы T2 и P равны по модулю и противоположны по направлению:
 

P=T2.
 

6. Решаем полученную систему с учетом соотношения:
 

F-m1·g-T2=m1·aT2-m2·g=m2·a

 

a=F-g·(m1+m2)m1+m2=60-10·(0,2+3)0,2+3=8,75 м/с2.

 

Из уравнения T2-m2·g=m2·a найдем T2:
 

T2=m2·g+m2·a=56,25 Н.
 

Наконец, найдем значение силы Т1: согласно третьему закону Ньютона, данная сила будет равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой веревку тянут вверх:
 

T1=F=60 Н.

 

Ответ: a=8,75 м/с2T1=60 НT2=56,25 Н.


Упражнение 1

 

1. Два бруска массами m1 = 2 кг и m2 = 5 кг связаны легкой невесомой нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени на брусок массой m2 начинает действовать сила F = 40 Н, в результате чего бруски начинают поступательное движение. Найти ускорение системы брусков, если коэффициент трения между поверхностью и брусками равен 0,4.
 

2. На наклонной плоскости длиной 10 м высотой 8 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, необходимо приложить, чтобы тянуть груз вверх с ускорением 2 м/с2? Коэффициент трения 0,5.
 

3. На нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 400 и 1000 г. Какова сила натяжения нити во время движения?


Ответы

 

Упражнение 1

 

1. a = 1,7 м/с2

 

2. F = 650 Н. 

 

3. Т = 5,7 Н.


Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

Динамика

  • Обучение грамоте. Письмо. Первая учебная тетрадь

    Русский язык

  • Язык и речь

    Русский язык

  • Числа от 1 до 100. Счёт десятками.

    Математика