Конспект урока: Применение первого закона термодинамики к изобарическому процессу. Применение первого закона термодинамики к изохорическому, изотермическому и адиабатическому процессам

План решения задач с применением первого закона термодинамики

Напомним основные формулы, которые будут использоваться при решении задач, описанных ниже.
 

• Первый закон термодинамики:

$Q=A+∆U$.

• Внутренняя энергия идеального газа:

$U=\frac{3}{2}·\nu ·R·T$.

• Уравнение Менделеева − Клапейрона:

$p·V=\nu ·R·T$.

При решении задач с применением первого закона термодинамики мы будем придерживаться следующего плана:
 

1. Нахождение изменения внутренней энергии системы.
2. Определение работы, которую совершает система или внешние силы над системой.
3. Исходя из процесса определять, получает или отдаёт система теплоту.
4. Аналитический расчёт количества полученной или отданной теплоты.

Изохорическое нагревание

Рис. 1

Как известно, изохорический процесс протекает при постоянном объёме, поэтому будем рассматривать газ в сосуде с постоянным объёмом. Неизменное значение объёма может быть достигнуто в случае закрытого сосуда или сосуда с неподвижным (закреплённым) поршнем (см. рис. 1). Как и в случае изобарического процесса, будем считать происходящий с газом процесс равновесным, тогда в каждый момент времени газ будет находиться в состоянии термодинамического равновесия. Нагревание газа означает увеличение его температуры, а так как объём газа остаётся неизменным, то в соответствии с уравнением Менделеева − Клапейрона давление газа будет увеличиваться.

1. Найдём внутреннюю энергию. При увеличении температуры газа увеличивается и его внутренняя энергия, тогда её изменение равно

$∆U=U_2-U_1=\frac{3}{2}·\nu ·R·T_2-\frac{3}{2}·\nu ·R·T_1=\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T>0$;

$∆T=T_2-T_1>0$.

Рис. 2. Изохорическое нагревание

2. Определим работу газа. При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 поршень не меняет положение, поэтому его перемещение равно нулю $l$ = 0.

Поскольку перемещение равно нулю, то и работа газа равна нулю:

 

$A=F·l=F·0=0$.

 

Рассмотрим $p·V$-диаграмму, с помощью которой тоже можно рассчитать работу газа. График изохорического процесса представляет собой прямую, параллельную оси ординат, по которой отложено давление (см. рис. 2).
 

Площадь под графиком, она же и работа, равна нулю.

 

$A=S=p_1·\left(V_2-V_1\right)=0$

3. Определим, получает или отдаёт газ теплоту в рассматриваемом процессе. Запишем первый закон термодинамики:

$Q=A+∆U$.

При изохорическом нагревании внутренняя энергия газа увеличивается ($∆U>0$), а работа газа равна нулю.

$Q=∆U>0$.

Соответственно, в результате изохорического нагревания газ получает теплоту, которая равна изменению внутренней энергии газа.

4. Рассчитаем количество теплоты. Подставим выражения выше в последнее уравнение $Q=∆U>0$:

$Q=∆U=\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T$.

Изохорическое охлаждение

Рис. 3. Изохорическое охлаждение

Приведём те же самые рассуждения, что и в случае изохорического нагревания. Будем рассматривать сосуд с неподвижным поршнем. Уменьшение температуры газа будет сопровождаться уменьшением давления газа. График изменения давления $p$ при изохорическом охлаждении приведён на рисунке 3.

 

1. Рассчитаем внутреннюю энергию. Внутренняя энергия будет уменьшаться, поскольку уменьшается температура газа:

 

 

$∆U=U_2-U_1=\frac{3}{2}·\nu ·R·T_2-\frac{3}{2}·\nu ·R·T_1=\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T<0$;

 

$∆T=T_2-T_1<0$.

2. Определим работу газа как площадь под графиком, изображённым на рисунке 3:

$A=S=p_1·\left(V_2-V_1\right)=0$.

3. Определим, получает или отдаёт теплоту газ в рассматриваемом процессе. Воспользуемся первым законом термодинамики:

$Q=∆U$.

Так как $∆U<0$, то и $Q<0$, то есть газ отдаёт тепло.

4. Рассчитаем количество теплоты.

$Q=\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T<0$

Теплоёмкость идеального одноатомного газа при изохорическом нагревании и при изохорическом охлаждении равна

$C_V=\frac{3}{2}\nu R.$

Пример 1

 

Как изменилась внутренняя энергия гелия массой 800 г при его изохорном нагревании на 40 К? Какое количество теплоты ему при этом сообщили?

---

Решение

 

1. Запишем исходные данные:

 

$\left\{\begin{array}{l}m=800 \mathrm{г} =0,8 \mathrm{кг}\\ M_{гелия}=4 \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{моль}}=0,004\frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{моль}}\\ ∆T=40 \mathrm{К}\end{array}\right.$.

 

2. Изменение внутренней энергии в случае изохорического процесса находится по формуле

 

$∆U=\frac{3}{2}·\nu ·R·∆T=\frac{3}{2}·\frac{m}{M}·R·∆T=\frac{3}{2}·\frac{0,8}{0,004}·8,3·40\approx 100 \mathrm{кДж}$.

 

3. Работа в случае изохорического процесса равна нулю, тогда первый закон термодинамики будет выглядеть следующим образом:

 

$Q=A+∆U=∆U\approx 100 \mathrm{кДж}$.

 

Ответ: $∆U\approx 100 \mathrm{кДж}$; $Q\approx 100 \mathrm{кДж}$.

---

Упражнение 1

 

1. Для изохорного нагревания газа, количество вещества которого 20 моль, сообщили количество теплоты 2,4 кДж. Определить, на сколько изменилась температура газа.
 

2. Процесс изменения состояния одного моля идеального одноатомного газа изображён на рисунке. Найдите изменение внутренней энергии, работу и полученную теплоту.

---

Контрольные вопросы

 

1. Какие основные формулы используются при решении задач на первый закон термодинамики?
2. Какой знак имеет изменение внутренней энергии в процессе изохорического нагревания?
3. Отдаёт или получает теплоту идеальный газ в результате изохорического охлаждения?
4. Чему равна работа газа: а) при изохорическом нагревании; б) при изохорическом охлаждении?

---

Ответы

 

Упражнение 1

 

1. ≈ 10 К

 

2. $A$ = 0 Дж, $∆U$ = 9 кДж, $Q$ = 9 кДж

---