Конспект урока: Решение задач о движении тела под действием нескольких сил

Пример 1

На горизонтальном полу лежит ящик массой 20 кг. Коэффициент трения между ящиком и полом равен 0,4. К ящику в горизонтальном направлении прикладывают силу F, в результате чего ящик начинает двигаться с ускорением 3 м/с². Найти значение силы, приложенной к телу.

Решение
 

1. В результате действия силы F ящик начнёт поступательное движение, поэтому его можно принять за материальную точку.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность неподвижного стола. Пусть ось ОХ направлена в сторону действия силы 
F — вправо (рис. 1), ось 
OY — вертикально вверх.

На тело действуют четыре силы: сила тяжести, сила трения, сила реакции опоры и сила тяги F. Так как по условию задачи тело пришло в движение, равнодействующая сил направлена в сторону действия силы F, по второму закону Ньютона ускорение направлено в ту же сторону, что и равнодействующая: в нашем случае — вправо.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
 

$\overrightarrow{F}+m·\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}}=m·\overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

$\mathrm{OX}: F-F_{\mathrm{тр}}=m·a$;

$\mathrm{OY}: N-m·g=0$.

Так как ускорение тела направлено перпендикулярно оси OY, проекция ускорения на данную ось равна нулю.

5. Решаем систему уравнений относительно неизвестной силы F.

Известно, что сила трения по определению равна произведению коэффициента трения на силу реакции опоры:
 

$F_{\mathrm{тр}}=\mu ·N$.
 

Учитывая формулу выше, получаем следующую систему уравнений:
 

$\left\{\begin{array}{l}F-\mu ·N=m·a\\ N-m·g=0\end{array}\right.$.
 

Используя метод подстановки, выражаем искомую силу F:

$F=\mu ·m·g+m·a=0,4·20·10+20·3=140 \mathrm{Н}$.

Ответ: $F=140 \mathrm{Н}$.

Пример 2

К потолку вагона движущегося с ускорением поезда на невесомой нерастяжимой нити подвешен маленький груз массой 2 кг. Поезд движется прямолинейно равноускоренно. Известно, что при таком движении нить отклонилась от вертикали на угол $\alpha =60°$. Найти ускорение поезда и силу натяжения нити.

Решение

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

1. Примем подвешенный на нити грузик за материальную точку.

 

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Пусть ось ОХ направлена в сторону движения поезда — вправо (рис. 2), ось OY — вертикально вверх.

На грузик действуют две силы: сила тяжести $m·\overrightarrow{g}$ и сила натяжения нити $\overrightarrow{T}$.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
 

$\overrightarrow{T}+m·\overrightarrow{g}=m·\overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси. В рассматриваемой задаче грузик движется вместе с вагоном, следовательно, его ускорение также направлено вправо, проекция ускорения шарика на ось ординат равна нулю.
 

$\mathrm{OX}: T_x=m·a$;

$\mathrm{OY}: T_y-m·g=0$.

Найдём проекции силы натяжения нити:

$T_x=\sin \left(\alpha \right)·T$;

$T_y=\cos \left(\alpha \right)·T$.

C учётом выражений выше получаем следующие уравнения:

$\sin \left(\alpha \right)·T=m·a$;

$\cos \left(\alpha \right)·T-m·g=0$.

5. Решаем систему уравнений выше относительно неизвестного ускорения $a$, для этого разделим одно уравнение на другое:
 

$\left\{\begin{array}{l}\sin \left(\alpha \right)·T=m·a\\ \cos \left(\alpha \right)·T-m·g=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\sin \left(\alpha \right)·T=m·a\\ \cos \left(\alpha \right)·T=m·g\end{array}\right.\iff \mathrm{tg}\left(\alpha \right)=\frac{a}{g}$;

$a=\mathrm{tg}\left(\alpha \right)·g\approx 17,3 \mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$.
 

Из уравнения $\cos \left(\alpha \right)·T-m·g=0$ найдём силу натяжения нити:
 

$T=\frac{m·g}{\cos \left(\alpha \right)}=40 \mathrm{Н}$.

Ответ: $a=17,3 \mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$; $T=40 \mathrm{Н}$.

Пример 3

Спиленное дерево массой 80 кг с помощью лебёдки равноускоренно встаскивается на наклонную поверхность грузовой платформы трактора. Угол наклона платформы составляет 30°. Динамометр, контролирующий натяжение троса лебёдки, показывает силу 1 000 Н. Определите коэффициент трения скольжения между бревном и платформой, если ускорение бревна равно 2 м/с².

Решение

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3

1. В результате действия силы тяги бревно двигается поступательно, поэтому его можно принять за материальную точку.
 

2. В качестве тела отсчёта выберем поверхность неподвижной платформы. Пусть ось ОХ направлена в сторону действия силы тяги F вдоль поверхности платформы (рис. 3), ось OY — перпендикулярно оси ОХ.

На тело действуют четыре силы: сила тяжести, сила трения, сила реакции опоры и сила тяги F. Так как по условию задачи тело движется вверх по платформе, равнодействующая сил направлена в сторону действия силы F, по второму закону Ньютона ускорение направлено в ту же сторону, что и равнодействующая.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$\overrightarrow{F}+m·\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}}=m·\overrightarrow{a}$.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

$\mathrm{OX}: F-F_{\mathrm{тр}}-m·g_x=m·a$;

$\mathrm{OY}: N-m·g_y=0$.

Рис. 4. Определение проекции силы тяжести на координатные оси

Так как ускорение тела направлено перпендикулярно оси OY, проекция ускорения на данную ось равна нулю.
 

Найдём проекцию силы тяжести на ось ОХ. Пусть вектор $m·\overrightarrow{g}$ соответствует вектору $\overrightarrow{BC}$ (рис. 4). Опустим перпендикуляр из точки С на ось ОХ, тогда проекция силы тяжести на данную ось равна отрезку ВН: $m·g_x=BH$.

Рассмотрим треугольники АВС и СВН, они подобны, следовательно, угол ВАС равен углу ВСН: $\angle BCH=\alpha$.
 

В треугольнике ВСН $\sin \left(\alpha \right)=\frac{BH}{BC}$, тогда
 

$m·g_x=BH=\sin \left(\alpha \right)·BC=\sin \left(\alpha \right)·m·g$.
 

Аналогично определяем проекцию силы тяжести на ось OY:
 

$m·g_y=CH=\cos \left(\alpha \right)·BC=\cos \left(\alpha \right)·m·g$.

5. Известно, что сила трения по определению равна произведению коэффициента трения на силу реакции опоры:
 

$F_{\mathrm{тр}}=\mu ·N$.
 

Учитывая формулы выше, получаем следующую систему уравнений:
 

$\left\{\begin{array}{l}F-\mu ·N-\sin \left(\alpha \right)·m·g=m·a\\ N-\cos \left(\alpha \right)·m·g=0\end{array}\right.$.
 

Используя метод подстановки, выражаем искомый коэффициент трения $\mu$:

$\mu =\frac{F-m·a-\sin \left(\alpha \right)·m·g}{\cos \left(\alpha \right)·m·g}=\frac{1 000-80·2-\sin (30°)·80·10}{\cos (30°)·80·10}\approx 0,6$.

Ответ: $\mu =0,6$.

Упражнение 1

1. На горизонтальном полу лежит брусок массой 4,5 кг. Коэффициент трения между ящиком и полом равен 0,25. К ящику в горизонтальном направлении прикладывают силу F, в результате чего ящик начинает двигаться с ускорением 2 м/с². Найти значение силы, приложенной к телу.
 

2. К потолку вагона поезда, движущегося прямолинейно с постоянным ускорением, на невесомой нерастяжимой нити подвешен маленький груз массой 4 кг. Известно, что при таком движении нить отклонилась от вертикали на угол $\alpha =30°$. Найти ускорение поезда и силу натяжения нити.
 

3. Брусок массой 10 кг покоится на наклонной плоскости. Определите коэффициент трения между бруском и поверхностью, если угол наклона плоскости к горизонту равен $30°$.

Упражнение 1

1. F = 20,25 Н

2. $a$ = 5,8 м/с²; Т = 46,2 Н 

3. $\mu$ = 0,6