Конспект урока: Применение первого закона термодинамики к изобарическому процессу. Применение первого закона термодинамики к изохорическому, изотермическому и адиабатическому процессам

План решения задач с применением первого закона термодинамики

Напомним основные формулы, которые будут использоваться при решении задач, описанных ниже.
 

• Первый закон термодинамики:

$Q=A+∆U$.

• Внутренняя энергия идеального газа:

$U=\frac{3}{2}·\nu ·R·T$.

• Уравнение Менделеева – Клапейрона:

$p·V=\nu ·R·T$.

Мы уже познакомились с законом сохранения энергии в тепловых процессах, который описывается первым началом термодинамики. Основной целью задач на первый закон термодинамики будет изучение преобразований энергии, происходящих в результате термодинамических процессов с газом. При изучении каждого из них необходимо, во-первых, представлять, как можно реализовать процесс. Во-вторых, уметь отвечать на четыре вопроса о поведении системы в термодинамическом процессе:
 

1. Как изменяется внутренняя энергия системы?
2. Какую работу совершает система или внешние силы над системой?
3. Получает или отдаёт система теплоту?
4. Чему равно количество полученной или отданной теплоты?

Изобарическое расширение

Рис. 1

Пусть идеальный газ находится под поршнем, который может двигаться в цилиндре без трения (см. рис. 1). Внешнее давление не изменяется и равно $p_0=const$. Газ находится в состоянии термодинамического равновесия с окружающей средой. Для достижения изобарического процесса будем медленно нагревать газ в цилиндре. Для простоты считаем происходящий с газом процесс равновесным, тогда в каждый момент времени он будет находиться в состоянии термодинамического равновесия, а значит, будут справедливы законы идеального газа. В этом случае сумма всех действующих на поршень сил в любой момент времени будет оставаться постоянной и равной нулю. Таким образом, давление газа на протяжении всего такого процесса будет неизменно. Нагревание газа при постоянном давлении $p$ приведёт к увеличению его температуры. В соответствии с уравнением Менделеева – Клапейрона увеличится и объём газа.

1. Найдём внутреннюю энергию. При увеличении температуры газа увеличивается и его внутренняя энергия, тогда её изменение равно

$∆U=U_2-U_1=\frac{3}{2}·\nu ·R·T_2-\frac{3}{2}·\nu ·R·T_1=\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T>0$;

$∆T=T_2-T_1>0$.

2. Определим работу газа. При его переходе из состояния 1 в состояние 2 поршень поднимается на расстояние

$l=\frac{V_2-V_1}{S}=\frac{∆V}{S}$.

Значит, постоянная сила $F$ давления газа, которая действует на поршень, при расширении совершает положительную работу, определяемую как

$A=F·l=p·S·\frac{∆V}{S}=p·∆V>0$;

$∆V>0$.

Рис. 2. Изобарическое расширение

При решении задач термодинамики полезно изображать процессы в виде диаграмм. Использование $p·V$-диаграммы наиболее удобно, поскольку работу газа можно найти как площадь под графиком между двумя точками, заключающими процесс. Для нашей задачи изобарическое расширение изображено на рисунке 2. Площадь под графиком, она же и работа, равна площади прямоугольника, заключённого между сторонами $p$ и ($V_2-V_1$):

$A=S=p·\left(V_2-V_1\right)=p·∆V$.

3. Определим, получает или отдаёт газ теплоту в рассматриваемом процессе. Запишем первый закон термодинамики:

$Q=A+∆U$.

Стоит напомнить, что если теплота $Q$ имеет положительный знак, то исследуемый газ или система получает тепло. Если теплота отрицательна, то газ отдаёт тепло. Если работа $A$ положительна, то газ совершает работу сам, в противном случае работа совершается над газом внешними телами.

В нашей задаче $∆U>0$ и $A>0$, значит, и теплота $Q>0$. Соответственно при изобарическом расширении газ получает тепло, которое равно сумме совершаемой этим газом работы и увеличения внутренней энергии газа:

$Q=A+∆U>0$.

