Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
10 класс
Физика
Решение задач о движении взаимодействующих тел

Физика 10 класс Физика 10 класс

Конспект урока: Решение задач о движении взаимодействующих тел

Динамика

07.05.2025

2998

Решение задач о движении взаимодействующих тел

План урока

Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити
Примеры решения задач

Цели урока

знать алгоритм решения задач на движение взаимодействующих тел
уметь решать задачи на движение взаимодействующих тел

Разминка

Сформулируйте второй и третий законы Ньютона.
Как направлена сила трения?
Как направлена сила натяжения нити?

Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити

Решение задач о движении взаимодействующих тел схоже с решением задач о движении под действием нескольких сил, рассмотренным в предыдущем параграфе.

Но в данном случае второй закон Ньютона необходимо записывать для каждого тела, участвующего во взаимодействии.

Помимо этого, добавляется новый пункт, в котором следует записать третий закон Ньютона для рассматриваемых в задаче тел.

Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел выглядит следующим образом:

1. Определить, является ли движение рассматриваемых тел поступательным, ответить на вопрос: «Можно ли принять их за материальные точки?»
2. Выбрать инерциальную систему отсчёта. Сделать чертёж с изображением всех сил, действующих на тела, участвующие во взаимодействии.
3. Записать второй закон Ньютона в векторной форме для каждого тела.
4. Записать второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси для каждого тела.
5. Записать третий закон Ньютона. Решение системы уравнений.

Решение задач о движении связанных тел осуществляется по уже изученному нами алгоритму.

В данном блоке задач особое внимание следует уделить силам упругости, возникающим в нити при движении связанных тел. Вспомним, что сила упругости, возникающая в нерастяжимой нити, называется силой натяжения нити и обозначается $\vec{T}$ .

Рис. 1. Силы, возникающие в системе из двух брусков, связанных нитью, в результате действия силы F

Рассмотрим, какие силы возникают в системе из двух брусков, связанных невесомой нитью, если на один из них подействовать с некоторой силой F (рис. 1).

В результате действия силы F брусок 2 приходит в движение, нить, связывающая бруски, начинает действовать на брусок 1 с силой ${\vec{T}}_{1}$ . По третьему закону Ньютона брусок действует на нить с такой силой $\vec{T}$ , что $\vec{T} = - {\vec{T}}_{1}$ .

Аналогичные рассуждения применимы ко второму бруску: нить действует на него с силой ${\vec{T}}_{2}$ , брусок действует на нить с такой силой $\vec{T}'$ , что $\vec{T}' = - {\vec{T}}_{2}$ .

Таким образом, силы $\vec{T}$ и $\vec{T}'$ действуют на нить, а силы ${\vec{T}}_{1}$ и ${\vec{T}}_{2}$ — на связанные бруски.

Если натянутая нить невесома, силы упругости, возникающие в различных частях нити, равны по модулю:

1) $|\vec{T}| = |\vec{T}'|$ .

Так как $\vec{T} = - {\vec{T}}_{1}$ и $\vec{T}' = - {\vec{T}}_{2}$ , справедливо будет записать следующее равенство:

2) $|\vec{T}| = |{\vec{T}}_{1}| = |\vec{T}'| = |{\vec{T}}_{2}|$ .

При решении задач может быть нецелесообразно рисовать силы $\vec{T}$ и $\vec{T}'$ , возникающие в нити, за исключением случая, когда нить обладает массой и данные силы не равны друг другу (решение подобной задачи рассмотрено в примере 3).

Примеры решения задач

Пример 1

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

На гладкой горизонтальной поверхности друг на друге лежат два бруска (рис. 2). Коэффициент трения между брусками равен 0,6. Определите, с какой минимальной силой F надо подействовать на брусок массой m₁, чтобы брусок массой m₂ начал по нему скользить. Массы брусков равны m₁ = 10 кг и m₂ = 4 кг.

Решение

1. Пусть бруски двигаются поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

Рис. 3. Силы, действующие на бруски

2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, на которой лежат бруски. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков вдоль поверхности (рис. 3), ось OY — перпендикулярно оси ОХ. Вектор ускорения направлен в сторону движения брусков.

В месте соприкосновения брусков возникают силы трения, препятствующие взаимному движению ${\vec{F}}_{тр 1}$ и ${\vec{F}}_{тр 2}$ .
На брусок массой m₁ действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила F, а также сила трения и вес, создаваемый бруском массой m₂.

