- Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити
- Примеры решения задач
- Знать: алгоритм решения задач на движение взаимодействующих тел
- Уметь: решать задачи на движение взаимодействующих тел
- Сформулируйте второй и третий законы Ньютона
- Как направлена сила трения?
- Как направлена сила натяжения нити?
Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити
Решение задач о движении взаимодействующих тел схоже с решением задач о движении под действием нескольких сил, рассмотренным в предыдущем параграфе.
Но в данном случае второй закон Ньютона необходимо записывать для каждого тела, участвующего во взаимодействии.
Помимо этого, добавляется новый пункт, в котором следует записать третий закон Ньютона для рассматриваемых в задаче тел.
Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел выглядит следующим образом:
1. Определить, является ли движение рассматриваемых тел поступательным, ответить на вопрос: можно ли принять их за материальные точки?
2. Выбрать инерциальную систему отсчета. Сделать чертеж с изображением всех сил, действующих на тела, участвующие во взаимодействии.
3. Записать второй закон Ньютона в векторной форме для каждого тела.
4. Записать второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси для каждого тела.
5. Записать третий закон Ньютона. Решение системы уравнений.
Решение задач о движении связанных тел осуществляется по уже изученному нами алгоритму.
В данном блоке задач особое внимание следует уделить силам упругости, возникающим в нити при движении связанных тел. Вспомним, что сила упругости, возникающая в нерастяжимой нити, называется сила натяжения нити и обозначается .

Рассмотрим, какие силы возникают в системе из двух брусков, связанных невесомой нитью, если на один из них подействовать с некоторой силой F (рис. 1).
В результате действия силы F брусок 2 приходит в движение, нить, связывающая бруски, начинает действовать на брусок 1 с силой . По третьему закону Ньютона брусок действует на нить с силой такой, что .
Аналогичные рассуждения применимы ко второму бруску: нить действует на него с силой , брусок действует на нить с силой такой, что .
Таким образом, силы и действуют на нить, а силы и – на связанные бруски.
Если натянутая нить невесома, силы упругости, возникающие в различных частях нити, равны по модулю:
1) .
Так как и , справедливо будет записать следующее равенство:
2) .
При решении задач может быть нецелесообразно рисовать силы и , возникающие в нити, за исключением случая, когда нить обладает массой и данные силы не равны друг другу (решение подобной задачи рассмотрено в примере 3).
Примеры решения задач
Пример 1

На гладкой горизонтальной поверхности друг на друге лежат два бруска (рис. 2). Коэффициент трения между брусками равен 0,6. Определите, с какой минимальной силой F надо подействовать на брусок массой m1, чтобы брусок массой m2 начал по нему скользить. Массы брусков равны m1 = 10 кг и m2 = 4 кг.
Решение
1. Пусть бруски двигаются поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

2. В качестве тела отсчета выберем неподвижную плоскость, на которой лежит бруски. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков вдоль поверхности (рис. 3), ось OY – перпендикулярно оси ОХ. Вектор ускорения направлен в сторону движения брусков.
В месте соприкосновения брусков возникают силы трения, препятствующие взаимному движению и .
На брусок массой m1 действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила F, а также сила трения и вес, создаваемый бруском массой m2.
На брусок массой m2 действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, возникающая в процессе взаимного движения.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:
;
.
4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтем, что в выбранной системе отсчета проекция ускорения на ось ординат равна нулю.
;
;
;
.
5. Согласно третьему закону Ньютона, силы и направлены в противоположные стороны и равны по модулю:
.
Следует понимать, что в данном случае не зависит от , так как данная сила возникает не из-за трения тела m1 о поверхность, а является следствием трения брусков друг о друга, поэтому определяется силой реакции опоры, действующей на верхний брусок .
Аналогичные рассуждения применимы к паре сил и , по третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю:
.
6. Запишем формулу силы трения:
.
Сведем все полученные соотношения в следующую систему уравнений:
Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:
.
Ответ: .
Пример 2
Через неподвижный невесомый блок перекинута легкая нерастяжимая нить. К концам нити прикрепляют грузы массами m1 = 2 кг и m2 = 8 кг, затем их одновременно отпускают. Найти ускорение системы грузов.
Решение

1. После того, как грузы отпускают, они начинают двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.
2. В качестве тела отсчета выберем неподвижную плоскость, к которой прикреплен блок. Пусть ось ОY направлена в сторону движения брусков: так как брусок массой m2 тяжелее, система будет двигаться в направлении силы (рис. 4). Ось OХ направлена перпендикулярно оси ОY.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:
;
.
Заметим, что в записанных законах Ньютона ускорения для обоих тел одинаковы по модулю. Это следует из условия нерастяжимости нити.
4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтем, что в выбранной системе отсчета проекции ускорения и сил на ось абсцисс равны нулю, поэтому проекции на данную ось можно не рассматривать.
Так как первое тело движется вверх, проекция ускорения данного тела на ось ординат будет отрицательна.
;
.
5. Как мы уже знаем, при движении тел, связанных невесомой нитью, силы натяжения нити Т1 и Т2, приложенные к телам, равны по модулю:
.
6. Решаем полученную систему относительно неизвестного ускорения методом сложения:
.
Ответ: .
Пример 3
К одному концу нерастяжимой веревки массой 0,2 кг привязывают груз массой 3 кг. Веревку вместе с грузом поднимают вертикально вверх, прикладывая силу, равную 60 Н. Найти ускорение системы, а также модули сил упругости, действующие на противоположные концы веревки.
Решение

1. Веревка по условию задачи нерастяжима, примем, что груз и веревка движутся поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.
2. В качестве тела отсчета выберем поверхность Земли. Ось ОY направим в сторону движения системы – в направлении действия силы (рис. 5). Обозначим массу груза m2, массу веревки m1.
К верхнему концу веревки, к точке А, по условию приложена сила , в этой точке возникает сила упругости , действующая на источник силы (например, на руку человека, который тянет веревку).
В месте крепления груза, в точке В, на веревку действует вес груза , в результате в этой точке возникает сила упругости , действующая на груз.
3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для веревки и для груза:
;
.
4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на ось ординат:
;
.
5. По третьему закону Ньютона силы и равны по модулю и противоположны по направлению:
.
6. Решаем полученную систему с учетом соотношения:
.
Из уравнения найдем T2:
.
Наконец, найдем значение силы Т1: согласно третьему закону Ньютона, данная сила будет равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой веревку тянут вверх:
.
Ответ: ; ; .
Упражнение 1
1. Два бруска массами m1 = 2 кг и m2 = 5 кг связаны легкой невесомой нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени на брусок массой m2 начинает действовать сила F = 40 Н, в результате чего бруски начинают поступательное движение. Найти ускорение системы брусков, если коэффициент трения между поверхностью и брусками равен 0,4.
2. На наклонной плоскости длиной 10 м высотой 8 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, необходимо приложить, чтобы тянуть груз вверх с ускорением 2 м/с2? Коэффициент трения 0,5.
3. На нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 400 и 1000 г. Какова сила натяжения нити во время движения?
Контрольные вопросы
1. Как выглядит алгоритм для решения задач о движении взаимодействующих тел?
2. Что значит, что нить нерастяжима?
3. Какие силы возникают в нити при движении двух тел, связанных этой нитью?
4. В каких случаях силы упругости, возникающие в нити, могут иметь различные значения?
Упражнение 1
1. a = 1,7 м/с2.
2. F = 650 Н.
3. Т = 5,7 Н.