4. Рассчитаем количество теплоты. Подставим выражения выше в последнее уравнение $Q=A+∆U>0$:

$Q=A+∆U=p·∆V+\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T$.

Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона: 

$p·∆V=\nu ·R·∆T$.
 

Перепишем первый закон термодинамики:

$Q=\nu ·R·∆T+\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T=\frac{5}{2}·\nu ·R·∆T$.

Изобарическое сжатие

Рис. 3

Чтобы газ под поршнем изобарически сжимался, его надо охлаждать. Аналогично изобарическому расширению давление в сосуде будет постоянно. В соответствии с законом Менделеева – Клапейрона при охлаждении газа его объём будет уменьшаться.

 

1. Рассчитаем внутреннюю энергию, которая будет уменьшаться:

 

$∆U=U_2-U_1=\frac{3}{2}·\nu ·R·T_2-\frac{3}{2}·\nu ·R·T_1=$

$=\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T<0$;

 

$∆T=T_2-T_1<0$.

Рис. 4. Изобарическое сжатие

2. Определим работу газа как площадь под графиком: 

 

$A=p·(V_2-V_1)=p·∆V<0$;

 

$(V_2-V_1)<0$.

Направление силы $\overrightarrow{F}$ давления газа противоположно направлению перемещения поршня. Соответственно, при изобарическом сжатии (т. е. при уменьшении объёма) газ совершает отрицательную работу.

3. Определим, получает или отдаёт теплоту газ в рассматриваемом процессе.
Воспользуемся первым законом термодинамики: 

$Q=A+∆U$.
 

Так как $A<0$ и $∆U<0$, то и $Q<0$, то есть газ отдаёт тепло.
 

4. Рассчитаем количество теплоты.

$Q=A+∆U=p·∆V+\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T=\nu ·R·∆T+\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T=$

$=\frac{5}{2}·\nu ·R·∆T<0$.

В завершение рассмотрения изобарического процесса вспомним, что теплоёмкость определяется как $C=\frac{Q}{∆T}$. Тогда теплоёмкость одноатомного газа при изобарическом расширении, она же при изобарическом сжатии, равна

$C_p=\frac{5}{2}\nu R$.

Работа, совершаемая над газом

Рис. 5

Наряду с работой $A$, которую совершает газ по передвижению поршня, рассматривают также работу $A\text{'}$, которую поршень совершает над газом. Если газ действует на поршень с силой $\overrightarrow{F}$, то по третьему закону Ньютона он действует на газ с силой $\overrightarrow{F}\text{'}$, равной силе по модулю и противоположной по направлению: $\overrightarrow{F}\text{'}=-\overrightarrow{F}$. Следовательно, работа поршня $A\text{'}$ равна по модулю и противоположна по знаку работе газа:

 

$A\text{'}=-A$.

Так, в процессе расширения газ совершает положительную работу ($A>0$); при этом работа, совершаемая над газом, отрицательна ($A\text{'}<0$). Наоборот, при сжатии работа газа отрицательна ($A<0$), а работа, совершаемая поршнем над газом, положительна 
($A\text{'}>0$).

Пример 1

 

На рисунке изображено изменение объёма 5 молей идеального газа. Определите, какое количество теплоты выделяется или поглощается при переходе от точки 1 к точке 2?

Упражнение 1

 

1. Какую работу совершили 7 моль одноатомного идеального газа  при его изобарном нагревании на 20 К? Какое количество теплоты ему при этом сообщили?
 

2. Для изобарного нагревания газа, количество вещества которого 800 моль, на 500 К ему сообщили количество теплоты 9,4 МДж. Определить работу газа и приращение его внутренней энергии.
 

3. Процесс изменения состояния одного моля идеального одноатомного газа изображён на рисунке. Найдите изменение внутренней энергии, работу, совершённую над газом, и отданную теплоту.