На брусок массой m₂ действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, возникающая в процессе взаимного движения.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:

${\vec{F}}_{тр 1} + m_{1} \cdot \vec{g} + {\vec{N}}_{1} + \vec{F} + \vec{P} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

${\vec{F}}_{тр 2} + m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{N}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекция ускорения на ось ординат равна нулю.

$OX : F - F_{тр 1} = m_{1} \cdot a$ ;

$OY : N_{1} - P - m_{1} \cdot g = 0$ ;

$OX : F_{тр 2} = m_{2} \cdot a$ ;

$OY : N_{2} - m_{2} \cdot g = 0$ .

5. Согласно третьему закону Ньютона, силы ${\vec{F}}_{тр 1}$ и ${\vec{F}}_{тр 2}$ направлены в противоположные стороны и равны по модулю:

$F_{тр 1} = F_{тр 2} = F_{тр}$ .

Следует понимать, что в данном случае $F_{тр 1}$ не зависит от $N_{1}$ , так как данная сила возникает не из-за трения тела m₁ о поверхность, а является следствием трения брусков друг о друга, поэтому $F_{тр 1}$ определяется силой реакции опоры, действующей на верхний брусок $N_{2}$ .

Аналогичные рассуждения применимы к паре сил $\vec{P}$ и ${\vec{N}}_{2}$ , по третьему закону Ньютона они равны по модулю:

$P = N_{2}$ .

6. Запишем формулу силы трения:

$F_{тр} = μ \cdot N_{2}$ .

Сведём все полученные соотношения в следующую систему уравнений:

$\{\begin{cases} F - μ \cdot N_{2} = m_{1} \cdot a \\ N_{1} - P - m_{1} \cdot g = 0 \\ μ \cdot N_{2} = m_{2} \cdot a \\ N_{2} - m_{2} \cdot g = 0 \\ P = N_{2} \end{cases}$ .

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:

$F = μ \cdot g \cdot (m_{1} + m_{2}) = 0, 6 \cdot 10 \cdot (10 + 4) = 84 Н$ .

Ответ: $F = 84 Н$ .

Пример 2

Через неподвижный невесомый блок перекинута лёгкая нерастяжимая нить. К концам нити прикрепляют грузы массами m₁ = 2 кг и m₂ = 8 кг, затем их одновременно отпускают. Найти ускорение системы грузов.

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2

1. После того как грузы отпускают, они начинают двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, к которой прикреплён блок. Пусть ось ОY направлена в сторону движения брусков: так как брусок массой m₂ тяжелее, система будет двигаться в направлении силы $m_{2} \cdot \vec{g}$ (рис. 4). Ось OХ направлена перпендикулярно оси ОY.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:

$m_{1} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{1} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

$m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

Заметим, что в записанных законах Ньютона ускорения для обоих тел одинаковы по модулю. Это следует из условия нерастяжимости нити.

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекции ускорения и сил на ось абсцисс равны нулю, поэтому проекции на данную ось можно не рассматривать.

Так как первое тело движется вверх, проекция ускорения данного тела на ось ординат будет отрицательна.

$O Y : m_{1} \cdot g - T_{1} = - m_{1} \cdot a$ ;

$OY : m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$ .

5. Как мы уже знаем, при движении тел, связанных невесомой нитью, силы натяжения нити Т₁ и Т₂, приложенные к телам, равны по модулю:

$T_{1} = T_{2} = T$ .

6. Решаем полученную систему относительно неизвестного ускорения методом сложения:

$\{\begin{cases} m_{1} \cdot g - T = - m_{1} \cdot a \\ m_{2} \cdot g - T = m_{2} \cdot a \end{cases}$

$a = \frac{m_{1} \cdot g - m_{2} \cdot g}{- m_{1} - m_{2}} = \frac{2 \cdot 10 - 8 \cdot 10}{- 2 - 8} = 6 м / с^{2}$ .

Ответ: $a = 6 м / с^{2}$ .

Пример 3

К одному концу нерастяжимой верёвки массой 0,2 кг привязывают груз массой 3 кг. Верёвку вместе с грузом поднимают вертикально вверх, прикладывая силу, равную 60 Н. Найти ускорение системы, а также модули сил упругости, действующие на противоположные концы веревки.

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3

1. Верёвка по условию задачи нерастяжима. Примем, что груз и верёвка движутся поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОY направим в сторону движения системы — в направлении действия силы $\vec{F}$ (рис. 5). Обозначим массу груза m₂, массу верёвки m₁.

К верхнему концу верёвки, к точке А, по условию приложена сила $\vec{F}$ , в этой точке возникает сила упругости ${\vec{T}}_{1}$ , действующая на источник силы $\vec{F}$ (например, на руку человека, который тянет верёвку).

В месте крепления груза, в точке В, на верёвку действует вес груза $\vec{P}$ , в результате в этой точке возникает сила упругости ${\vec{T}}_{2}$ , действующая на груз.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для верёвки и для груза:

$\vec{F} + m_{1} \cdot \vec{g} + \vec{P} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

$m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на ось ординат:

$O Y : F - m_{1} \cdot g - P = m_{1} \cdot a$ ;

$OY : T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a$ .

5. По третьему закону Ньютона силы ${\vec{T}}_{2}$ и $\vec{P}$ равны по модулю и противоположны по направлению:

$|\vec{P}| = |\vec{T_{2}}|$ .

6. Решаем полученную систему с учётом соотношения:

$\{\begin{cases} F - m_{1} \cdot g - T_{2} = m_{1} \cdot a \\ T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a \end{cases}$

$a = \frac{F - g \cdot (m_{1} + m_{2})}{m_{1} + m_{2}} = \frac{60 - 10 \cdot (0, 2 + 3)}{0, 2 + 3} = 8, 75 м / с^{2}$ .

Из уравнения $T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a$ найдём T₂:

$T_{2} = m_{2} \cdot g + m_{2} \cdot a = 56, 25 Н$ .

Наконец, найдём значение силы Т₁: согласно третьему закону Ньютона, данная сила будет равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой верёвку тянут вверх:

$T_{1} = F = 60 Н$ .

Ответ: $a = 8, 75 м / с^{2}$ ; $T_{1} = 60 Н$ ; $T_{2} = 56, 25 Н$ .

Упражнение 1

1. Два бруска массами m₁ = 2 кг и m₂ = 5 кг связаны лёгкой невесомой нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени на брусок массой m₂ начинает действовать сила F = 40 Н, в результате чего бруски совершают поступательное движение. Найти ускорение системы брусков, если коэффициент трения между поверхностью и брусками равен 0,4.

2. На наклонной плоскости длиной 10 м и высотой 8 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, необходимо приложить, чтобы тянуть груз вверх с ускорением 2 м/с²? Коэффициент трения 0,5.

3. На нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 400 и 1 000 г. Какова сила натяжения нити во время движения?

Контрольные вопросы

1. Как выглядит алгоритм для решения задач о движении взаимодействующих тел?

2. Что значит, что нить нерастяжима?

3. Какие силы возникают в нити при движении двух тел, связанных этой нитью?

4. В каких случаях силы упругости, возникающие в нити, могут иметь различные значения?

Ответы

Упражнение 1

1. a = 1,7 м/с²

2. F = 650 Н

3. Т = 5,7 Н

Решение задач о движении взаимодействующих тел

План урока

Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити
Примеры решения задач

Цели урока

знать алгоритм решения задач на движение взаимодействующих тел
уметь решать задачи на движение взаимодействующих тел

Разминка

Сформулируйте второй и третий законы Ньютона.
Как направлена сила трения?
Как направлена сила натяжения нити?

Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити

Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел выглядит следующим образом:

Решение задач о движении связанных тел осуществляется по уже изученному нами алгоритму.

Рис. 1. Силы, возникающие в системе из двух брусков, связанных нитью, в результате действия силы F

Таким образом, силы $\vec{T}$ и $\vec{T}'$ действуют на нить, а силы ${\vec{T}}_{1}$ и ${\vec{T}}_{2}$ — на связанные бруски.

Если натянутая нить невесома, силы упругости, возникающие в различных частях нити, равны по модулю:

1) $|\vec{T}| = |\vec{T}'|$ .

Так как $\vec{T} = - {\vec{T}}_{1}$ и $\vec{T}' = - {\vec{T}}_{2}$ , справедливо будет записать следующее равенство:

2) $|\vec{T}| = |{\vec{T}}_{1}| = |\vec{T}'| = |{\vec{T}}_{2}|$ .

Примеры решения задач

Пример 1

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

Решение

1. Пусть бруски двигаются поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

Рис. 3. Силы, действующие на бруски

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:

${\vec{F}}_{тр 1} + m_{1} \cdot \vec{g} + {\vec{N}}_{1} + \vec{F} + \vec{P} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

${\vec{F}}_{тр 2} + m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{N}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

$OX : F - F_{тр 1} = m_{1} \cdot a$ ;

$OY : N_{1} - P - m_{1} \cdot g = 0$ ;

$OX : F_{тр 2} = m_{2} \cdot a$ ;

$OY : N_{2} - m_{2} \cdot g = 0$ .

$F_{тр 1} = F_{тр 2} = F_{тр}$ .

$P = N_{2}$ .

6. Запишем формулу силы трения:

$F_{тр} = μ \cdot N_{2}$ .

Сведём все полученные соотношения в следующую систему уравнений:

$\{\begin{cases} F - μ \cdot N_{2} = m_{1} \cdot a \\ N_{1} - P - m_{1} \cdot g = 0 \\ μ \cdot N_{2} = m_{2} \cdot a \\ N_{2} - m_{2} \cdot g = 0 \\ P = N_{2} \end{cases}$ .

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:

$F = μ \cdot g \cdot (m_{1} + m_{2}) = 0, 6 \cdot 10 \cdot (10 + 4) = 84 Н$ .

Ответ: $F = 84 Н$ .

Пример 2

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:

$m_{1} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{1} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

$m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

Так как первое тело движется вверх, проекция ускорения данного тела на ось ординат будет отрицательна.

$O Y : m_{1} \cdot g - T_{1} = - m_{1} \cdot a$ ;

$OY : m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$ .

$T_{1} = T_{2} = T$ .

6. Решаем полученную систему относительно неизвестного ускорения методом сложения:

$\{\begin{cases} m_{1} \cdot g - T = - m_{1} \cdot a \\ m_{2} \cdot g - T = m_{2} \cdot a \end{cases}$

$a = \frac{m_{1} \cdot g - m_{2} \cdot g}{- m_{1} - m_{2}} = \frac{2 \cdot 10 - 8 \cdot 10}{- 2 - 8} = 6 м / с^{2}$ .

Ответ: $a = 6 м / с^{2}$ .

Пример 3

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для верёвки и для груза:

$\vec{F} + m_{1} \cdot \vec{g} + \vec{P} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

$m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на ось ординат:

$O Y : F - m_{1} \cdot g - P = m_{1} \cdot a$ ;

$OY : T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a$ .

5. По третьему закону Ньютона силы ${\vec{T}}_{2}$ и $\vec{P}$ равны по модулю и противоположны по направлению:

$|\vec{P}| = |\vec{T_{2}}|$ .

6. Решаем полученную систему с учётом соотношения:

$\{\begin{cases} F - m_{1} \cdot g - T_{2} = m_{1} \cdot a \\ T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a \end{cases}$

$a = \frac{F - g \cdot (m_{1} + m_{2})}{m_{1} + m_{2}} = \frac{60 - 10 \cdot (0, 2 + 3)}{0, 2 + 3} = 8, 75 м / с^{2}$ .

Из уравнения $T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a$ найдём T₂:

$T_{2} = m_{2} \cdot g + m_{2} \cdot a = 56, 25 Н$ .

$T_{1} = F = 60 Н$ .

Ответ: $a = 8, 75 м / с^{2}$ ; $T_{1} = 60 Н$ ; $T_{2} = 56, 25 Н$ .

Упражнение 1

Контрольные вопросы

1. Как выглядит алгоритм для решения задач о движении взаимодействующих тел?

2. Что значит, что нить нерастяжима?

3. Какие силы возникают в нити при движении двух тел, связанных этой нитью?

4. В каких случаях силы упругости, возникающие в нити, могут иметь различные значения?

Ответы

Упражнение 1

1. a = 1,7 м/с²

2. F = 650 Н

3. Т = 5,7 Н

Предыдущий урок

Решение задач о движении тела под действием нескольких сил

Динамика

Следующий урок

Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

Динамика

Урок подготовил(а)

Андрей Михайлович

Учитель физики

Опыт работы: 12 лет

Трёхзначные числа. Разряды. Увеличение и уменьшение числа в 10 раз, в 100 раз. Сумма разрядных слагаемых. Определение общего числа единиц (десятков, сотен) в числе

Математика
Insects

Английский язык
П.П. Бажов. «Медной горы Хозяйка»

Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке