Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

Динамика

27.02.2024
2247
0

Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

План урока

  • Динамика равномерного движения материальной точки по окружности
  • Примеры решения задач

Цели урока

  • знать направление и формулу мгновенной скорости при движении по окружности; направление и формулу центростремительного ускорения
  • уметь находить линейную скорость и центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности; применять второй и третий законы Ньютона для решения задач на равномерное движение тела по окружности

Разминка

  • Как направлена мгновенная скорость тела, движущегося по окружности?
  • Куда направлена сила трения, действующая на тело, движущееся по окружности?
  • Как направлена равнодействующая сил тела, движущегося по окружности?

Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

Вам уже известно, что материальная точка движется по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью v, при этом направление вектора скорости постоянной меняется и в любой момент времени направлено по касательной к окружности, по которой движется тело (рис. 1).

Рис. 1. Направление скорости и ускорения тела, движущегося по окружности

Благодаря изменению направления вектора скорости v тело, движущееся по окружности, обладает центростремительным ускорением, которое в любой момент времени направлено к центру окружности и вычисляется по следующей формуле:

 

aцс=v2R=ω2·R.

 

По второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение: F=m·a.

Тогда сумма сил, действующих на движущееся по окружности тело, вычисляется по следующей формуле:

F=m·aцс.


В инерциальной системе отсчёта сумма всех сил, действующих на движущееся по окружности тело, равна произведению его массы на центростремительное ускорение: F=m·aцс.


Из соотношения выше следует два важных вывода.


Во-первых, равнодействующая сил, действующих на тело, равномерно движущееся по окружности, в любой момент времени направлена к центру окружности.


Во-вторых, модуль суммы сил может быть рассчитан по следующим формулам:

 

F=m·aцс=m·v2R=m·ω2·R.

 

При решении задач на движение материальной точки по окружности рекомендуется придерживаться следующих правил:

 

  • началом отсчёта является центр окружности;
  • координатную ось проводят через начало отсчёта и точку на окружности, в которой в данный момент находится тело;
  • положительное направление оси ОХ совпадает с направлением равнодействующей, то есть ось направлена к центру.

Такой выбор системы отсчёта не случаен: проекции центростремительного ускорения и суммы всех сил на ось ОХ в данном случае будут положительны, благодаря чему будет справедливо следующее равенство:

 

F=Fx=m·aцс.

 

Проекции равнодействующей и ускорения на другие координатные оси в данной системе отсчёта будут равны нулю.

Примеры решения задач


Пример 1

 

Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью v = 72 км/ч, входит поворот так, что траектория его движения представляет собой дугу окружности радиусом R. При каком минимальном значении радиуса автомобиль не будет соскальзывать с дороги, если коэффициент трения автомобильных шин о дорогу 0,4?


Решение

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

1. Автомобиль движется поступательно, следовательно, его можно принять за материальную точку.
 

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОХ проводим через центр окружности и точку А, в которой в начальный момент находится автомобиль (рис. 2). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности Земли.


На тело действует сила трения, направленная к центру вдоль оси ОХ, сила тяжести и сила реакции опоры, действующие вдоль оси OY.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для автомобиля:
 

Fтр+m·g+N=m·aцс.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

OX: Fтр=m·aцс;

OY: N-m·g=0.

 

5. По условию автомобиль не должен соскальзывать, тогда Fтр — это сила трения покоя, поэтому её модуль Fтрμ·N.

 

6. Формула для центростремительного ускорения:

 

aцс=v2R.
 

7. Объединяя пункты выше, получаем систему, состоящую из двух уравнений и одного неравенства:
 

Fтр=m·v2RN-m·g=0  Fтрμ·N    .

 

8. Решая систему, получаем

 

m·v2Rμ·m·g.

 

9. Выразим радиус RRv2μg. В задаче просят найти минимальное значение радиуса, тогда в последнем неравенстве следует положить знак «равно»:

 

R=v2μ·g=2020,4·10=100 м.

 

Ответ: R=100 м.


Пример 2

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

 

Тело, подвешенное на нити, вращается в плоскости, параллельной поверхности Земли (рис. 3). Найти силу натяжения нити и радиус окружности, по которой движется тело, если масса тела m = 200 г, скорость движения v = 4 м/с, а угол α = 30°.


Решение
 

1. Тело движется поступательно, следовательно, его можно принять за материальную точку.

Рис. 4. Силы, действующие на тело, вращающееся на нити

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОХ проводим через центр окружности и точку, в которой в начальный момент находится рассматриваемое тело (рис. 4). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности, по которой вращается тело. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности Земли.


На тело действует сила натяжения нити и сила тяжести. В данном случае центростремительное ускорение является следствием действия равнодействующей F силы тяжести и силы натяжения нити.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
 

m·g+T=m·aцс.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

OX: sin(α)·T=m·aцс;

OY: cos(α)·T-m·g=0.

 

5. Запишем формулу центростремительного ускорения:
 

aцс=v2R.

 

С учётом формулы выше получаем следующую систему уравнений:
 

sin(α)·T=m·v2Rcos(α)·T=m·g.

 

Из уравнения cos(α)·T-m·g=0 находим силу натяжения нити:

 

T=m·gcos(α)=0,2·10cos(30°)2,3 Н.

 

Подставляем полученное значение в формулу sin(α)·T=m·aцс и находим радиус окружности:

 

R=m·v2sin(α)·T=0,2·42sin(30°)·2,32,8 м.

 

ОтветT2,3 НR2,8 м.


Упражнение 1

 

1. С какой максимальной скоростью может ехать велосипедист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусом 45 м, если коэффициент трения резины о дорогу 0,5.
 

2. Автомобиль массой 1,5 т проезжает по выпуклому мосту радиусом 200 м со скоростью 72 км/ч. Найти вес автомобиля в наивысшей точке моста.


Ответы

 

Упражнение 1

 

1. v = 15 м/с

 

2. Р = 12 кН


Предыдущий урок
Деформация. Сила упругости. Закон Гука. Сила трения
Динамика
Следующий урок
Решение задач о движении взаимодействующих тел
Динамика
Урок подготовил(а)
teacher
Андрей Михайлович
Учитель физики
Опыт работы: 12 лет
Поделиться:
  • Кинетическая энергия. Потенциальная энергия

    Физика

  • Право в системе социальных норм

    Обществознание

  • Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке