Конспект урока: Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

В инерциальной системе отсчёта сумма всех сил, действующих на движущееся по окружности тело, равна произведению его массы на центростремительное ускорение: $\overrightarrow{F}=m·{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{цс}}$.

Пример 1

Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью v = 72 км/ч, входит поворот так, что траектория его движения представляет собой дугу окружности радиусом R. При каком минимальном значении радиуса автомобиль не будет соскальзывать с дороги, если коэффициент трения автомобильных шин о дорогу 0,4?

Решение

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

1. Автомобиль движется поступательно, следовательно, его можно принять за материальную точку.
 

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОХ проводим через центр окружности и точку А, в которой в начальный момент находится автомобиль (рис. 2). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности Земли.

На тело действует сила трения, направленная к центру вдоль оси ОХ, сила тяжести и сила реакции опоры, действующие вдоль оси OY.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для автомобиля:
 

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}}+m·\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}=m·{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{цс}}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

$\mathrm{OX}: F_{\mathrm{тр}}=m·a_{\mathrm{цс}}$;

$\mathrm{OY}: N-m·g=0$.

5. По условию автомобиль не должен соскальзывать, тогда $F_{тр}$ — это сила трения покоя, поэтому её модуль $F_{\mathrm{тр}}\le \mu ·N$.

6. Формула для центростремительного ускорения:

$a_{\mathrm{цс}}=\frac{v^2}{R}$.
 

7. Объединяя пункты выше, получаем систему, состоящую из двух уравнений и одного неравенства:
 

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{тр}=m·\frac{v^2}{R}\\ N-m·g=0 \\ F_{тр}\le \mu ·N \end{array}\right.$.

8. Решая систему, получаем

$m·\frac{v^2}{R}\le \mu ·m·g$.

9. Выразим радиус $R$: $R\ge \frac{v^2}{\mu g}$. В задаче просят найти минимальное значение радиуса, тогда в последнем неравенстве следует положить знак «равно»:

$R=\frac{v^2}{\mu ·g}=\frac{{20}^2}{0,4·10}=100 \mathrm{м}$.

Ответ: $R=100 \mathrm{м}$.

Пример 2

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

 

Тело, подвешенное на нити, вращается в плоскости, параллельной поверхности Земли (рис. 3). Найти силу натяжения нити и радиус окружности, по которой движется тело, если масса тела m = 200 г, скорость движения $v$ = 4 м/с, а угол $\alpha$ = 30°.

Решение
 

1. Тело движется поступательно, следовательно, его можно принять за материальную точку.

Рис. 4. Силы, действующие на тело, вращающееся на нити

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Ось ОХ проводим через центр окружности и точку, в которой в начальный момент находится рассматриваемое тело (рис. 4). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности, по которой вращается тело. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности Земли.

На тело действует сила натяжения нити и сила тяжести. В данном случае центростремительное ускорение является следствием действия равнодействующей $\overrightarrow{F}$ силы тяжести и силы натяжения нити.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
 

$m·\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}=m·{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{цс}}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

$\mathrm{OX}: \sin \left(\alpha \right)·T=m·a_{\mathrm{цс}}$;

$\mathrm{OY}: \cos \left(\alpha \right)·T-m·g=0$.

5. Запишем формулу центростремительного ускорения:
 

$a_{\mathrm{цс}}=\frac{v^2}{R}$.

С учётом формулы выше получаем следующую систему уравнений:
 

$\left\{\begin{array}{l}\sin \left(\alpha \right)·T=m·\frac{v^2}{R}\\ \cos \left(\alpha \right)·T=m·g\end{array}\right.$.

Из уравнения $\cos \left(\alpha \right)·T-m·g=0$ находим силу натяжения нити:

$T=\frac{m·g}{\cos \left(\alpha \right)}=\frac{0,2·10}{\cos (30°)}\approx 2,3 \mathrm{Н}$.

Подставляем полученное значение в формулу $\sin \left(\alpha \right)·T=m·a_{\mathrm{цс}}$ и находим радиус окружности:

$R=\frac{m·v^2}{\sin \left(\alpha \right)·T}=\frac{0,2·4^2}{\sin (30°)·2,3}\approx 2,8 \mathrm{м}$.

Ответ: $T\approx 2,3 \mathrm{Н}$; $R\approx 2,8 \mathrm{м}$.

Упражнение 1

1. С какой максимальной скоростью может ехать велосипедист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусом 45 м, если коэффициент трения резины о дорогу 0,5.
 

2. Автомобиль массой 1,5 т проезжает по выпуклому мосту радиусом 200 м со скоростью 72 км/ч. Найти вес автомобиля в наивысшей точке моста.

Упражнение 1

1. $v$ = 15 м/с

2. Р = 12 кН