Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
10 класс
Физика
Решение задач о движении взаимодействующих тел

Физика 10 класс Физика 10 класс

Конспект урока: Решение задач о движении взаимодействующих тел

Динамика

24.04.2024

2004

Решение задач о движении взаимодействующих тел

План урока

Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити
Примеры решения задач

Цели урока

знать алгоритм решения задач на движение взаимодействующих тел
уметь решать задачи на движение взаимодействующих тел

Разминка

Сформулируйте второй и третий законы Ньютона.
Как направлена сила трения?
Как направлена сила натяжения нити?

Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел. Сила натяжения нити

Решение задач о движении взаимодействующих тел схоже с решением задач о движении под действием нескольких сил, рассмотренным в предыдущем параграфе.

Но в данном случае второй закон Ньютона необходимо записывать для каждого тела, участвующего во взаимодействии.

Помимо этого, добавляется новый пункт, в котором следует записать третий закон Ньютона для рассматриваемых в задаче тел.

Алгоритм решения задач о движении взаимодействующих тел выглядит следующим образом:

1. Определить, является ли движение рассматриваемых тел поступательным, ответить на вопрос: «Можно ли принять их за материальные точки?»
2. Выбрать инерциальную систему отсчёта. Сделать чертёж с изображением всех сил, действующих на тела, участвующие во взаимодействии.
3. Записать второй закон Ньютона в векторной форме для каждого тела.
4. Записать второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси для каждого тела.
5. Записать третий закон Ньютона. Решение системы уравнений.

Решение задач о движении связанных тел осуществляется по уже изученному нами алгоритму.

В данном блоке задач особое внимание следует уделить силам упругости, возникающим в нити при движении связанных тел. Вспомним, что сила упругости, возникающая в нерастяжимой нити, называется силой натяжения нити и обозначается $\vec{T}$ .

Рис. 1. Силы, возникающие в системе из двух брусков, связанных нитью, в результате действия силы F

Рассмотрим, какие силы возникают в системе из двух брусков, связанных невесомой нитью, если на один из них подействовать с некоторой силой F (рис. 1).

В результате действия силы F брусок 2 приходит в движение, нить, связывающая бруски, начинает действовать на брусок 1 с силой ${\vec{T}}_{1}$ . По третьему закону Ньютона брусок действует на нить с такой силой $\vec{T}$ , что $\vec{T} = - {\vec{T}}_{1}$ .

Аналогичные рассуждения применимы ко второму бруску: нить действует на него с силой ${\vec{T}}_{2}$ , брусок действует на нить с такой силой $\vec{T}'$ , что $\vec{T}' = - {\vec{T}}_{2}$ .

Таким образом, силы $\vec{T}$ и $\vec{T}'$ действуют на нить, а силы ${\vec{T}}_{1}$ и ${\vec{T}}_{2}$ — на связанные бруски.

Если натянутая нить невесома, силы упругости, возникающие в различных частях нити, равны по модулю:

1) $|\vec{T}| = |\vec{T}'|$ .

Так как $\vec{T} = - {\vec{T}}_{1}$ и $\vec{T}' = - {\vec{T}}_{2}$ , справедливо будет записать следующее равенство:

2) $|\vec{T}| = |{\vec{T}}_{1}| = |\vec{T}'| = |{\vec{T}}_{2}|$ .

При решении задач может быть нецелесообразно рисовать силы $\vec{T}$ и $\vec{T}'$ , возникающие в нити, за исключением случая, когда нить обладает массой и данные силы не равны друг другу (решение подобной задачи рассмотрено в примере 3).

Примеры решения задач

Пример 1

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

На гладкой горизонтальной поверхности друг на друге лежат два бруска (рис. 2). Коэффициент трения между брусками равен 0,6. Определите, с какой минимальной силой F надо подействовать на брусок массой m₁, чтобы брусок массой m₂ начал по нему скользить. Массы брусков равны m₁ = 10 кг и m₂ = 4 кг.

Решение

1. Пусть бруски двигаются поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

Рис. 3. Силы, действующие на бруски

2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, на которой лежат бруски. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения брусков вдоль поверхности (рис. 3), ось OY — перпендикулярно оси ОХ. Вектор ускорения направлен в сторону движения брусков.

В месте соприкосновения брусков возникают силы трения, препятствующие взаимному движению ${\vec{F}}_{тр 1}$ и ${\vec{F}}_{тр 2}$ .
На брусок массой m₁ действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила F, а также сила трения и вес, создаваемый бруском массой m₂.

На брусок массой m₂ действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, возникающая в процессе взаимного движения.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:

${\vec{F}}_{тр 1} + m_{1} \cdot \vec{g} + {\vec{N}}_{1} + \vec{F} + \vec{P} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

${\vec{F}}_{тр 2} + m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{N}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекция ускорения на ось ординат равна нулю.

$OX : F - F_{тр 1} = m_{1} \cdot a$ ;

$OY : N_{1} - P - m_{1} \cdot g = 0$ ;

$OX : F_{тр 2} = m_{2} \cdot a$ ;

$OY : N_{2} - m_{2} \cdot g = 0$ .

5. Согласно третьему закону Ньютона, силы ${\vec{F}}_{тр 1}$ и ${\vec{F}}_{тр 2}$ направлены в противоположные стороны и равны по модулю:

$F_{тр 1} = F_{тр 2} = F_{тр}$ .

Следует понимать, что в данном случае $F_{тр 1}$ не зависит от $N_{1}$ , так как данная сила возникает не из-за трения тела m₁ о поверхность, а является следствием трения брусков друг о друга, поэтому $F_{тр 1}$ определяется силой реакции опоры, действующей на верхний брусок $N_{2}$ .

Аналогичные рассуждения применимы к паре сил $\vec{P}$ и ${\vec{N}}_{2}$ , по третьему закону Ньютона они равны по модулю:

$P = N_{2}$ .

6. Запишем формулу силы трения:

$F_{тр} = μ \cdot N_{2}$ .

Сведём все полученные соотношения в следующую систему уравнений:

$\{\begin{cases} F - μ \cdot N_{2} = m_{1} \cdot a \\ N_{1} - P - m_{1} \cdot g = 0 \\ μ \cdot N_{2} = m_{2} \cdot a \\ N_{2} - m_{2} \cdot g = 0 \\ P = N_{2} \end{cases}$ .

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:

$F = μ \cdot g \cdot (m_{1} + m_{2}) = 0, 6 \cdot 10 \cdot (10 + 4) = 84 Н$ .

Ответ: $F = 84 Н$ .

Пример 2

Через неподвижный невесомый блок перекинута лёгкая нерастяжимая нить. К концам нити прикрепляют грузы массами m₁ = 2 кг и m₂ = 8 кг, затем их одновременно отпускают. Найти ускорение системы грузов.

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 2

1. После того как грузы отпускают, они начинают двигаться поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

2. В качестве тела отсчёта выберем неподвижную плоскость, к которой прикреплён блок. Пусть ось ОY направлена в сторону движения брусков: так как брусок массой m₂ тяжелее, система будет двигаться в направлении силы $m_{2} \cdot \vec{g}$ (рис. 4). Ось OХ направлена перпендикулярно оси ОY.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и для второго тела:

$m_{1} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{1} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

$m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

Заметим, что в записанных законах Ньютона ускорения для обоих тел одинаковы по модулю. Это следует из условия нерастяжимости нити.

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на координатные оси. Учтём, что в выбранной системе отсчёта проекции ускорения и сил на ось абсцисс равны нулю, поэтому проекции на данную ось можно не рассматривать.

Так как первое тело движется вверх, проекция ускорения данного тела на ось ординат будет отрицательна.

$O Y : m_{1} \cdot g - T_{1} = - m_{1} \cdot a$ ;

$OY : m_{2} \cdot g - T_{2} = m_{2} \cdot a$ .

5. Как мы уже знаем, при движении тел, связанных невесомой нитью, силы натяжения нити Т₁ и Т₂, приложенные к телам, равны по модулю:

$T_{1} = T_{2} = T$ .

6. Решаем полученную систему относительно неизвестного ускорения методом сложения:

$\{\begin{cases} m_{1} \cdot g - T = - m_{1} \cdot a \\ m_{2} \cdot g - T = m_{2} \cdot a \end{cases}$

$a = \frac{m_{1} \cdot g - m_{2} \cdot g}{- m_{1} - m_{2}} = \frac{2 \cdot 10 - 8 \cdot 10}{- 2 - 8} = 6 м / с^{2}$ .

Ответ: $a = 6 м / с^{2}$ .

Пример 3

К одному концу нерастяжимой верёвки массой 0,2 кг привязывают груз массой 3 кг. Верёвку вместе с грузом поднимают вертикально вверх, прикладывая силу, равную 60 Н. Найти ускорение системы, а также модули сил упругости, действующие на противоположные концы веревки.

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3

1. Верёвка по условию задачи нерастяжима. Примем, что груз и верёвка движутся поступательно, поэтому оба тела можно принять за материальные точки.

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОY направим в сторону движения системы — в направлении действия силы $\vec{F}$ (рис. 5). Обозначим массу груза m₂, массу верёвки m₁.

К верхнему концу верёвки, к точке А, по условию приложена сила $\vec{F}$ , в этой точке возникает сила упругости ${\vec{T}}_{1}$ , действующая на источник силы $\vec{F}$ (например, на руку человека, который тянет верёвку).

В месте крепления груза, в точке В, на верёвку действует вес груза $\vec{P}$ , в результате в этой точке возникает сила упругости ${\vec{T}}_{2}$ , действующая на груз.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для верёвки и для груза:

$\vec{F} + m_{1} \cdot \vec{g} + \vec{P} = m_{1} \cdot \vec{a}$ ;

$m_{2} \cdot \vec{g} + {\vec{T}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{a}$ .

4. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на ось ординат:

$O Y : F - m_{1} \cdot g - P = m_{1} \cdot a$ ;

$OY : T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a$ .

5. По третьему закону Ньютона силы ${\vec{T}}_{2}$ и $\vec{P}$ равны по модулю и противоположны по направлению:

$|\vec{P}| = |\vec{T_{2}}|$ .

6. Решаем полученную систему с учётом соотношения:

$\{\begin{cases} F - m_{1} \cdot g - T_{2} = m_{1} \cdot a \\ T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a \end{cases}$

$a = \frac{F - g \cdot (m_{1} + m_{2})}{m_{1} + m_{2}} = \frac{60 - 10 \cdot (0, 2 + 3)}{0, 2 + 3} = 8, 75 м / с^{2}$ .

Из уравнения $T_{2} - m_{2} \cdot g = m_{2} \cdot a$ найдём T₂:

$T_{2} = m_{2} \cdot g + m_{2} \cdot a = 56, 25 Н$ .

Наконец, найдём значение силы Т₁: согласно третьему закону Ньютона, данная сила будет равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой верёвку тянут вверх:

$T_{1} = F = 60 Н$ .

Ответ: $a = 8, 75 м / с^{2}$ ; $T_{1} = 60 Н$ ; $T_{2} = 56, 25 Н$ .

Упражнение 1

1. Два бруска массами m₁ = 2 кг и m₂ = 5 кг связаны лёгкой невесомой нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени на брусок массой m₂ начинает действовать сила F = 40 Н, в результате чего бруски совершают поступательное движение. Найти ускорение системы брусков, если коэффициент трения между поверхностью и брусками равен 0,4.

2. На наклонной плоскости длиной 10 м и высотой 8 м находится груз массой 50 кг. Какую силу, направленную вдоль плоскости, необходимо приложить, чтобы тянуть груз вверх с ускорением 2 м/с²? Коэффициент трения 0,5.

3. На нерастяжимой невесомой нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами 400 и 1 000 г. Какова сила натяжения нити во время движения?

Контрольные вопросы

1. Как выглядит алгоритм для решения задач о движении взаимодействующих тел?

2. Что значит, что нить нерастяжима?

3. Какие силы возникают в нити при движении двух тел, связанных этой нитью?

4. В каких случаях силы упругости, возникающие в нити, могут иметь различные значения?

Ответы

Упражнение 1

1. a = 1,7 м/с²

2. F = 650 Н

3. Т = 5,7 Н

Предыдущий урок

Деформация. Сила упругости. Закон Гука. Сила трения

Динамика

Следующий урок

Динамика. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Сила. Измерение сил

Динамика

Урок подготовил(а)

Андрей Михайлович

Учитель физики

Опыт работы: 12 лет

Электрический ток в полупроводниках. P-n переход. Полупроводниковый диод

Физика
Простые механизмы. Коэффициент полезного действия

Физика
М.Е. Салтыков-Щедрин. «История одного города»

Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке